Extensión del álgebra de Lie

Creating a "larger" Lie algebra from a smaller one, in one of several ways

En la teoría de grupos de Lie , álgebras de Lie y su teoría de representación , una extensión de álgebra de Lie e es una ampliación de un álgebra de Lie dada g por otra álgebra de Lie h . Las extensiones surgen de varias maneras. Existe la extensión trivial que se obtiene tomando una suma directa de dos álgebras de Lie. Otros tipos son la extensión dividida y la extensión central . Las extensiones pueden surgir de forma natural, por ejemplo, al formar un álgebra de Lie a partir de representaciones de grupos proyectivos . Tal álgebra de Lie contendrá cargas centrales .

Partiendo de un álgebra de bucles polinomiales sobre un álgebra de Lie simple de dimensión finita y realizando dos extensiones, una extensión central y una extensión por derivación, se obtiene un álgebra de Lie que es isomorfa con un álgebra de Kac-Moody afín no retorcida . Utilizando el álgebra de bucles extendida centralmente se puede construir un álgebra actual en dos dimensiones espacio-temporales. El álgebra de Virasoro es la extensión central universal del álgebra de Witt . ^[1]

Las extensiones centrales son necesarias en física, porque el grupo de simetría de un sistema cuantizado usualmente es una extensión central del grupo de simetría clásico, y de la misma manera el álgebra de Lie de simetría correspondiente del sistema cuántico es, en general, una extensión central del álgebra de simetría clásica. ^[2] Se ha conjeturado que las álgebras de Kac-Moody son grupos de simetría de una teoría de supercuerdas unificada. ^[3] Las álgebras de Lie extendidas centralmente juegan un papel dominante en la teoría cuántica de campos , particularmente en la teoría de campos conforme , la teoría de cuerdas y en la teoría M. ^{[4] [5]}

Una gran parte hacia el final está dedicada a material de referencia para aplicaciones de extensiones del álgebra de Lie, tanto en matemáticas como en física, en áreas donde son realmente útiles. Se proporciona un enlace entre paréntesis (material de referencia) cuando puede resultar útil.

Historia

Debido a la correspondencia de Lie , la teoría, y en consecuencia la historia de las extensiones del álgebra de Lie, está estrechamente vinculada a la teoría y la historia de las extensiones de grupos. El matemático austríaco Otto Schreier realizó un estudio sistemático de las extensiones de grupos en su tesis doctoral en 1923 y luego la publicó. ^{[nb 1] [6] [7]} El problema planteado para su tesis por Otto Hölder fue "dados dos grupos G y H , encontrar todos los grupos E que tengan un subgrupo normal N isomorfo a G tal que el grupo factorial E / N sea isomorfo a H ".

Las extensiones de álgebras de Lie son más interesantes y útiles para las álgebras de Lie de dimensión infinita. En 1967, Victor Kac y Robert Moody generalizaron de forma independiente la noción de álgebras de Lie clásicas, lo que dio como resultado una nueva teoría de álgebras de Lie de dimensión infinita, ahora llamadas álgebras de Kac-Moody . ^{[8] [9]} Generalizan las álgebras de Lie simples de dimensión finita y a menudo se pueden construir concretamente como extensiones. ^[10]

Notación y demostraciones

El abuso de notación que se encuentra a continuación incluye e ^X para la función exponencial exp dado un argumento, escribiendo g para el elemento ( g , e _H ) en un producto directo G × H ( e _H es la identidad en H ), y análogamente para las sumas directas del álgebra de Lie (donde también g + h y ( g , h ) se usan indistintamente). Lo mismo para los productos semidirectos y las sumas semidirectas. Las inyecciones canónicas (tanto para grupos como para álgebras de Lie) se utilizan para identificaciones implícitas. Además, si G , H , ..., son grupos, entonces los nombres predeterminados para los elementos de G , H , ..., son g , h , ..., y sus álgebras de Lie son g , h , ... . Los nombres predeterminados para los elementos de g , h , ..., son G , H , ... (¡al igual que para los grupos!), en parte para ahorrar recursos alfabéticos escasos, pero principalmente para tener una notación uniforme.

Las álgebras de Lie que son ingredientes de una extensión se considerarán, sin comentarios, como si estuvieran sobre el mismo campo .

Se aplica la convención de suma , incluso a veces cuando los índices involucrados están ambos arriba o ambos abajo.

Advertencia: No todas las pruebas y esquemas de pruebas que se presentan a continuación tienen validez universal. La razón principal es que las álgebras de Lie suelen tener una dimensión infinita, y entonces puede haber o no un grupo de Lie correspondiente al álgebra de Lie. Además, incluso si tal grupo existiera, podría no tener las propiedades "habituales", por ejemplo, la función exponencial podría no existir, y si existe, podría no tener todas las propiedades "habituales". En tales casos, es cuestionable si el grupo debería estar dotado del calificador "Lie". La literatura no es uniforme. Para los ejemplos explícitos, se supone que las estructuras relevantes están en su lugar.

Definición

Las extensiones del álgebra de Lie se formalizan en términos de secuencias exactas cortas . ^[1] Una secuencia exacta corta es una secuencia exacta de longitud tres,

tal que i es un monomorfismo , s es un epimorfismo y ker s = im i . De estas propiedades de las sucesiones exactas, se sigue que (la imagen de) es un ideal en . Además, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {e}}/\operatorname {Im} i={\mathfrak {e}}/\operatorname {Ker} s,}$

pero no es necesariamente el caso que sea isomorfo a una subálgebra de . Esta construcción refleja las construcciones análogas en el concepto estrechamente relacionado de extensiones de grupo . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$

Si la situación en (1) prevalece, de manera no trivial y para álgebras de Lie sobre el mismo cuerpo , entonces se dice que es una extensión de por . ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Propiedades

La propiedad definitoria puede ser reformulada. El álgebra de Lie es una extensión de por si ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

es exacta. Aquí los ceros en los extremos representan el álgebra de Lie cero (que contiene solo el vector cero 0 ) y las aplicaciones son las obvias; asigna 0 a 0 y asigna todos los elementos de a 0. Con esta definición, se sigue automáticamente que i es un monomorfismo y s es un epimorfismo. ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Una extensión de por no es necesariamente única. Sea dos extensiones y los primos que aparecen a continuación tengan la interpretación obvia. Entonces, si existe un isomorfismo del álgebra de Lie tal que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}},{\mathfrak {e}}'}$ ${\displaystyle f\colon {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {e}}'}$

${\displaystyle f\circ i=i',\quad s'\circ f=s,}$

Entonces se dice que las extensiones y son extensiones equivalentes . La equivalencia de extensiones es una relación de equivalencia . ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}'}$

Tipos de extensión

Trivial

Una extensión del álgebra de Lie

${\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {t}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}$

es trivial si hay un subespacio i tal que t = i ⊕ ker s e i es un ideal en t . ^[1]

Dividir

Una extensión del álgebra de Lie

${\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {s}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}$

se divide si hay un subespacio u tal que s = u ⊕ ker s como espacio vectorial y u es una subálgebra en s .

Un ideal es una subálgebra, pero una subálgebra no es necesariamente un ideal. Por lo tanto, una extensión trivial es una extensión dividida.

Central

Las extensiones centrales de un álgebra de Lie g mediante un álgebra de Lie abeliana h se pueden obtener con la ayuda de un denominado 2-cociclo (no trivial) (fondo) en g . Los 2-cociclos no triviales se producen en el contexto de representaciones proyectivas (fondo) de grupos de Lie. Esto se menciona más adelante.

Una extensión del álgebra de Lie

${\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}$

es una extensión central si ker s está contenido en el centro Z ( e ) de e .

Propiedades

• Como el centro conmuta con todo, h ≅ im i = ker s en este caso es abeliano .
• Dada una extensión central e de g , se puede construir un 2-cociclo en g . Supóngase que e es una extensión central de g por h . Sea l una función lineal de g a e con la propiedad de que s ∘ l = Id _g , es decir, l es una sección de s . Utilice esta sección para definir ε : g × g → e por

${\displaystyle \epsilon (G_{1},G_{2})=l([G_{1},G_{2}])-[l(G_{1}),l(G_{2})],\quad G_{1},G_{2}\in {\mathfrak {g}}.}$

El mapa ε satisface

${\displaystyle \epsilon (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\epsilon (G_{2},[G_{3},G_{1}])+\epsilon (G_{3},[G_{1},G_{2}])=0\in {\mathfrak {e}}.}$

Para ver esto, use la definición de ε en el lado izquierdo, luego use la linealidad de l . Use la identidad de Jacobi en g para deshacerse de la mitad de los seis términos. Use la definición de ε nuevamente en términos l ([ G _i , G _j ]) que se encuentran dentro de tres corchetes de Lie, la bilinealidad de los corchetes de Lie y la identidad de Jacobi en e , y luego finalmente use en los tres términos restantes que Im ε ⊂ ker s y que ker s ⊂ Z ( e ) de modo que ε ( G _i , G _j ) se acoda a cero con todo. Entonces se deduce que φ = i ⁻¹ ∘ ε satisface la relación correspondiente, y si h además es unidimensional, entonces φ es un 2-cociclo en g (a través de una correspondencia trivial de h con el cuerpo subyacente).

