Grupo totalmente desconectado

En matemáticas , un grupo totalmente desconectado es un grupo topológico que está totalmente desconectado . Tales grupos topológicos son necesariamente de Hausdorff .

El interés se centra en los grupos totalmente desconectados localmente compactos (denominados de diversas formas grupos de tipo td , ^[1] grupos localmente profinitos ^[2] o grupos td ^[3] ). El caso compacto ha sido muy estudiado – estos son los grupos profinitos – pero durante mucho tiempo no se sabía mucho sobre el caso general. Un teorema de van Dantzig ^[4] de la década de 1930, que establecía que cada uno de esos grupos contiene un subgrupo abierto compacto , era todo lo que se conocía. Luego, el trabajo innovador de George Willis en 1994 abrió el campo al mostrar que cada grupo totalmente desconectado localmente compacto contiene un llamado subgrupo ordenado y una función especial en sus automorfismos , la función de escala , que da un parámetro cuantificable para la estructura local. Los avances en la estructura global de los grupos totalmente desconectados se obtuvieron en 2011 por Caprace y Monod , con notablemente una clasificación de grupos característicamente simples y de grupos noetherianos .

Caso localmente compacto

En un grupo localmente compacto y totalmente desconectado, cada vecindad de la identidad contiene un subgrupo abierto compacto. Por el contrario, si un grupo es tal que la identidad tiene una base de vecindad que consiste en subgrupos abiertos compactos, entonces es localmente compacto y totalmente desconectado. ^[2]

Subgrupos ordenados

Sea G un grupo localmente compacto, totalmente desconectado, U un subgrupo abierto compacto de G y un automorfismo continuo de G. ${\displaystyle \alpha }$

Definir:

${\displaystyle U_{+}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U)}$

${\displaystyle U_{-}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U)}$

${\displaystyle U_{++}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U_{+})}$

${\displaystyle U_{--}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U_{-})}$

Se dice que U está ordenado si y solo si y están cerrados. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle U=U_{+}U_{-}=U_{-}U_{+}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle U_{--}}$

La función de escala

Se demuestra que el índice de en es finito e independiente de U , que es ordenado para . Defina la función de escala como este índice. La restricción a los automorfismos internos da una función en G con propiedades interesantes. Estas son en particular: Defina la función en G por , donde es el automorfismo interno de en G . ${\displaystyle \alpha (U_{+})}$ ${\displaystyle U_{+}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle s(\alpha )}$
${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x):=s(\alpha _{x})}$ ${\displaystyle \alpha _{x}}$ ${\displaystyle x}$

Propiedades

• ${\displaystyle s}$es continua
• ${\displaystyle s(x)=1}$, siempre que x en G sea un elemento compacto.
• ${\displaystyle s(x^{n})=s(x)^{n}}$para cada entero no negativo . ${\displaystyle n}$
• La función modular en G está dada por . ${\displaystyle \Delta (x)=s(x)s(x^{-1})^{-1}}$

Cálculos y aplicaciones

La función de escala fue utilizada para probar una conjetura de Hofmann y Mukherja y ha sido calculada explícitamente para grupos de Lie p-ádicos y grupos lineales sobre campos oblicuos locales por Helge Glöckner.

Notas

1. Cartier 1979, §1.1
2. Bushnell y Henniart 2006, §1.1
3. Borel y Wallach 2000, Capítulo X
4. van Dantzig 1936, pág. 411

Referencias

• van Dantzig, David (1936), "Zur topologischen Algebra. III. Brouwersche und Cantorsche Gruppen", Compositio Mathematica , 3 : 408–426
• Borel, Armand ; Wallach, Nolan (2000), Cohomología continua, subgrupos discretos y representaciones de grupos reductivos , Encuestas y monografías matemáticas, vol. 67 (segunda ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0851-1, Sr.  1721403
• Bushnell, Colin J.; Henniart, Guy (2006), La conjetura local de Langlands para GL(2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 335, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/3-540-31511-X, ISBN 978-3-540-31486-8, Sr.  2234120
• Caprace, Pierre-Emmanuel; Monod, Nicolas (2011), "Descomposición de grupos localmente compactos en piezas simples", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. , 150 : 97–128, arXiv : 0811.4101 , Bibcode :2011MPCPS.150...97C, doi :10.1017/S0305004110000368, MR  2739075
• Cartier, Pierre (1979), "Representaciones de grupos -ádicos: un estudio", en Borel, Armand ; Casselman, William (eds.), Formas automórficas, representaciones y funciones L (PDF) , Actas de simposios sobre matemáticas puras, vol. 33, Parte 1, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , págs. 111–155, ISBN ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 978-0-8218-1435-2, Sr.  0546593
• GA Willis - La estructura de grupos localmente compactos y totalmente desconectados, Mathematische Annalen 300, 341-363 (1994)