Objeto grupoide

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un objeto grupoide es a la vez una generalización de un grupoide que se basa en estructuras más ricas que los conjuntos, y una generalización de un grupo de objetos cuando la multiplicación está sólo parcialmente definida.

Definición

Un objeto grupoide de categoría C que admite productos de fibras finitas consta de un par de objetos junto con cinco morfismos. ${\displaystyle R,U}$

${\displaystyle s,t:R\to U,\ e:U\to R,\ m:R\times _{U,t,s}R\to R,\ i:R\to R}$

satisfaciendo los siguientes axiomas grupoides

1. ${\displaystyle s\circ e=t\circ e=1_{U},\,s\circ m=s\circ p_{1},t\circ m=t\circ p_{2}}$donde están las dos proyecciones, ${\displaystyle p_{i}:R\times _{U,t,s}R\to R}$
2. (asociatividad) ${\displaystyle m\circ (1_{R}\times m)=m\circ (m\times 1_{R}),}$
3. (unidad) ${\displaystyle m\circ (e\circ s,1_{R})=m\circ (1_{R},e\circ t)=1_{R},}$
4. (inversa) , , . ^[1] ${\displaystyle i\circ i=1_{R}}$ ${\displaystyle s\circ i=t,\,t\circ i=s}$ ${\displaystyle m\circ (1_{R},i)=e\circ s,\,m\circ (i,1_{R})=e\circ t}$

Ejemplos

Objetos de grupo

Un objeto de grupo es un caso especial de un objeto grupoide, donde y . Por lo tanto, se recuperan grupos topológicos tomando la categoría de espacios topológicos , o grupos de Lie tomando la categoría de variedades , etc. ${\displaystyle R=U}$ ${\displaystyle s=t}$

grupoides

Un objeto grupoide en la categoría de conjuntos es precisamente un grupoide en el sentido habitual: una categoría en la que cada morfismo es un isomorfismo. De hecho, dada tal categoría C , tome U como el conjunto de todos los objetos en C , R el conjunto de todas las flechas en C , los cinco morfismos dados por , y . Cuando el término "grupoide" puede naturalmente referirse a un objeto grupoide en alguna categoría particular en mente, el término conjunto grupoide se utiliza para referirse a un objeto grupoide en la categoría de conjuntos. ${\displaystyle s(x\to y)=x,\,t(x\to y)=y}$ ${\displaystyle m(f,g)=g\circ f}$ ${\displaystyle e(x)=1_{x}}$ ${\displaystyle i(f)=f^{-1}}$

Sin embargo, a diferencia del ejemplo anterior con grupos de Lie, un objeto grupoide en la categoría de variedades no es necesariamente un grupoide de Lie , ya que los mapas s y t no satisfacen requisitos adicionales (no son necesariamente inmersiones ).

Esquemas grupoides

Un esquema S grupoide es un objeto grupoide en la categoría de esquemas sobre algún esquema de base fija S. Si , entonces un esquema grupoide (donde necesariamente está el mapa de estructura) es lo mismo que un esquema de grupo . Un esquema grupoide también se llama grupoide algebraico , ^[2] para transmitir la idea de que es una generalización de grupos algebraicos y sus acciones. ${\displaystyle U=S}$ ${\displaystyle s=t}$

Por ejemplo, supongamos que un grupo algebraico G actúa desde la derecha en un esquema U. Luego tome , s la proyección, t la acción dada. Esto determina un esquema grupoide. ${\displaystyle R=U\times G}$

Construcciones

Dado un objeto grupoide ( R , U ), el ecualizador de , si lo hay, es un objeto de grupo llamado grupo de inercia del grupoide. El coecualizador del mismo diagrama, si lo hay, es el cociente del grupoide. ${\displaystyle R{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}U}$

Cada objeto grupoide en una categoría C (si lo hay) puede considerarse como un functor contravariante de C a la categoría de grupoides. De esta manera, cada objeto grupoide determina un preapilamiento en grupoides. Este preapilamiento no es una pila , pero se puede apilar para producir una pila.

El uso principal de la noción es que proporciona un atlas para una pila. Más específicamente, sea la categoría de ( R ⇉ U ) {\displaystyle (R\rightrightarrows U)} -torsores. Entonces es una categoría fibrada en grupoides ; de hecho, (en un buen caso), una pila de Deligne-Mumford . Por el contrario, cualquier pila de DM tiene esta forma. ${\displaystyle [R\rightrightarrows U]}$

Ver también

• Esquema simple

Notas

1. Pilas algebraicas, capítulo 3. § 1.
2. (Gillet 1984)

Referencias

• Behrend, Kai; Conrado, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Bárbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006), Pilas algebraicas, archivado desde el original el 5 de mayo de 2008 , consultado el 11 de febrero de 2014
• Gillet, H. (1984), "Teoría de intersección sobre pilas algebraicas y variedades Q" (PDF) , Actas de la conferencia Luminy sobre teoría K algebraica (Luminy, 1983) , J. Pure Appl. Álgebra, vol. 34, págs. 193-240