Derecho de grupo formal

En matemáticas , una ley de grupo formal es (a grandes rasgos) una serie de potencias formales que se comporta como si fuera el producto de un grupo de Lie . Fueron introducidas por S. Bochner  (1946). El término grupo formal a veces significa lo mismo que ley de grupo formal, y a veces significa una de varias generalizaciones. Los grupos formales son intermedios entre los grupos de Lie (o grupos algebraicos ) y las álgebras de Lie . Se utilizan en la teoría de números algebraicos y la topología algebraica .

Definiciones

Una ley de grupo formal unidimensional sobre un anillo conmutativo R es una serie de potencias F ( x , y ) con coeficientes en R , tal que

1. F ( x , y ) = x + y + términos de grado superior
2. F ( x , F ( y , z )) = F ( F ( x , y ), z ) ( asociatividad ).

El ejemplo más simple es la ley formal aditiva de grupos F ( x , y ) = x + y . La idea de la definición es que F debería ser algo así como la expansión formal en serie de potencias del producto de un grupo de Lie, donde elegimos coordenadas de modo que la identidad del grupo de Lie sea el origen.

De manera más general, una ley de grupo formal n -dimensional es una colección de n series de potencias F _i ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y ₁ , y ₂ , ..., y _n ) en 2 n variables, tales que

1. F ( x , y ) = x + y + términos de grado superior
2. F ( x , F ( y , z )) = F ( F ( x , y ), z )

donde escribimos F para ( F ₁ , ..., F _n ), x para ( x ₁ , ..., x _n ), y así sucesivamente.

La ley formal de grupo se llama conmutativa si F ( x , y ) = F ( y , x ). Si R no tiene torsión , entonces se puede incorporar R en un Q -álgebra y usar la exponencial y el logaritmo para escribir cualquier ley formal de grupo unidimensional F como F ( x , y ) = exp(log( x ) + log( y )), por lo que F es necesariamente conmutativa. ^[1] De manera más general, tenemos:

Teorema . Toda ley de grupo formal unidimensional sobre R es conmutativa si y sólo si R no tiene nilpotentes de torsión distintos de cero (es decir, ningún elemento distinto de cero que sea a la vez torsión y nilpotente). ^[2]

No es necesario un axioma análogo a la existencia de elementos inversos para grupos , ya que esto resulta seguir automáticamente de la definición de una ley formal de grupos. En otras palabras, siempre podemos encontrar una serie de potencias (única) G tal que F ( x , G ( x )) = 0.

Un homomorfismo de una ley de grupo formal F de dimensión m a una ley de grupo formal G de dimensión n es una colección f de n series de potencias en m variables, tales que

G ( f ( x ), f ( y )) = f ( F ( x , y )).

Un homomorfismo con una inversa se llama isomorfismo y se llama isomorfismo estricto si además f ( x ) = x + términos de grado superior. Dos leyes de grupo formal con un isomorfismo entre ellas son esencialmente iguales; difieren solo por un "cambio de coordenadas".

Ejemplos

• La ley formal aditiva del grupo está dada por

${\displaystyle F(x,y)=x+y.\ }$

• La ley formal del grupo multiplicativo está dada por

${\displaystyle F(x,y)=x+y+xy.\ }$

Esta regla se puede entender de la siguiente manera. El producto G en el (grupo multiplicativo del) anillo R está dado por G ( a , b ) = ab . Si "cambiamos las coordenadas" para hacer que 0 sea la identidad poniendo a = 1 +  x , b = 1 +  y , y G = 1 +  F , entonces encontramos que F ( x , y ) = x  +  y  +  xy .

Sobre los números racionales , existe un isomorfismo de la ley de grupos formales aditivos a la multiplicativa, dado por exp( x ) − 1 . Sobre anillos conmutativos generales R no existe tal homomorfismo ya que definirlo requiere números racionales no enteros, y los grupos formales aditivos y multiplicativos no suelen ser isomorfos.