Una extensión central

${\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0}$

es universal si para cualquier otra extensión central

${\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}'\;{\overset {i'}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}'\;{\overset {s'}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0}$

existen homomorfismos únicos y tales que el diagrama ${\displaystyle \Phi :{\mathfrak {e}}\to {\mathfrak {e}}'}$ ${\displaystyle \Psi :{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}'}$

conmuta, es decir, i ' ∘ Ψ = Φ ∘ i y s ' ∘ Φ = s . Por universalidad, es fácil concluir que tales extensiones centrales universales son únicas hasta el isomorfismo.

Construcción

Por suma directa

Sean , álgebras de Lie sobre el mismo cuerpo . Definir ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}={\mathfrak {h}}\times {\mathfrak {g}},}$

y define la adición puntual en . La multiplicación escalar se define por ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$

${\displaystyle \alpha (H,G)=(\alpha H,\alpha G),\alpha \in F,H\in {\mathfrak {h}},G\in {\mathfrak {g}}.}$

Con estas definiciones, es un espacio vectorial sobre . Con el corchete de Lie: ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\times {\mathfrak {g}}\equiv {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$es un álgebra de Lie. Definir con más detalle

${\displaystyle i:{\mathfrak {h}}\hookrightarrow {\mathfrak {e}};H\mapsto (H,0),\quad s:{\mathfrak {e}}\twoheadrightarrow {\mathfrak {g}};(H,G)\mapsto G.}$

Está claro que (1) se cumple como una secuencia exacta. Esta extensión de por se llama extensión trivial . Por supuesto, no es otra cosa que la suma directa del álgebra de Lie. Por simetría de definiciones, es también una extensión de por , pero . Está claro a partir de (3) que la subálgebra es un ideal (álgebra de Lie) . Esta propiedad de la suma directa de las álgebras de Lie se promueve a la definición de una extensión trivial. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}\neq {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle 0\oplus {\mathfrak {g}}}$

Por suma semidirecta

Inspirándose en la construcción de un producto semidirecto (fondo) de grupos usando un homomorfismo G → Aut( H ) , se puede realizar la construcción correspondiente para las álgebras de Lie.

Si ψ : g → Der h es un homomorfismo del álgebra de Lie, entonces defina un corchete de Lie en ${\displaystyle {\mathfrak {e}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}}$

Con este corchete de Lie, el álgebra de Lie así obtenida se denota e = h ⊕ _S g y se llama suma semidirecta de h y g .

Al examinar (7) se ve que 0 ⊕ g es una subálgebra de e y h ⊕ 0 es un ideal en e . Defina i : h → e por H ↦ H ⊕ 0 y s : e → g por H ⊕ G ↦ G , H ∈ h , G ∈ g . Está claro que ker s = im i . Por lo tanto, e es una extensión del álgebra de Lie de g por h .

Al igual que con la extensión trivial, esta propiedad se generaliza a la definición de una extensión dividida.

Ejemplo
Sea G el grupo de Lorentz O(3, 1) y sea T el grupo de traslación en 4 dimensiones, isomorfo a ( , +) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ , y considérese la regla de multiplicación del grupo de Poincaré P

${\displaystyle (a_{2},\Lambda _{2})(a_{1},\Lambda _{1})=(a_{2}+\Lambda _{2}a_{1},\Lambda _{2}\Lambda _{1}),\quad a_{1},a_{2}\in \mathrm {T} \subset \mathrm {P} ,\Lambda _{1},\Lambda _{2}\in \mathrm {O} (3,1)\subset \mathrm {P} ,}$

(donde T y O(3, 1) se identifican con sus imágenes en P ). De ello se sigue inmediatamente que, en el grupo de Poincaré, (0, Λ)( a , I )(0, Λ ⁻¹ ) = (Λ a , I ) ∈ T ⊂ P . Por lo tanto, toda transformación de Lorentz Λ corresponde a un automorfismo Φ _Λ de T con inversa Φ _{Λ ⁻¹} y Φ es claramente un homomorfismo. Definamos ahora

${\displaystyle {\overline {\mathrm {P} }}=\mathrm {T} \otimes _{S}\mathrm {O} (3,1),}$

dotado de la multiplicación dada por (4) . Desenrollando las definiciones se encuentra que la multiplicación es la misma que la multiplicación con la que se comenzó y se sigue que P = P . De (5') se sigue que Ψ _Λ = Ad _Λ y luego de (6') se sigue que ψ _λ = ad _λ . λ ∈ o (3, 1) .

Por derivación

Sea δ una derivación (antecedentes) de h y denotemos por g el álgebra de Lie unidimensional generada por δ . Definamos el corchete de Lie en e = g ⊕ h por ^{[nb 2] [11]}

${\displaystyle [G_{1}+H_{1},G_{2}+H_{2}]=[\lambda \delta +H_{1},\mu \delta +H_{2}]=[H_{1},H_{2}]+\lambda \delta (H_{1})-\mu \delta (H_{2}).}$

De la definición del corchete se desprende claramente que h es un ideal en e y que g es una subálgebra de e . Además, g es complementaria de h en e . Sea i : h → e dada por H ↦ (0, H ) y s : e → g por ( G , H ) ↦ G. Es evidente que im i = ker s . Por tanto, e es una extensión dividida de g por h . Una extensión de este tipo se denomina extensión por derivación .

Si ψ : g → der h se define por ψ ( μδ )( H ) = μδ ( H ) , entonces ψ es un homomorfismo del álgebra de Lie en der h . Por lo tanto, esta construcción es un caso especial de una suma semidirecta, ya que al comenzar desde ψ y usar la construcción de la sección anterior, resultan los mismos corchetes de Lie.

Por 2 ciclos

Si ε es un 2-cociclo (fondo) en un álgebra de Lie g y h es cualquier espacio vectorial unidimensional, sea e = h ⊕ g (suma directa del espacio vectorial) y definamos un corchete de Lie en e por

${\displaystyle [\mu H+G_{1},\nu H+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+\varepsilon (G_{1},G_{2})H,\quad \mu ,\nu \in F.}$

Aquí H es un elemento arbitrario pero fijo de h . La antisimetría se sigue de la antisimetría del corchete de Lie en g y de la antisimetría del 2-cociclo. La identidad de Jacobi se sigue de las propiedades correspondientes de g y de ε . Por lo tanto , e es un álgebra de Lie. Supongamos que G ₁ = 0 y se sigue que μH ∈ Z ( e ) . Además, se sigue con i : μH ↦ ( μH , 0) y s : ( μH , G ) ↦ G que Im i = ker s = {( μH , 0): μ ∈ F } ⊂ Z( e ) . Por lo tanto, e es una extensión central de g por h . Se llama extensión por un 2-cociclo .

Teoremas

A continuación se presentan algunos resultados sobre extensiones centrales y 2-cociclos. ^[12]

Teorema ^[1]
Sean φ ₁ y φ ₂ 2-cociclos cohomólogos en un álgebra de Lie g y sean e ₁ y e ₂ respectivamente las extensiones centrales construidas con estos 2-cociclos. Entonces las extensiones centrales e ₁ y e ₂ son extensiones equivalentes.
Demostración
Por definición, φ ₂ = φ ₁ + δf . Definir

${\displaystyle \psi :G+\mu c\in {\mathfrak {e}}_{1}\mapsto G+\mu c+f(G)c\in {\mathfrak {e}}_{2}.}$

De las definiciones se deduce que ψ es un isomorfismo del álgebra de Lie y (2) se cumple.

Corolario
Una clase de cohomología [ Φ ] ∈ H ² ( g , F ) define una extensión central de g que es única hasta el isomorfismo.

El 2-cociclo trivial da la extensión trivial, y dado que un 2-colímite es cohomólogo con el 2-cociclo trivial, se tiene
Corolario
Una extensión central definida por un colímite es equivalente a una extensión central trivial.

Teorema
Un álgebra de Lie simple de dimensión finita tiene solo extensiones centrales triviales.
Demostración
Dado que cada extensión central proviene de un 2-cociclo φ , basta con mostrar que cada 2-cociclo es un colímite. Supóngase que φ es un 2-cociclo en g . La tarea es usar este 2-cociclo para fabricar una 1-cocadena f tal que φ = δf .

