En matemáticas , un grupo de matrices es un grupo G que consiste en matrices invertibles sobre un cuerpo especificado K , con la operación de multiplicación de matrices . Un grupo lineal es un grupo que es isomorfo a un grupo de matrices (es decir, que admite una representación fiel y de dimensión finita sobre K ).
Cualquier grupo finito es lineal, porque puede realizarse mediante matrices de permutación utilizando el teorema de Cayley . Entre los grupos infinitos , los grupos lineales forman una clase interesante y manejable. Los ejemplos de grupos que no son lineales incluyen grupos que son "demasiado grandes" (por ejemplo, el grupo de permutaciones de un conjunto infinito), o que exhiben algún comportamiento patológico (por ejemplo, grupos de torsión infinitos generados finitamente ).
Se dice que un grupo G es lineal si existe un cuerpo K , un entero d y un homomorfismo inyectivo de G al grupo lineal general GL d ( K ) (una representación lineal fiel de dimensión d sobre K ): si es necesario, se puede mencionar el cuerpo y la dimensión diciendo que G es lineal de grado d sobre K . Los ejemplos básicos son grupos que se definen como subgrupos de un grupo lineal, por ejemplo:
En el estudio de los grupos de Lie , a veces resulta pedagógicamente conveniente restringir la atención a los grupos de Lie que se pueden representar fielmente en el campo de los números complejos . (Algunos autores requieren que el grupo se represente como un subgrupo cerrado del GL n ( C ).) Los libros que siguen este enfoque incluyen Hall (2015) [1] y Rossmann (2002). [2]
Los llamados grupos clásicos generalizan los ejemplos 1 y 2 anteriores. Surgen como grupos algebraicos lineales , es decir, como subgrupos de GL n definidos por un número finito de ecuaciones. Ejemplos básicos son los grupos ortogonales , unitarios y simplécticos pero es posible construir más utilizando álgebras de división (por ejemplo el grupo unitario de un álgebra de cuaterniones es un grupo clásico). Nótese que los grupos proyectivos asociados a estos grupos también son lineales, aunque de forma menos obvia. Por ejemplo, el grupo PSL 2 ( R ) no es un grupo de matrices 2 × 2, pero tiene una representación fiel como matrices 3 × 3 (la representación adjunta ), que puede utilizarse en el caso general.
Muchos grupos de Lie son lineales, pero no todos. La cobertura universal de SL2 ( R ) no es lineal, como lo son muchos grupos resolubles , por ejemplo el cociente del grupo de Heisenberg por un subgrupo cíclico central .
Los subgrupos discretos de los grupos de Lie clásicos (por ejemplo, redes o grupos delgados ) también son ejemplos de grupos lineales interesantes.
Un grupo finito G de orden n es lineal de grado n como máximo sobre cualquier cuerpo K. Esta afirmación se denomina a veces teorema de Cayley, y resulta simplemente del hecho de que la acción de G sobre el anillo de grupo K [ G ] por multiplicación izquierda (o derecha) es lineal y fiel. Los grupos finitos de tipo Lie (grupos clásicos sobre cuerpos finitos) son una familia importante de grupos finitos simples , ya que ocupan la mayoría de los espacios en la clasificación de grupos finitos simples .
Si bien el ejemplo 4 anterior es demasiado general para definir una clase distintiva (incluye todos los grupos lineales), restringirlo a un conjunto de índice finito I , es decir, a grupos finitamente generados permite construir muchos ejemplos interesantes. Por ejemplo:
En algunos casos, el grupo fundamental de una variedad puede demostrarse como lineal utilizando representaciones provenientes de una estructura geométrica. Por ejemplo, todas las superficies cerradas de género al menos 2 son superficies hiperbólicas de Riemann . Mediante el teorema de uniformización esto da lugar a una representación de su grupo fundamental en el grupo de isometría del plano hiperbólico , que es isomorfo a PSL 2 ( R ) y esto realiza el grupo fundamental como un grupo Fuchsiano . Una generalización de esta construcción está dada por la noción de una ( G , X )-estructura en una variedad.
Otro ejemplo es el grupo fundamental de variedades de Seifert . Por otra parte, no se sabe si todos los grupos fundamentales de variedades 3-son lineales. [4]
Si bien los grupos lineales constituyen una amplia clase de ejemplos, entre todos los grupos infinitos, se distinguen por muchas propiedades notables. Los grupos lineales finitamente generados tienen las siguientes propiedades:
La alternativa de Tits establece que un grupo lineal contiene un grupo libre no abeliano o bien es virtualmente resoluble (es decir, contiene un grupo resoluble de índice finito). Esto tiene muchas otras consecuencias, por ejemplo:
No es difícil dar ejemplos generados infinitamente de grupos no lineales: por ejemplo, el grupo abeliano infinito ( Z /2 Z ) N x ( Z /3 Z ) N no puede ser lineal. [8] Dado que el grupo simétrico en un conjunto infinito contiene este grupo, tampoco es lineal. Encontrar ejemplos generados finitamente es más sutil y generalmente requiere el uso de una de las propiedades enumeradas anteriormente.
Una vez que se ha establecido que un grupo es lineal, es interesante tratar de encontrar representaciones lineales fieles "óptimas" para él, por ejemplo, de la dimensión más baja posible, o incluso tratar de clasificar todas sus representaciones lineales (incluidas las que no son fieles). Estas cuestiones son el objeto de la teoría de la representación . Las partes más destacadas de la teoría incluyen:
La teoría de representación de grupos infinitos finitamente generados es en general misteriosa; el objeto de interés en este caso son las variedades de caracteres del grupo, que se entienden bien sólo en muy pocos casos, por ejemplo, grupos libres, grupos de superficies y, más generalmente, redes en grupos de Lie (por ejemplo, a través del teorema de superrigidez de Margulis y otros resultados de rigidez).