• De manera más general, podemos construir una ley formal de grupo de dimensión n a partir de cualquier grupo algebraico o grupo de Lie de dimensión n , tomando coordenadas en la identidad y escribiendo la expansión formal en serie de potencias de la función del producto. Las leyes formales aditivas y multiplicativas de grupo se obtienen de esta manera a partir de los grupos algebraicos aditivos y multiplicativos. Otro caso especial importante de esto es el grupo formal (ley) de una curva elíptica (o variedad abeliana ).
• F ( x , y ) = ( x + y )/(1 + xy ) es una ley de grupo formal que proviene de la fórmula de adición para la función tangente hiperbólica : tanh( x  +  y ) = F (tanh( x ), tanh( y )), y también es la fórmula para la adición de velocidades en relatividad especial (con la velocidad de la luz igual a 1).
• ${\textstyle F(x,y)=\left.\left(x{\sqrt {1-y^{4}}}+y{\sqrt {1-x^{4}}}\right)\right/\!(1+x^{2}y^{2})}$es una ley de grupo formal sobre Z [1/2] encontrada por Euler , en la forma de la fórmula de adición para una integral elíptica (Strickland):

${\displaystyle \int _{0}^{x}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}+\int _{0}^{y}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}=\int _{0}^{F(x,y)}{dt \over {\sqrt {1-t^{4}}}}.}$

Álgebras de Lie

Cualquier ley de grupo formal n -dimensional da un álgebra de Lie n -dimensional sobre el anillo R , definido en términos de la parte cuadrática F ₂ de la ley de grupo formal.

[ x , y ] = F ₂ ( x , y ) − F ₂ ( y , x )

El funtor natural de los grupos de Lie o grupos algebraicos a las álgebras de Lie se puede factorizar en un funtor de los grupos de Lie a las leyes de los grupos formales, seguido de tomar el álgebra de Lie del grupo formal:

Grupos de Lie → Leyes formales de grupos → Álgebras de Lie

Sobre cuerpos de característica 0, las leyes formales de grupo son esencialmente las mismas que las álgebras de Lie de dimensión finita: más precisamente, el funtor de las leyes formales de grupo de dimensión finita a las álgebras de Lie de dimensión finita es una equivalencia de categorías . ^[3] Sobre cuerpos de característica distinta de cero, las leyes formales de grupo no son equivalentes a las álgebras de Lie. De hecho, en este caso es bien sabido que pasar de un grupo algebraico a su álgebra de Lie a menudo descarta demasiada información, pero pasar en cambio a la ley formal de grupo a menudo conserva suficiente información. Así que en cierto sentido las leyes formales de grupo son el sustituto "correcto" de las álgebras de Lie en característica p  > 0.

El logaritmo de una ley de grupo formal conmutativa

Si F es una ley de grupo formal n -dimensional conmutativa sobre un álgebra Q conmutativa R , entonces es estrictamente isomorfa a la ley de grupo formal aditiva. ^[4] En otras palabras, existe un isomorfismo estricto f del grupo formal aditivo a F , llamado logaritmo de F , de modo que

f ( F ( x , y )) = f ( x ) + f ( y ).

Ejemplos:

• El logaritmo de F ( x , y ) = x  +  y es f ( x ) = x .
• El logaritmo de F ( x , y ) = x  +  y  +  xy es f ( x ) = log(1 +  x ), porque log(1 +  x  +  y  +  xy ) = log(1 +  x ) + log(1 +  y ).

Si R no contiene los racionales, se puede construir una función f por extensión de escalares a R ⊗ Q , pero esto enviará todo a cero si R tiene característica positiva. Las leyes de grupo formal sobre un anillo R a menudo se construyen escribiendo su logaritmo como una serie de potencias con coeficientes en R ⊗ Q , y luego demostrando que los coeficientes del grupo formal correspondiente sobre R ⊗ Q en realidad se encuentran en R . Cuando se trabaja en característica positiva, uno típicamente reemplaza R con un anillo de característica mixta que tiene una sobreyección a R , como el anillo W ( R ) de vectores de Witt , y se reduce a R al final.