El primer paso es, para cada G ₁ ∈ g , utilizar φ para definir una función lineal ρ _{G 1} : g → F por . Estas funciones lineales son elementos de g ^∗ . Sea ν : g ^∗ → g el isomorfismo del espacio vectorial asociado a la forma no degenerada de Killing K , y definamos una función lineal d : g → g por . Esto resulta ser una derivación (para una demostración, véase más abajo). Puesto que, para las álgebras de Lie semisimples, todas las derivaciones son internas, se tiene d = ad _{G d} para algún G _d ∈ g . Entonces ${\displaystyle \rho _{G_{1}}(G_{2})\equiv \varphi (G_{1},G_{2})}$ ${\displaystyle d(G_{1})\equiv \nu (\rho _{G_{1}})}$

${\displaystyle \varphi (G_{1},G_{2})\equiv \rho _{G_{1}}(G_{2})=K(\nu (\rho _{G_{1}}),G_{2})\equiv K(d(G_{1}),G_{2})=K(\mathrm {ad} _{G_{d}}(G_{1}),G_{2})=K([G_{d},G_{1}],G_{2})=K(G_{d},[G_{1},G_{2}]).}$

Sea f la 1-cocadena definida por

${\displaystyle f(G)=K(G_{d},G).}$

Entonces

${\displaystyle \delta f(G_{1},G_{2})=f([G_{1},G_{2}])=K(G_{d},[G_{1},G_{2}])=\varphi (G_{1},G_{2}),}$

mostrando que φ es un colímite.

Prueba de que d es una derivación

Para verificar que d en realidad es una derivación, primero note que es lineal ya que ν lo es, luego calcule

${\displaystyle {\begin{aligned}K(d([G_{1},G_{2}]),G_{3}))&=\varphi ([G_{1},G_{2}]),G_{3}))=\varphi (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\varphi (G_{2},[G_{3},G_{1}])\\&=K(d(G_{1}),[G_{2},G_{3}])+K(d(G_{1}),(G_{3},G_{1}))=K([d(G_{1}),G_{2}],G_{3})+K([G_{1},d(G_{2})],G_{3}))\\&=K([d(G_{1}),G_{2}]+[G_{1},d(G_{2})],G_{3}).\end{aligned}}}$

Apelando a la no degeneración de K , los argumentos de izquierda de K son iguales en el extremo izquierdo y en el extremo derecho.

La observación de que se puede definir una derivación d , dada una forma asociativa simétrica no degenerada K y un 2-cociclo φ , por

${\displaystyle K(\nu (\rho _{G_{1}}),G_{2})\equiv K(d(G_{1}),G_{2}),}$

o utilizando la simetría de K y la antisimetría de φ ,

${\displaystyle K(d(G_{1}),G_{2})=-K(G_{1},d(G_{2})),}$

conduce a un corolario.

Corolario
Sea L:' g × g : → F una forma asociativa bilineal simétrica no degenerada y sea d una derivación que satisface

${\displaystyle L(d(G_{1}),G_{2})=-L(G_{1},d(G_{2})),}$

entonces φ definido por

${\displaystyle \varphi (G_{1},G_{2})=L(d(G_{1}),G_{2})}$

Es un 2-cociclo.

Demostración La condición en d asegura la antisimetría de φ . La identidad de Jacobi para 2-cociclos se deduce a partir de

${\displaystyle \varphi ([G1,G_{2}],G_{3})=L(d[G1,G_{2}],G_{3})=L([d(G1),G_{2}],G_{3})+L([G1,d(G_{2})],G_{3}),}$

utilizando la simetría de la forma, la antisimetría del corchete y una vez más la definición de φ en términos de L .

Si g es el álgebra de Lie de un grupo de Lie G y e es una extensión central de g , se puede preguntar si existe un grupo de Lie E con álgebra de Lie e . La respuesta es afirmativa, según el tercer teorema de Lie . Pero, ¿existe una extensión central E de G con álgebra de Lie e ? La respuesta a esta pregunta requiere cierta maquinaria, y se puede encontrar en Tuynman & Wiegerinck (1987, Teorema 5.4).

Aplicaciones

El resultado "negativo" del teorema precedente indica que, al menos para las álgebras de Lie semisimples, es necesario recurrir a las álgebras de Lie de dimensión infinita para encontrar aplicaciones útiles de las extensiones centrales. De hecho, existen. Aquí se presentarán las álgebras afines de Kac-Moody y las álgebras de Virasoro. Éstas son extensiones de las álgebras de bucles polinomiales y del álgebra de Witt, respectivamente.

Álgebra de bucles polinomiales

Sea g un álgebra de bucles polinomiales (antecedentes),

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {C} [\lambda ,\lambda ^{-1}]\otimes {\mathfrak {g}}_{0},}$

donde g ₀ es un álgebra de Lie simple, compleja y de dimensión finita. El objetivo es encontrar una extensión central de esta álgebra. Se aplican dos de los teoremas. Por un lado, si hay un 2-cociclo en g , entonces se puede definir una extensión central. Por otro lado, si este 2-cociclo actúa sobre la parte g ₀ (solamente), entonces la extensión resultante es trivial. Además, las derivaciones que actúan sobre g ₀ (solamente) tampoco se pueden usar para la definición de un 2-cociclo porque estas derivaciones son todas internas y resulta el mismo problema. Por lo tanto, se buscan derivaciones en C [ λ , λ ⁻¹ ] . Un conjunto de derivaciones de este tipo es

${\displaystyle d_{k}\equiv \lambda ^{k+1}{\frac {d}{d\lambda }},\quad k\in \mathbb {Z} .}$

Para fabricar una forma antisimétrica asociativa bilineal no degenerada L on g , primero se centra la atención en las restricciones de los argumentos, con m , n fijos. Es un teorema que toda forma que satisface los requisitos es un múltiplo de la forma de Killing K on g ₀ . ^[13] Esto requiere

${\displaystyle L(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{n}\otimes G_{2})=\gamma _{lm}K(G_{1},G_{2}).}$

La simetría de K implica

${\displaystyle \gamma _{mn}=\gamma _{nm},}$

y la asociatividad produce

${\displaystyle \gamma _{m+k,n}=\gamma _{m,k+n}.}$

Con m = 0 se ve que γ _k,n = γ _{0, k + n} . Esta última condición implica la anterior. Utilizando este hecho, defina f ( n ) = γ _{0, n} . La ecuación definitoria se convierte entonces en

${\displaystyle L(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{n}\otimes G_{2})=f(m+n)K(G_{1},G_{2}).}$

Para cada i ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ la definición

${\displaystyle f(n)=\delta _{ni}\Leftrightarrow \gamma _{mn}=\delta _{m+n,i}}$

define una forma bilineal asociativa simétrica

${\displaystyle L_{i}(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{n}\otimes G_{2})=\delta _{m+n,i}K(G_{1},G_{2}).}$

Estos abarcan un espacio vectorial de formas que tienen las propiedades correctas.

Volviendo a las derivaciones en cuestión y a la condición

${\displaystyle L_{i}(d_{k}(\lambda ^{l}\otimes G_{1}),\lambda ^{m}\otimes G_{2})=-L_{i}(\lambda ^{l}\otimes G_{1},d_{k}(\lambda ^{m}\otimes G_{2})),}$

Se ve, usando las definiciones, que

${\displaystyle l\delta _{k+l+m,i}=-m\delta _{k+l+m,i},}$

o, con n = l + m ,

${\displaystyle n\delta _{k+n,i}=0.}$

Esto (y la condición de antisimetría) se cumple si k = i , en particular se cumple cuando k = i = 0 .

Por lo tanto, elijamos L = L ₀ y d = d ₀ . Con estas elecciones, se satisfacen las premisas del corolario. El 2-cociclo φ definido por

${\displaystyle \varphi (P(\lambda )\otimes G_{1}),Q(\lambda )\otimes G_{2}))=L(\lambda {\frac {dP}{d\lambda }}\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2})}$

se emplea finalmente para definir una extensión central de g ,

${\displaystyle {\mathfrak {e}}={\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} C,}$

con soporte de mentira

${\displaystyle [P(\lambda )\otimes G_{1}+\mu C,Q(\lambda )\otimes G_{2}+\nu C]=P(\lambda )Q(\lambda )\otimes [G_{1},G_{2}]+\varphi (P(\lambda )\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2})C.}$

Para elementos base, adecuadamente normalizados y con constantes de estructura antisimétrica, se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\lambda ^{l}\otimes G_{i}+\mu C,\lambda ^{m}\otimes G_{j}+\nu C]&=\lambda ^{l+m}\otimes [G_{i},G_{j}]+\varphi (\lambda ^{l}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+L(\lambda {\frac {d\lambda ^{l}}{d\lambda }}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+lL(\lambda ^{l}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}K(G_{i},G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}{C_{ik}}^{m}{C_{jm}}^{k}C=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}\delta ^{ij}C.\end{aligned}}}$

Esta es una extensión central universal del álgebra de bucles polinomiales. ^[14]

Una nota sobre la terminología

En la terminología de la física, el álgebra de arriba podría pasar por un álgebra de Kac-Moody, mientras que probablemente no lo sea en la terminología de las matemáticas. Para ello se requiere una dimensión adicional, una extensión mediante una derivación. No obstante, si, en una aplicación física, los valores propios de g ₀ o su representante se interpretan como números cuánticos (ordinarios) , el superíndice adicional en los generadores se denomina nivel . Es un número cuántico adicional. Más adelante se presenta un operador adicional cuyos valores propios son precisamente los niveles.

