Álgebra topológica

En matemáticas , un álgebra topológica es un álgebra y al mismo tiempo un espacio topológico , donde las estructuras algebraicas y topológicas son coherentes en un sentido específico. ${\displaystyle A}$

Definición

Un álgebra topológica sobre un campo topológico es un espacio vectorial topológico junto con una multiplicación bilineal ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \cdot :A\times A\to A}$,

${\displaystyle (a,b)\mapsto a\cdot b}$

que se convierte en un álgebra continua en algún sentido definido . Por lo general, la continuidad de la multiplicación se expresa mediante uno de los siguientes requisitos (no equivalentes): ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$

• continuidad conjunta : ^[1] para cada vecindad de cero hay vecindades de cero y tales que (en otras palabras, esta condición significa que la multiplicación es continua como una función entre espacios topológicos ), o ${\displaystyle U\subseteq A}$ ${\displaystyle V\subseteq A}$ ${\displaystyle W\subseteq A}$ ${\displaystyle V\cdot W\subseteq U}$ ${\displaystyle A\times A\to A}$
• continuidad del estereotipo : ^[2] para cada conjunto totalmente acotado y para cada vecindad de cero hay una vecindad de cero tal que y , o ${\displaystyle S\subseteq A}$ ${\displaystyle U\subseteq A}$ ${\displaystyle V\subseteq A}$ ${\displaystyle S\cdot V\subseteq U}$ ${\displaystyle V\cdot S\subseteq U}$
• continuidad separada : ^[3] para cada elemento y para cada vecindad de cero hay una vecindad de cero tal que y . ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle U\subseteq A}$ ${\displaystyle V\subseteq A}$ ${\displaystyle a\cdot V\subseteq U}$ ${\displaystyle V\cdot a\subseteq U}$

(Ciertamente, la continuidad conjunta implica continuidad estereotípica, y la continuidad estereotípica implica continuidad separada.) En el primer caso se llama " álgebra topológica con multiplicación conjunta continua ", y en el último, " con multiplicación separada continua ". ${\displaystyle A}$

Un álgebra topológica asociativa unitaria se denomina (a veces) anillo topológico .

Historia

El término fue acuñado por David van Dantzig ; aparece en el título de su tesis doctoral (1931).

Ejemplos

1. Las álgebras de Fréchet son ejemplos de álgebras topológicas asociativas con multiplicación conjunta continua.

2. Las álgebras de Banach son casos especiales de las álgebras de Fréchet .

3. Las álgebras estereotípicas son ejemplos de álgebras topológicas asociativas con multiplicación continua estereotípica.

Notas

1. Beckenstein, Narici y Suffel 1977.
2. Akbarov 2003.
3. Mallios 1986.

Enlaces externos

• Álgebra topológica en el laboratorio n

Referencias

• Beckenstein, E.; Narici, L.; Suffel, C. (1977). Álgebras topológicas . Ámsterdam: Holanda del Norte. ISBN 9780080871356.
• Akbarov, SS (2003). "Dualidad de Pontriagin en la teoría de espacios vectoriales topológicos y en álgebra topológica". Revista de Ciencias Matemáticas . 113 (2): 179–349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID  115297067.
• Mallios, A. (1986). Álgebras topológicas . Ámsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 9780080872353.
• Balachandran, VK (2000). Álgebras topológicas . Ámsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 9780080543086.
• Fragoulopoulou, M. (2005). Álgebras topológicas con involución . Ámsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 9780444520258.