El diferencial invariante

Cuando F es unidimensional, se puede escribir su logaritmo en términos de la diferencial invariante ω(t). ^[5] Sea donde es el módulo libre de rango 1 en un símbolo dt . Entonces ω es invariante en la traslación en el sentido de que donde si escribimos , entonces se tiene por definición Si luego se considera la expansión , la fórmula define el logaritmo de F . $${\displaystyle \omega (t)={\frac {\partial F}{\partial x}}(0,t)^{-1}dt\in R[[t]]dt,}$$ ${\textstyle R[[t]]dt}$ ${\textstyle R[[t]]}$ $${\displaystyle F^{*}\omega =\omega ,}$$ ${\textstyle \omega (t)=p(t)dt}$ $${\displaystyle F^{*}\omega :=p(F(t,s)){\frac {\partial F}{\partial x}}(t,s)dt.}$$ ${\textstyle \omega (t)=(1+c_{1}t+c_{2}t^{2}+\dots )dt}$ $${\displaystyle f(t)=\int \omega (t)=t+{\frac {c_{1}}{2}}t^{2}+{\frac {c_{2}}{3}}t^{3}+\dots }$$

El anillo de grupo formal de una ley de grupo formal

El anillo de grupo formal de una ley de grupo formal es un álgebra de Hopf co-conmutativa análoga al anillo de grupo de un grupo y al álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie, ambas también álgebras de Hopf co-conmutativas. En general, las álgebras de Hopf co-conmutativas se comportan de forma muy similar a los grupos.

Para simplificar, describiremos el caso unidimensional; el caso de dimensiones superiores es similar, excepto que la notación se vuelve más compleja.

Supongamos que F es una ley de grupo formal (unidimensional) sobre R. Su anillo de grupo formal (también llamado su hiperálgebra o su biálgebra covariante ) es un álgebra de Hopf cocomutativa H construida de la siguiente manera.

• Como módulo R , H es libre con base 1 = D ⁽⁰⁾ , D ⁽¹⁾ , D ( ²⁾ , ...
• El coproducto Δ está dado por Δ D ^{( n )} = Σ D ^{( i )}  ⊗  D ^{( n − i )} (por lo que el dual de esta coalgebra es simplemente el anillo de series de potencias formales).
• El counit η viene dado por el coeficiente de D ⁽⁰⁾ .
• La identidad es 1 = D ⁽⁰⁾ .
• El antípoda S toma D ^{( n )} a (−1) ⁿ D ^{( n )} .
• El coeficiente de D ⁽¹⁾ en el producto D ^{( i )} D ^{( j )} es el coeficiente de x ⁱ y ^j en F ( x , y ).

Por el contrario, dada una álgebra de Hopf cuya estructura de coalgebra se da arriba, podemos recuperar de ella una ley formal de grupo F. Por lo tanto, las leyes formales de grupo unidimensionales son esencialmente las mismas que las álgebras de Hopf cuya estructura de coalgebra se da arriba.

Leyes formales de grupos como funtores

Dada una ley formal de grupo n -dimensional F sobre R y una R -álgebra conmutativa S , podemos formar un grupo F ( S ) cuyo conjunto subyacente es N ⁿ donde N es el conjunto de elementos nilpotentes de S . El producto se da al usar F para multiplicar elementos de N ⁿ ; el punto es que todas las series de potencias formales ahora convergen porque se están aplicando a elementos nilpotentes, por lo que solo hay un número finito de términos distintos de cero. Esto convierte a F en un funtor de R -álgebras conmutativas S a grupos.

Podemos extender la definición de F ( S ) a algunas R - álgebras topológicas . En particular, si S es un límite inverso de R -álgebras discretas, podemos definir F ( S ) como el límite inverso de los grupos correspondientes. Por ejemplo, esto nos permite definir F ( Z _p ) con valores en los números p -ádicos .

El funtor de valor grupal de F también se puede describir utilizando el anillo de grupo formal H de F . Para simplificar, supondremos que F es unidimensional; el caso general es similar. Para cualquier álgebra de Hopf co-conmutativa, un elemento g se llama similar a un grupo si Δ g = g ⊗ g y ε g = 1, y los elementos similares a un grupo forman un grupo bajo la multiplicación. En el caso del álgebra de Hopf de una ley de grupo formal sobre un anillo, los elementos similares a un grupo son exactamente aquellos de la forma

D ⁽⁰⁾  +  D ^{( 1)} x  +  D ⁽²⁾ x2  +...

para elementos nilpotentes x . En particular, podemos identificar los elementos similares a grupos de H ⊗ S con los elementos nilpotentes de S , y la estructura de grupo en los elementos similares a grupos de H ⊗ S se identifica entonces con la estructura de grupo en F ( S ).