Álgebra actual

Murray Gell-Mann , premio Nobel de Física en 1969, inició el campo del álgebra actual en la década de 1960. Explota simetrías locales conocidas incluso sin conocimiento de la dinámica subyacente para extraer predicciones, por ejemplo, la regla de suma de Adler-Weisberger .

Como aplicación de una extensión central del álgebra de bucles polinómicos, se considera un álgebra de corrientes de una teoría cuántica de campos (antecedentes). Supongamos que se tiene un álgebra de corrientes, con el conmutador interesante siendo

con un término de Schwinger. Para construir matemáticamente esta álgebra, sea g el álgebra de bucles polinomiales centralmente extendida de la sección anterior con

${\displaystyle [\lambda ^{l}\otimes G_{i}+\mu C,\lambda ^{m}\otimes G_{j}+\nu C]=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}\delta _{ij}C}$

como una de las relaciones de conmutación, o, con un cambio de notación ( l → m , m → n , i → a , j → b , λ ^m ⊗ G _a → T ^m _a ) con un factor de i bajo la convención de física, ^{[nb 3]}

${\displaystyle [T_{a}^{m},T_{b}^{n}]=i{C_{ab}}^{c}T_{c}^{m+n}+m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C.}$

Definir utilizando elementos de g ,

${\displaystyle J_{a}(x)={\frac {\hbar }{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}T_{a}^{-n},x\in \mathbb {R} .}$

Se observa que

${\displaystyle J_{a}(x+L)=J_{a}(x)}$

de modo que quede definido en un círculo. Ahora calcula el conmutador,

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{a}(x),J_{b}(y)]&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}T_{a}^{-n},\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi imy}{L}}T_{b}^{-m}\right]\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}e^{\frac {2\pi imy}{L}}[T_{a}^{-n},T_{b}^{-m}].\end{aligned}}}$

Para simplificar, cambie las coordenadas de modo que y → 0, x → x − y ≡ z y utilice las relaciones de conmutación,

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{a}(z),J_{b}(0)]&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}[i{C_{ab}}^{c}T_{c}^{-m-n}+m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C]\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi i(-m)z}{L}}\sum _{l=-\infty }^{\infty }ie^{\frac {2\pi i(l)z}{L}}{C_{ab}}^{c}T_{c}^{-l}+\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi imz}{L}}i{C_{ab}}^{c}J_{c}(z)-\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}n\delta _{ab}C\end{aligned}}}$

Ahora empleemos la fórmula de suma de Poisson ,

${\displaystyle {\frac {1}{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {-2\pi inz}{L}}={\frac {1}{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (z+nL)=\delta (z)}$

para z en el intervalo (0, L) y diferenciarlo para obtener

${\displaystyle -{\frac {2\pi i}{L^{2}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }ne^{\frac {-2\pi inz}{L}}=\delta '(z),}$

Y finalmente

${\displaystyle [J_{a}(x-y),J_{b}(0)]=i\hbar {C_{ab}}^{c}J_{c}(x-y)\delta (x-y)+{\frac {i\hbar ^{2}}{2\pi }}\delta _{ab}C\delta '(x-y),}$

o

${\displaystyle [J_{a}(x),J_{b}(y)]=i\hbar {C_{ab}}^{c}J_{c}(x)\delta (x-y)+{\frac {i\hbar ^{2}}{2\pi }}\delta _{ab}C\delta '(x-y),}$

dado que los argumentos de las funciones delta solo garantizan que los argumentos de los argumentos izquierdo y derecho del conmutador sean iguales (formalmente δ ( z ) = δ ( z − 0) ↦ δ (( x − y ) − 0) = δ ( x − y ) ).

En comparación con CA10 , se trata de un álgebra actual en dos dimensiones espaciotemporales, que incluye un término de Schwinger , con la dimensión espacial enrollada en un círculo. En el contexto clásico de la teoría cuántica de campos, esto quizás sea de poca utilidad, pero con el advenimiento de la teoría de cuerdas, donde los campos viven en capas de cuerdas y las dimensiones espaciales están enrolladas, puede haber aplicaciones relevantes.

Álgebra de Kac-Moody

Robert Moody (izquierda), miembro de la Royal Society of Canada , es un matemático canadiense de la Universidad de Alberta . Es codescubridor del álgebra de Kac-Moody junto con Victor Kac , miembro de la American Mathematical Society , un matemático ruso que trabaja en el MIT .

La derivación d ₀ utilizada en la construcción del 2-cociclo φ en la sección anterior se puede extender a una derivación D en el álgebra de bucles polinomiales centralmente extendida, aquí denotada por g para realizar un álgebra de Kac-Moody ^{[15] [16]} (antecedentes). Simplemente establezca

${\displaystyle D(P(\lambda )\otimes G+\mu C)=\lambda {\frac {dP(\lambda )}{d\lambda }}\otimes G.}$

A continuación, defina como un espacio vectorial

${\displaystyle {\mathfrak {e}}=\mathbb {C} d+{\mathfrak {g}}.}$

El corchete de Lie en e está, según la construcción estándar con una derivación, dado sobre una base por

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\lambda ^{m}\otimes G_{1}+\mu C+\nu D,\lambda ^{n}\otimes G_{2}+\mu 'C+\nu 'D]&=\lambda ^{m+n}\otimes [G_{1},G_{2}]+m\delta _{m+n,0}K(G_{1},G_{2})C+\nu D(\lambda ^{n}\otimes G_{1})-\nu 'D(\lambda ^{m}\otimes G_{2})\\&=\lambda ^{m+n}\otimes [G_{1},G_{2}]+m\delta _{m+n,0}K(G_{1},G_{2})C+\nu n\lambda ^{n}\otimes G_{1}-\nu 'm\lambda ^{m}\otimes G_{2}.\end{aligned}}}$

Para mayor comodidad, defina

${\displaystyle G_{i}^{m}\leftrightarrow \lambda ^{m}\otimes G_{i}.}$

Además, supongamos que la base del álgebra de Lie simple de dimensión finita subyacente se ha elegido de modo que los coeficientes de estructura sean antisimétricos en todos los índices y que la base esté apropiadamente normalizada. Entonces, a través de las definiciones, se verifican inmediatamente las siguientes relaciones de conmutación.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[G_{i}^{m},G_{j}^{n}]&={C_{ij}}^{k}G_{k}^{m+n}+m\delta _{ij}\delta ^{m+n,0}C,\\{}[C,G_{i}^{m}]&=0,\quad 1\leq i,j,N,\quad m,n\in \mathbb {Z} \\{}[D,G_{i}^{m}]&=mG_{i}^{m}\\{}[D,C]&=0.\end{aligned}}}$

Estas son precisamente la descripción abreviada de un álgebra de Kac–Moody afín no retorcida. Para recapitular, comience con un álgebra de Lie simple de dimensión finita. Defina un espacio de polinomios formales de Laurent con coeficientes en el álgebra de Lie simple de dimensión finita. Con el apoyo de una forma bilineal alternada no degenerada simétrica y una derivación, se define un 2-cociclo, que posteriormente se usa en la prescripción estándar para una extensión central por un 2-cociclo. Extienda la derivación a este nuevo espacio, use la prescripción estándar para una extensión dividida por una derivación y obtendrá un álgebra de Kac–Moody afín no retorcida.