Altura

Supóngase que f es un homomorfismo entre leyes de grupos formales unidimensionales sobre un cuerpo de característica p  > 0. Entonces f es cero, o el primer término distinto de cero en su desarrollo en serie de potencias es para algún entero no negativo h , llamado la altura del homomorfismo f . La altura del homomorfismo cero se define como ∞. ${\displaystyle ax^{p^{h}}}$

La altura de una ley de grupo formal unidimensional sobre un campo de característica p  > 0 se define como la altura de su mapa de multiplicación por p .

Dos leyes de grupo formales unidimensionales sobre un campo algebraicamente cerrado de característica p  > 0 son isomorfas si y solo si tienen la misma altura, y la altura puede ser cualquier entero positivo o ∞.

Ejemplos:

• La ley formal aditiva del grupo F ( x , y ) = x  +  y tiene altura ∞, ya que su mapa de potencia p es 0.
• La ley formal del grupo multiplicativo F ( x , y ) = x  +  y  +  xy tiene altura 1, ya que su mapa de potencia  p es (1 + x ) ^p  − 1 = x ^p .
• La ley formal de grupo de una curva elíptica tiene una altura de uno o dos, dependiendo de si la curva es ordinaria o supersingular . La supersingularidad se puede detectar por la desaparición de la serie de Eisenstein . ${\displaystyle E_{p-1}}$

Anillo de Lazard

Existe una ley de grupo formal unidimensional conmutativa universal sobre un anillo conmutativo universal definido de la siguiente manera.

F ( x , y )

ser

x + y + Σ c _{i , j} x ⁱ y ^j

para indeterminados

c _{yo , j} ,

y definimos el anillo universal R como el anillo conmutativo generado por los elementos c _{i , j} , con las relaciones que imponen las leyes de asociatividad y conmutatividad para las leyes formales de grupos. Más o menos por definición, el anillo R tiene la siguiente propiedad universal:

Para cualquier anillo conmutativo S , las leyes de grupo formales unidimensionales sobre S corresponden a homomorfismos de anillo de R a  S .

El anillo conmutativo R construido anteriormente se conoce como anillo universal de Lazard . A primera vista parece increíblemente complicado: las relaciones entre sus generadores son muy confusas. Sin embargo, Lazard demostró que tiene una estructura muy simple: es simplemente un anillo polinómico (sobre los números enteros) sobre generadores de grados 2, 4, 6, ... (donde c _{i , j} tiene grado 2( i  +  j  − 1)). Daniel Quillen demostró que el anillo de coeficientes del cobordismo complejo es naturalmente isomorfo como un anillo graduado al anillo universal de Lazard, lo que explica la gradación inusual.

Grupos formales

Un grupo formal es un objeto de grupo en la categoría de esquemas formales .

• Si es un funtor de las álgebras de Artin para grupos que es exacto por la izquierda , entonces es representable ( G es el funtor de puntos de un grupo formal. (la exactitud por la izquierda de un funtor es equivalente a conmutar con límites proyectivos finitos). ${\displaystyle G}$
• Si es un esquema de grupo entonces , la compleción formal de G en la identidad, tiene la estructura de un grupo formal. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$
• La completitud formal de un esquema de grupo liso es isomorfa a . Algunas personas llaman liso a un esquema de grupo formal si se cumple lo inverso; otras reservan el término "grupo formal" para objetos que localmente tienen esta forma. ^[6] ${\displaystyle \mathrm {Spf} (R[[T_{1},\ldots ,T_{n}]])}$
• La suavidad formal afirma la existencia de elevaciones de deformaciones y puede aplicarse a esquemas formales que son más grandes que los puntos. Un esquema de grupo formal suave es un caso especial de un esquema de grupo formal.
• Dado un grupo formal suave, se puede construir una ley de grupo formal y un campo eligiendo un conjunto uniformizador de secciones.
• Los isomorfismos (no estrictos) entre leyes de grupos formales inducidas por el cambio de parámetros constituyen los elementos del grupo de cambios de coordenadas en el grupo formal.

Los grupos formales y las leyes de grupos formales también pueden definirse sobre esquemas arbitrarios , en lugar de solo sobre anillos o campos conmutativos, y las familias pueden clasificarse mediante mapas desde la base hasta un objeto parametrizante.

El espacio de módulos de las leyes de grupos formales es una unión disjunta de espacios afines de dimensión infinita, cuyos componentes están parametrizados por dimensión, y cuyos puntos están parametrizados por coeficientes admisibles de la serie de potencias F . La pila de módulos correspondiente de grupos formales suaves es un cociente de este espacio por una acción canónica del grupoide de dimensión infinita de cambios de coordenadas.

Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, la subpila de grupos formales unidimensionales es un punto (en característica cero) o una cadena infinita de puntos apilados que parametrizan alturas. En característica cero, el cierre de cada punto contiene todos los puntos de mayor altura. Esta diferencia proporciona a los grupos formales una rica teoría geométrica en característica positiva y mixta, con conexiones con el álgebra de Steenrod , los grupos p -divisibles, la teoría de Dieudonné y las representaciones de Galois . Por ejemplo, el teorema de Serre-Tate implica que las deformaciones de un esquema de grupo están fuertemente controladas por las de su grupo formal, especialmente en el caso de variedades abelianas supersingulares . Para las curvas elípticas supersingulares , este control es completo, y esto es bastante diferente de la situación de característica cero donde el grupo formal no tiene deformaciones.

Un grupo formal se define a veces como un álgebra de Hopf co-conmutativa (normalmente con algunas condiciones adicionales añadidas, como ser puntiagudo o conexo). ^[7] Esto es más o menos dual con la noción anterior. En el caso suave, elegir coordenadas es equivalente a tomar una base distinguida del anillo del grupo formal.

Algunos autores utilizan el término grupo formal para referirse a la ley de grupo formal .

Leyes formales de grupos de Lubin-Tate

Sea Z _p el anillo de números enteros p -ádicos . La ley de grupos formales de Lubin-Tate es la única ley de grupos formales (unidimensional) F tal que e ( x ) = px  +  x ^p es un endomorfismo de F , en otras palabras

${\displaystyle e(F(x,y))=F(e(x),e(y)).\ }$

De manera más general, podemos permitir que e sea cualquier serie de potencias tal que e ( x ) = px  + términos de grado superior y e ( x ) = x ^p  mod  p . Todas las leyes de grupo para diferentes elecciones de e que satisfacen estas condiciones son estrictamente isomorfas. ^[8]

Para cada elemento a en Z _p existe un único endomorfismo f de la ley de grupos formales de Lubin-Tate tal que f ( x ) = ax  + términos de grado superior. Esto da una acción del anillo Z _p sobre la ley de grupos formales de Lubin-Tate.

Existe una construcción similar con Z _p reemplazado por cualquier anillo de valoración discreto completo con un campo de clase de residuo finito . ^[9]

Esta construcción fue introducida por Lubin y Tate (1965), en un esfuerzo exitoso por aislar la parte de campo local de la teoría clásica de la multiplicación compleja de funciones elípticas . También es un ingrediente principal en algunos enfoques de la teoría de campos de clases locales ^[10] y un componente esencial en la construcción de la teoría E de Morava en la teoría de homotopía cromática . ^[11]

Véase también

• Vector de Witt
• Artin-Hasse exponencial
• Functor de grupo
• Teorema de la adición

Referencias

1. Nótese que la fórmula para el logaritmo en términos del diferencial invariante dado en la dimensión uno no supone que F sea conmutativo.
2. Hazewinkel, Michiel. Grupos formales y aplicaciones . §6.1.
3. Hazewinkel, Michiel. Grupos formales y aplicaciones . §14.2.3.
4. Hazewinkel, Michiel. Grupos formales y aplicaciones . §11.1.6.
5. Mavraki, Niki Myrto. "Grupos formales" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 12 de septiembre de 2022.
6. Weinstein, Jared. "La geometría de los espacios de Lubin-Tate" (PDF) .
7. Underwood, Robert G. (2011). Introducción a las álgebras de Hopf . Berlín: Springer-Verlag . pág. 121. ISBN. 978-0-387-72765-3.Zbl 1234.16022  .
8. Manin, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría moderna de números . Enciclopedia de ciencias matemáticas. Vol. 49 (segunda edición). pág. 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Zbl  1079.11002.
9. Koch, Helmut (1997). Teoría algebraica de números . Encycl. Math. Sci. Vol. 62 (segunda edición de la primera edición). Springer-Verlag . págs. 62-63. ISBN. 3-540-63003-1.Zbl 0819.11044  .
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