Álgebra de Virasoro

El objetivo es construir el álgebra de Virasoro (nombrada en honor a Miguel Ángel Virasoro ) ^{[nb 4]} como una extensión central mediante un 2-cociclo φ del álgebra de Witt W (fondo). La identidad de Jacobi para 2-cociclos da como resultado

Dejando y usando la antisimetría de η se obtiene ${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle (m+p)\eta _{mp}=(m-p)\eta _{m+p,0}.}$

En la extensión, las relaciones de conmutación para el elemento d ₀ son

${\displaystyle [d_{0}+\mu C,d_{m}+\nu C]_{\varphi }=-md_{m}+\eta _{0m}C=-m(d_{m}-{\frac {\eta _{0m}}{m}}C).}$

Es conveniente eliminar la carga central del lado derecho. Para ello, defina

${\displaystyle f:W\to \mathbb {C} ;d_{m}\to {\frac {\varphi (d_{0},d_{m})}{m}}={\frac {\eta _{0m}}{m}}.}$

Luego, usando f como una 1-cocadena,

${\displaystyle \eta '_{0n}=\varphi '(d_{0},d_{n})=\varphi (d_{0},d_{n})+\delta f([d_{0},d_{n}])=\varphi (d_{0},d_{n})-n{\frac {\eta ^{0n}}{n}}=0,}$

Entonces con este 2-cociclo, equivalente al anterior, se tiene ^{[nb 5]}

${\displaystyle [d_{0}+\mu C,d_{m}+\nu C]_{\varphi '}=-md_{m}.}$

Con este nuevo ciclo de 2 (omite el prime) la condición se convierte en

${\displaystyle (n+p)\eta _{mp}=(n-p)\eta _{m+p,0}=0,}$

y por lo tanto

${\displaystyle \eta _{mp}=a(m)\delta _{m.-p},\quad a(-m)=-a(m),}$

donde la última condición se debe a la antisimetría del corchete de Lie. Con esto, y con l + m + p = 0 (recortando un "plano" en ), (V10) se obtiene ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{3}}$

${\displaystyle (2m+p)a(p)+(m-p)a(m+p)+(m+2p)a(m)=0,}$

que con p = 1 (cortando una "línea" en ) se convierte en ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

${\displaystyle (m-1)a(m+1)-(m+2)a(m)+(2m+1)a(1)=0.}$

Esta es una ecuación diferencial que generalmente se resuelve mediante

${\displaystyle a(m)=\alpha m+\beta m^{3}.}$

El conmutador en la extensión sobre elementos de W es entonces

${\displaystyle [d_{l},d_{m}]=(l-m)d_{l+m}+(\alpha m+\beta m^{3})\delta _{l,-m}C.}$

Con β = 0 es posible cambiar la base (o modificar el 2-cociclo por un 2-colímite) de modo que

${\displaystyle [d'_{l},d'_{m}]=(l-m)d_{l+m},}$

con la carga central totalmente ausente, y por lo tanto la extensión es trivial. (Este no fue (generalmente) el caso con la modificación anterior, donde solo d ₀ obtuvo las relaciones originales.) Con β ≠ 0 el siguiente cambio de base,

${\displaystyle d'_{l}=d_{l}+\delta _{0l}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}C,}$

Las relaciones de conmutación toman la forma

${\displaystyle [d'_{l},d'_{m}]=(l-m)d'_{l+m}+(\gamma m+\beta m^{3})\delta _{l,-m}C,}$

mostrando que la parte lineal en m es trivial. También muestra que H ² ( W , ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ es unidimensional (que corresponde a la elección de β ). La elección convencional es tomar α = − β = 1 ⁄ 12 y aún así conservar la libertad absorbiendo un factor arbitrario en el objeto arbitrario C . El álgebra de Virasoro V es entonces

${\displaystyle {\mathcal {V}}={\mathcal {W}}+\mathbb {C} C,}$

con relaciones de conmutación

${\displaystyle [d_{l}+\mu C,d_{m}+\nu C]=(l-m)d_{l+m}+{\frac {(m-m^{3})}{12}}\delta _{l,-m}C.}$

Cuerdas abiertas bosónicas

La cuerda abierta clásica relativista (fondo) está sujeta a cuantificación . Esto equivale aproximadamente a tomar la posición y el momento de la cuerda y promoverlos a operadores en el espacio de estados de cuerdas abiertas. Dado que las cuerdas son objetos extendidos, esto da como resultado un continuo de operadores que dependen del parámetro σ . Las siguientes relaciones de conmutación se postulan en la imagen de Heisenberg . ^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[X^{I}(\tau ,\sigma ),{\mathcal {P}}^{\tau J}(\tau ,\sigma )]&=i\eta ^{IJ}\delta (\sigma -\sigma '),\\{}[x_{0}^{-}(\tau ),p^{+}(\tau )]&=-i.\end{aligned}}}$

Todos los demás conmutadores desaparecen.

Debido al continuo de operadores y a las funciones delta, es deseable expresar estas relaciones en términos de las versiones cuantificadas de los modos de Virasoro, los operadores de Virasoro . Estos se calculan para satisfacer

${\displaystyle [\alpha _{m}^{I},\alpha _{n}^{J}]=m\eta ^{IJ}\delta _{m+n,0}}$

Se interpretan como operadores de creación y aniquilación que actúan sobre el espacio de Hilbert, aumentando o disminuyendo el quantum de sus respectivos modos. Si el índice es negativo, el operador es un operador de creación, en caso contrario es un operador de aniquilación. (Si es cero, es proporcional al operador de momento total). En vista del hecho de que los modos positivo y negativo del cono de luz se expresaron en términos de los modos transversales de Virasoro, se deben considerar las relaciones de conmutación entre los operadores de Virasoro. Estos se definieron clásicamente (entonces modos) como

${\displaystyle L_{n}={\frac {1}{2}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I}.}$

Dado que, en la teoría cuantizada, los alfas son operadores, el orden de los factores importa. En vista de la relación de conmutación entre los operadores de modo, solo importará para el operador L ₀ (para el cual m + n = 0 ). L ₀ se elige ordenado de manera normal .

${\displaystyle L_{0}={\frac {1}{2}}\alpha _{0}^{I}\alpha _{0}^{I}+\sum _{p=1}^{\infty }\alpha _{-p}^{I}\alpha _{p}^{I},=\alpha 'p^{I}p^{I}+\sum _{p=1}^{\infty }p\alpha _{p}^{I\dagger }\alpha _{p}^{I}+c}$

donde c es una posible constante de ordenamiento. Se obtienen después de un cálculo algo largo ^[18] las relaciones

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n},\quad m+n\neq 0.}$

Si se permite m + n = 0 arriba, entonces se tienen precisamente las relaciones de conmutación del álgebra de Witt. En cambio, se tiene

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {D-2}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0},\quad \forall m,n\in \mathbb {Z} .}$

Al identificar el término central genérico como ( D − 2) veces el operador identidad, se obtiene el álgebra de Virasoro, la extensión central universal del álgebra de Witt.

El operador L ₀ entra en la teoría como el hamiltoniano , módulo una constante aditiva. Además, los operadores de Virasoro entran en la definición de los generadores de Lorentz de la teoría. Es quizás el álgebra más importante en la teoría de cuerdas. ^[19] La consistencia de los generadores de Lorentz, por cierto, fija la dimensionalidad del espacio-tiempo en 26. Si bien esta teoría presentada aquí (para una relativa simplicidad de exposición) no es física, o al menos incompleta (no tiene, por ejemplo, fermiones), el álgebra de Virasoro surge de la misma manera en la teoría de supercuerdas y la teoría M , que son más viables .

Ampliación de grupo

Una representación proyectiva Π( G ) de un grupo de Lie G (fondo) se puede utilizar para definir una llamada extensión de grupo G _ex .

En mecánica cuántica, el teorema de Wigner afirma que si G es un grupo de simetría, entonces se representará proyectivamente en el espacio de Hilbert mediante operadores unitarios o antiunitarios. Esto se suele solucionar pasando al grupo de recubrimiento universal de G y tomándolo como el grupo de simetría. Esto funciona bien para el grupo de rotación SO(3) y el grupo de Lorentz O(3, 1) , pero no funciona cuando el grupo de simetría es el grupo galileano . En este caso, hay que pasar a su extensión central, el grupo de Bargmann , ^[20] que es el grupo de simetría de la ecuación de Schrödinger . Del mismo modo, si G = ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , el grupo de traslaciones en el espacio de posición y momento, hay que pasar a su extensión central, el grupo de Heisenberg . ^[21]

Sea ω el 2-cociclo en G inducido por Π . Defina ^{[nb 6]}

${\displaystyle G_{\mathrm {ex} }=\mathbb {C} ^{*}\times G=\{(\lambda ,g)|\lambda \in \mathbb {C} ,g\in G\}}$

como un conjunto y dejemos que la multiplicación se defina por

${\displaystyle (\lambda _{1},g_{1})(\lambda _{2},g_{2})=(\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2}),g_{1}g_{2}).}$

La asociatividad se cumple ya que ω es un 2-cociclo en G . Se tiene para el elemento unidad

${\displaystyle (1,e)(\lambda ,g)=(\lambda \omega (e,g),g)=(\lambda ,g)=(\lambda ,g)(1,e),}$

y para la inversa

${\displaystyle (\lambda ,g)^{-1}=\left({\frac {1}{\lambda \omega (g,g^{-1})}},g^{-1}\right).}$

El conjunto ( , e ) ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ es un subgrupo abeliano de G _ex . Esto significa que G _ex no es semisimple. El centro de G , Z ( G ) = { z ∈ G | zg = gz ∀ g ∈ G } incluye este subgrupo. El centro puede ser mayor.

A nivel de álgebras de Lie se puede demostrar que el álgebra de Lie g _ex de G _ex está dada por

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathrm {ex} }=\mathbb {C} C\oplus {\mathfrak {g}},}$

como un espacio vectorial y dotado del corchete de Lie

${\displaystyle [\mu C+G_{1},\nu C+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+\eta (G_{1},G_{2})C.}$

Aquí η es un 2-cociclo en g . Este 2-cociclo se puede obtener a partir de ω aunque de una manera muy no trivial. ^{[nb 7]}

Ahora, utilizando la representación proyectiva Π se puede definir una función Π _ex mediante

${\displaystyle \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda ,g))=\lambda \Pi (g).}$

Tiene las propiedades

${\displaystyle \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{1},g_{1}))\Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{2},g_{2}))=\lambda _{1}\lambda _{2}\Pi (g_{1})\Pi (g_{2})=\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2})\Pi (g_{1}g_{2})=\Pi _{\mathrm {ex} }(\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2}),g_{1}g_{2})=\Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{1},g_{1})(\lambda _{2},g_{2})),}$

Por lo tanto, Π _ex ( G _ex ) es una representación auténtica de G _ex .

En el contexto del teorema de Wigner, la situación puede representarse como tal (reemplazar por U(1) ); sea SH la esfera unitaria en el espacio de Hilbert H , y sea (·,·) su producto interno. Sea PH el espacio de rayos y [·,·] el producto de rayos . Sea además una flecha ondulada una acción de grupo . Entonces el diagrama ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

desplazamientos, es decir

${\displaystyle \pi _{2}\circ \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda ,g))(\psi )=\Pi \circ \pi (g)(\pi _{1}(\psi )),\quad \psi \in S{\mathcal {H}}.}$

Además, de la misma manera que G es una simetría de PH que preserva [·,·] , G _ex es una simetría de SH que preserva (·,·) . Las fibras de π ₂ son todas círculos. Estos círculos se dejan invariantes bajo la acción de U(1) . La acción de U(1) sobre estas fibras es transitiva sin punto fijo. La conclusión es que SH es un fibrado principal sobre PH con grupo estructural U(1) . ^[21]

Material de referencia

Para poder analizar adecuadamente las extensiones, se necesita una estructura que vaya más allá de las propiedades definitorias de un álgebra de Lie. Aquí se recopilan datos rudimentarios sobre ellas para una referencia rápida.

Derivaciones

Una derivación δ en un álgebra de Lie g es una función

${\displaystyle \delta :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$

de tal manera que la regla de Leibniz

${\displaystyle \delta [G_{1},G_{2}]=[\delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},\delta G_{2}]}$

Se cumple. El conjunto de derivaciones de un álgebra de Lie g se denota por der g . Es en sí mismo un álgebra de Lie bajo el corchete de Lie

${\displaystyle [\delta _{1},\delta _{2}]=\delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}.}$

Es el álgebra de Lie del grupo Aut g de automorfismos de g . ^[22] Hay que demostrar

${\displaystyle \delta [G_{1},G_{1}]=[\delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},\delta G_{2}]\Leftrightarrow e^{t\delta }[G_{1},G_{2}]=[e^{t\delta }G_{1},e^{t\delta }G_{2}],\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$

Si se cumple el lado derecho, derivar y establecer t = 0, lo que implica que se cumple el lado izquierdo. Si se cumple el lado izquierdo ( A ) , escribir el lado derecho como

${\displaystyle [G_{1},G_{2}]\;{\overset {?}{=}}\;e^{-t\delta }[e^{t\delta }G_{1},e^{t\delta }G_{2}],}$

y derivamos el lado derecho de esta expresión. Es, usando ( A ) , idénticamente cero. Por lo tanto, el lado derecho de esta expresión es independiente de t y es igual a su valor para t = 0 , que es el lado izquierdo de esta expresión.

Si G ∈ g , entonces ad _G , actuando por ad _{G 1} ( G ₂ ) = [ G ₁ , G ₂ ] , es una derivación. El conjunto ad _G : G ∈ g es el conjunto de derivaciones internas en g . Para álgebras de Lie simples de dimensión finita todas las derivaciones son derivaciones internas. ^[23]

Producto semidirecto (grupos)

Considérense dos grupos de Lie G y H y Aut H , el grupo de automorfismos de H . Este último es el grupo de isomorfismos de H . Si hay un homomorfismo de grupo de Lie Φ: G → Aut H , entonces para cada g ∈ G hay un Φ( g ) ≡ Φ _g ∈ Aut H con la propiedad Φ _{gg '} = Φ _g Φ _{g '} , g , g ' ∈ G . Denotemos con E el conjunto H × G y definamos la multiplicación por

Entonces E es un grupo con identidad ( e _H , e _G ) y la inversa está dada por ( h , g ) ⁻¹ = ( Φ _{g ⁻¹} ( h ⁻¹ ), g ⁻¹ ) . Usando la expresión para la inversa y la ecuación (4) se ve que H es normal en E . Denotemos el grupo con este producto semidirecto como E = H ⊗ _S G .

Por el contrario, si E = H ⊗ _S G es una expresión dada del producto semidirecto del grupo E , entonces por definición H es normal en E y C _g ∈ Aut H para cada g ∈ G donde C _g ( h ) ≡ ghg ⁻¹ y la función Φ : g ↦ C _g es un homomorfismo.

Ahora utilicemos la correspondencia de Lie. Las funciones Φ _g : H → H , g ∈ G inducen cada una, a nivel de álgebras de Lie, una función Ψ _g : h → h . Esta función se calcula mediante

Por ejemplo, si G y H son ambos subgrupos de un grupo más grande E y Φ _g = ghg ^​​−1 , entonces

y se reconoce Ψ como la acción adjunta Ad de E sobre h restringida a G . Ahora Ψ: G → Aut h [ ⊂ GL( h ) si h es de dimensión finita] es un homomorfismo, ^{[nb 8]} y apelando una vez más a la correspondencia de Lie, hay un homomorfismo único del álgebra de Lie ψ : g → Lie(Aut h ) = Der h ⊂ gl( h ) . ^{[nb 9]} Esta función está dada (formalmente) por

por ejemplo, si Ψ = Ad , entonces (formalmente)

donde se utiliza una relación entre Ad y la acción adjunta ad rigurosamente probada aquí .

Álgebra de Lie
El álgebra de Lie es, como espacio vectorial, e = h ⊕ g . Esto es claro ya que GH genera E y G ∩ H = ( e _H , e _G ) . El corchete de Lie está dado por ^[24]

${\displaystyle [H_{1}+G_{1},H_{2}+G_{2}]_{\mathfrak {e}}=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+\psi _{G_{1}}(H_{2})-\psi _{G_{2}}(H_{1})+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}.}$

Cálculo del corchete de Lie

Para calcular el corchete de Lie, comience con una superficie en E parametrizada por s y t . Los elementos de h en e = h ⊕ g están decorados con una barra, y lo mismo para g .

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{e^{t{\overline {G}}}s{\overline {H}}e^{-t{\overline {G}}}}&=e^{t{\overline {G}}}e^{s{\overline {H}}}e^{-t{\overline {G}}}=(1,e^{tG})(e^{sH},1)(1,e^{-tG})\\&=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),e^{tG})(1,e^{-tG})=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH})\phi _{e^{tG}}(1),1)\\&=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),1)\end{aligned}}}$

Uno tiene

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left.e^{Ad_{e^{t{\overline {G}}}}s{\overline {H}}}\right|_{s=0}=Ad_{e^{t{\overline {G}}}}{\overline {H}}}$

y

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left.(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),1)\right|_{s=0}=(\Psi _{e^{tG}}(H),0)}$

por 5 y así

${\displaystyle Ad_{e^{t{\overline {G}}}}{\overline {H}}=(\Psi _{e^{tG}}(H),0).}$

Ahora diferencie esta relación con respecto a t y evalúe en t = 0 :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left.e^{t{\overline {G}}}{\overline {H}}e^{-t{\overline {G}}}\right|_{t=0}=[{\overline {G}},{\overline {H}}]}$

y

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left.(\Psi _{e^{tG}}(H),0)\right|_{t=0}=(\psi _{G}(H),0)}$

por 6 y así

${\displaystyle [H_{1}+G_{1},H_{2}+G_{2}]_{\mathfrak {e}}=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+[G_{1},H_{2}]+[H_{1},G_{2}]+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+\psi _{G_{1}}(H_{2})-\psi _{G_{2}}(H_{1})+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}.}$

Cohomología

Para los propósitos actuales, basta considerar una porción limitada de la teoría de la cohomología del álgebra de Lie. Las definiciones no son las más generales posibles, ni siquiera las más comunes, pero los objetos a los que se refieren son ejemplos auténticos de definiciones más generales.

2-cociclos
Los objetos de interés principal son los 2-cociclos en g , definidos como funciones alternas bilineales ,

${\displaystyle \phi :{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow F,}$

que se van alternando,

${\displaystyle \phi (G_{1},G_{2})=-\phi (G_{2},G_{1}),}$

y que tiene una propiedad parecida a la identidad de Jacobi llamada identidad de Jacobi para 2 ciclos ,

${\displaystyle \phi (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\phi (G_{2},[G_{3},G_{1}])+\phi (G_{3},[G_{1},G_{2}])=0.}$

El conjunto de todos los 2-cociclos en g se denota Z ² ( g , F ) .

2-cociclos a partir de 1-cocadenas
Algunos 2-cociclos pueden obtenerse a partir de 1-cocadenas. Una 1-cocadena en g es simplemente una función lineal,

${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow F}$

El conjunto de todos estos mapas se denota C ¹ ( g , F ) y, por supuesto (al menos en el caso de dimensión finita) C ¹ ( g , F ) ≅ g * . Usando una 1-cocadena f , un 2-cociclo δf puede definirse por

${\displaystyle \delta f(G_{1},G_{2})=f([G_{1},G_{2}]).}$

La propiedad alternante es inmediata y la identidad de Jacobi para 2-cociclos se muestra (como es habitual) escribiéndola y usando la definición y las propiedades de los ingredientes (aquí la identidad de Jacobi en g y la linealidad de f ). La función lineal δ : C ¹ ( g , F ) → Z ² ( g , F ) se denomina operador de colímite (aquí restringido a C ¹ ( g , F ) ).

El segundo grupo de cohomología
Denota la imagen de C ¹ ( g , F ) de δ por B ² ( g , F ) . El cociente

${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )=Z^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )/B^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )}$

se llama el segundo grupo de cohomología de g . Los elementos de H ² ( g , F ) son clases de equivalencia de 2-cociclos y dos 2-cociclos φ ₁ y φ ₂ se llaman cociclos equivalentes si difieren en un 2-colímite, es decir si φ ₁ = φ ₂ + δf para algún f ∈ C ¹ ( g , F ) . Los 2-cociclos equivalentes se llaman cohomólogos . La clase de equivalencia de φ ∈ Z ² ( g , F ) se denota [ φ ] ∈ H ² .

Estas nociones se generalizan en varias direcciones. Para ello, véanse los artículos principales.

Constantes de estructura

Sea B una base de Hamel para g . Entonces cada G ∈ g tiene una expresión única como

${\displaystyle G=\sum _{\alpha \in A}c_{\alpha }G_{\alpha },\quad c_{\alpha }\in F,G_{\alpha }\in B}$

para un conjunto de índices A de tamaño adecuado. En esta expansión, solo un número finito de c _α son distintos de cero. En la continuación se supone (para simplificar) que la base es numerable, y se utilizan letras latinas para los índices y el conjunto de índices puede tomarse como = 1, 2, ... . Inmediatamente se tiene ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$

${\displaystyle [G_{i},G_{j}]={C_{ij}}^{k}G_{k}}$

Para los elementos básicos, en los que se ha eliminado el símbolo de suma, se aplica la convención de suma. La ubicación de los índices en las constantes de estructura (arriba o abajo) es irrelevante. El siguiente teorema es útil:

Teorema : Existe una base tal que las constantes de estructura son antisimétricas en todos los índices si y solo si el álgebra de Lie es una suma directa de álgebras de Lie compactas simples y álgebras de Lie u (1) . Este es el caso si y solo si existe una métrica definida positiva real g sobre g que satisface la condición de invariancia.

${\displaystyle g_{\alpha \beta }{C^{\beta }}_{\gamma \delta }=-g_{\gamma \beta }{C^{\beta }}_{\alpha \delta }.}$

en cualquier base. Esta última condición es necesaria por razones físicas para las teorías de calibre no abelianas en la teoría cuántica de campos . Por lo tanto, se puede producir una lista infinita de posibles teorías de calibre utilizando el catálogo de Cartan de álgebras de Lie simples en su forma compacta (es decir, sl ( n , ) → su ( n ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , etc. Una de esas teorías de calibre es la teoría de calibre U(1) × SU(2) × SU(3) del modelo estándar con álgebra de Lie u (1) ⊕ su (2) ⊕ su (3) . ^[25]

Forma de matar

La forma Killing es una forma bilineal simétrica en g definida por

${\displaystyle K(G_{1},G_{2})=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{G_{1}}\mathrm {ad} _{G_{2}}).}$

Aquí ad _G se considera como una matriz que opera en el espacio vectorial g . El hecho clave necesario es que si g es semisimple , entonces, según el criterio de Cartan , K no es degenerada. En tal caso, K puede usarse para identificar g y g ^∗ . Si λ ∈ g ^∗ , entonces hay un ν ( λ ) = G _λ ∈ g tal que

${\displaystyle \langle \lambda ,G\rangle =K(G_{\lambda },G)\quad \forall G\in {\mathfrak {g}}.}$

Esto se parece al teorema de representación de Riesz y la demostración es prácticamente la misma. La forma de Killing tiene la propiedad

${\displaystyle K([G_{1},G_{2}],G_{3})=K(G_{1},[G_{2},G_{3}]),}$

lo que se denomina asociatividad. Al definir g _αβ = K [ G _α , G _β ] y expandir los corchetes internos en términos de constantes de estructura, se encuentra que la forma Killing satisface la condición de invariancia anterior.

Álgebra de bucles

Un grupo de bucles se toma como un grupo de aplicaciones suaves del círculo unitario S ¹ en un grupo de Lie G con la estructura de grupo definida por la estructura de grupo en G . El álgebra de Lie de un grupo de bucles es entonces un espacio vectorial de aplicaciones de S ¹ en el álgebra de Lie g de G . Cualquier subálgebra de tal álgebra de Lie se denomina álgebra de bucles . La atención aquí se centra en las álgebras de bucles polinómicas de la forma

${\displaystyle \{h:S^{1}\to {\mathfrak {g}}|h(\lambda )=\sum \lambda ^{n}G_{n},n\in \mathbb {Z} ,\lambda =e^{i\theta }\in S^{1},G_{n}\in {\mathfrak {g}}\}.}$

Derivación del álgebra de Lie

Para ver esto, considere los elementos H ( λ ) cerca de la identidad en G para H en el grupo de bucles, expresado en una base {G_k} para g

${\displaystyle H(\lambda )=e^{h^{k}(\lambda )G_{k}}=e_{G}+h^{k}(\lambda )G_{k}+\ldots ,}$

donde los h ^k ( λ ) son reales y pequeños y la suma implícita es sobre la dimensión K de g . Ahora escribe

${\displaystyle h^{k}(\lambda )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\theta _{-n}^{k}\lambda ^{n}}$

Para obtener

${\displaystyle e^{h^{k}(\lambda )G_{k}}=1_{G}+\sum _{n=-\infty }^{\infty }\theta _{-n}^{k}\lambda ^{n}G_{k}+\ldots .}$

Así las funciones

${\displaystyle h:S^{1}\to {\mathfrak {g}};h(\lambda )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=1}^{K}\theta _{-n}^{k}\lambda ^{n}G_{k}\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }\lambda ^{n}G_{n}}$

constituyen el álgebra de Lie.

Un pequeño pensamiento confirma que estos son bucles en g a medida que θ va de 0 a 2 π . Las operaciones son las definidas puntualmente por las operaciones en g . Esta álgebra es isomorfa con el álgebra

${\displaystyle C[\lambda ,\lambda ^{-1}]\otimes {\mathfrak {g}},}$

donde C[ λ , λ ⁻¹ ] es el álgebra de polinomios de Laurent ,

${\displaystyle \sum \lambda ^{k}G_{k}\leftrightarrow \sum \lambda ^{k}\otimes G_{k}.}$

El soporte de Lie es

${\displaystyle [P(\lambda )\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2}]=P(\lambda )Q(\lambda )\otimes [G_{1},G_{2}].}$

En esta última perspectiva, los elementos pueden considerarse como polinomios con coeficientes (¡constantes!) en g . En términos de una base y constantes de estructura,

${\displaystyle [\lambda ^{m}\otimes G_{i},\lambda ^{n}\otimes G_{j}]={C_{ij}}^{k}\lambda ^{m+n}\otimes G_{k}.}$

También es común tener una notación diferente,

${\displaystyle \lambda ^{m}\otimes G_{i}\cong \lambda ^{m}G_{i}\leftrightarrow T_{i}^{m}(\lambda )\equiv T_{i}^{m},}$

donde se debe tener en cuenta la omisión de λ para evitar confusiones; los elementos son realmente funciones S ¹ → g . El corchete de Lie es entonces

${\displaystyle [T_{i}^{m},T_{j}^{n}]={C_{ij}}^{k}T_{k}^{m+n},}$

que es reconocible como una de las relaciones de conmutación en un álgebra de Kac–Moody afín no retorcida, que se presentará más adelante, sin el término central. Con m = n = 0 , se obtiene una subálgebra isomorfa a g . Genera (como se ve al rastrear hacia atrás en las definiciones) el conjunto de aplicaciones constantes de S ¹ en G , que obviamente es isomorfa con G cuando exp es sobre (que es el caso cuando G es compacta. Si G es compacta, entonces se puede elegir una base ( G _k ) para g de modo que los G _k sean antihermíticos. Como consecuencia,

${\displaystyle T_{i}^{n\dagger }=(\lambda ^{n}G_{i})^{\dagger }=-\lambda ^{-n}G_{i}=-T_{i}^{-n}.}$

Tal representación se llama unitaria porque los representantes

${\displaystyle H(\lambda )=e^{\theta _{n}^{k}T_{k}^{-n}}\in G}$

son unitarios. Aquí, el signo menos en el índice inferior de T es convencional, se aplica la convención de suma y el λ está (por definición) enterrado en las T del lado derecho.

Álgebra actual (física)

Las álgebras de corriente surgen en las teorías cuánticas de campos como consecuencia de la simetría de norma global . Las corrientes conservadas se producen en las teorías de campos clásicas siempre que el lagrangiano respete una simetría continua . Este es el contenido del teorema de Noether . La mayoría (quizás todas) las teorías cuánticas de campos modernas se pueden formular en términos de lagrangianos clásicos (antes de la cuantización), por lo que el teorema de Noether se aplica también en el caso cuántico. Tras la cuantización, las corrientes conservadas se convierten en operadores dependientes de la posición en el espacio de Hilbert. Estos operadores están sujetos a relaciones de conmutación, que generalmente forman un álgebra de Lie de dimensión infinita. A continuación se presenta un modelo que ilustra esto.

Para realzar el sabor de la física, los factores de i aparecerán aquí y allá en lugar de en las convenciones matemáticas. ^{[nb 3]}

Considérese un vector columna Φ de campos escalares (Φ ₁ , Φ ₂ , ..., Φ _N ) . Sea la densidad lagrangiana

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\phi ^{\dagger }\partial ^{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{\dagger }\phi .}$

Este lagrangiano es invariante bajo la transformación ^{[nb 10]}

${\displaystyle \phi \mapsto e^{-i\sum _{a=1}^{r}\alpha ^{a}F_{a}}\phi ,}$

donde { F ₁ , F ₁ , ..., F _r } son generadores de U( N ) o un subgrupo cerrado del mismo, que satisfacen

${\displaystyle [F_{a},F_{b}]=i{C_{ab}}^{c}F_{c}.}$

El teorema de Noether afirma la existencia de r corrientes conservadas,

${\displaystyle J_{a}^{\mu }=-\pi ^{\mu }iF_{a}\phi ,\quad \pi ^{k\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{k})}},}$

donde π ^{k 0} ≡ π ^k es el momento conjugado canónicamente a Φ _k . La razón por la que se dice que estas corrientes se conservan es porque

${\displaystyle \partial _{\mu }J_{a}^{\mu }=0,}$

y por consiguiente

${\displaystyle Q_{a}(t)=\int J_{a}^{0}d^{3}x=\mathrm {const} \equiv Q_{a},}$

La carga asociada a la densidad de carga J _a ⁰ es constante en el tiempo. ^{[nb 11]} Esta teoría (hasta ahora clásica) se cuantifica promoviendo los campos y sus conjugados a operadores en el espacio de Hilbert y postulando (cuantificación bosónica) las relaciones de conmutación ^{[26] [nb 12]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\phi _{k}(t,x),\pi ^{l}(t,x)]&=i\delta (x-y)\delta _{k}^{l},\\{}[\phi _{k}(t,x),\phi _{l}(t,x)]&=[\pi ^{k}(t,x),\pi ^{l}(t,x)]=0.\end{aligned}}}$

Las corrientes se convierten, por tanto, en operadores ^{[nb 13].} Satisfacen, utilizando las relaciones postuladas anteriormente, las definiciones y la integración en el espacio, las relaciones de conmutación.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{0}(t,\mathbf {y} )]&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ){C_{ab}}^{c}J_{c}^{0}(ct,\mathbf {x} )\\{}[Q_{a},Q_{b}]&=i{Q_{ab}}^{c}Q_{c}\\{}[Q_{a},J_{b}^{\mu }(t,\mathbf {x} )]&=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{\mu }(t,\mathbf {x} ),\end{aligned}}}$

donde la velocidad de la luz y la constante de Planck reducida se han fijado en la unidad. La última relación de conmutación no se deduce de las relaciones de conmutación postuladas (éstas son fijas solo para π ^{k 0} , no para π ^{k 1} , π ^{k 2} , π ^{k 3} ), excepto para μ = 0 Para μ = 1, 2, 3 se utiliza el comportamiento de la transformación de Lorentz para deducir la conclusión. El siguiente conmutador a considerar es

${\displaystyle [J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{i}(t,\mathbf {y} )]=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{i}(t,\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+S_{ab}^{ij}\partial _{j}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+....}$

La presencia de las funciones delta y sus derivadas se explica por el requisito de microcausalidad que implica que el conmutador se anula cuando x ≠ y . Por lo tanto, el conmutador debe ser una distribución soportada en x = y . ^[27] El primer término es fijo debido al requisito de que la ecuación debe, cuando se integra sobre X , reducirse a la última ecuación anterior. Los siguientes términos son los términos de Schwinger . Se integran a cero, pero se puede demostrar de forma bastante general ^[28] que deben ser distintos de cero.

Existencia de términos de Schwinger

Considere una corriente conservada

con un término genérico de Schwinger

${\displaystyle [J^{0}(t,\mathbf {x} ),J^{i}(t,\mathbf {y} )]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )J^{i}(t,\mathbf {x} )+C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}$

Tomando el valor esperado de vacío (VEV),

${\displaystyle \langle 0|C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|0\rangle =\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),J^{i}(t,\mathbf {y} )]|0\rangle ,}$

Uno encuentra

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|{\frac {\partial C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}{\partial _{y^{i}}}}|0\rangle &=\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),{\frac {\partial J^{i}(t,\mathbf {y} )}{\partial _{y^{i}}}}]|0\rangle \\&=-\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),{\frac {\partial J^{0}(t,\mathbf {y} )}{\partial _{t}}}]|0\rangle =i\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),[J^{0}(t,\mathbf {y} ),H]]|0\rangle \\&=-i\langle 0|J^{0}(t,\mathbf {x} )HJ^{0}(t,\mathbf {y} )+J^{0}(t,\mathbf {x} )HJ^{0}(t,\mathbf {x} )|0\rangle ,\end{aligned}}}$

donde se han utilizado S10 y la ecuación de movimiento de Heisenberg así como H |0⟩ = 0 y su conjugado.

Multiplica esta ecuación por f ( x ) f ( y ) e integra con respecto a x e y en todo el espacio, usando integración por partes , y se encuentra

${\displaystyle -i\int \int d\mathbf {x} d\mathbf {y} \langle 0|C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|0\rangle f(\mathbf {x} ){\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}f(\mathbf {x} )=2\langle 0|FHF|\rangle ,\quad F=\int J^{0}(\mathbf {x} )f(\mathbf {x} ).}$

Ahora inserte un conjunto completo de estados, | n⟩

${\displaystyle \langle 0|FHF|\rangle =\sum _{mn}\langle 0|F|m\rangle \langle m|H|n\rangle \langle n|F|0\rangle =\sum _{mn}\langle 0|F|m\rangle E_{n}\delta _{mn}\langle n|F|0\rangle )\sum _{n\neq 0}|\langle 0|F|n\rangle |^{2}E_{n}>0\Rightarrow C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\neq 0.}$

Aquí la hermiticidad de F y el hecho de que no todos los elementos de la matriz de F entre el estado de vacío y los estados de un conjunto completo pueden ser cero.

Álgebra afín de Kac-Moody

Sea g un álgebra de Lie simple y compleja de dimensión N con una base normalizada adecuada y dedicada tal que las constantes de estructura sean antisimétricas en todos los índices con relaciones de conmutación.

${\displaystyle [G_{i},G_{j}]={C_{ij}}^{k}G_{k},\quad 1\leq i,j,N.}$

Se obtiene un álgebra de Kac-Moody afín no retorcida g copiando la base para cada n ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (considerando las copias como distintas), estableciendo

${\displaystyle {\overline {\mathfrak {g}}}=FC\oplus FD\oplus \bigoplus _{1\leq i\leq \mathbb {N} ,m\in \mathbb {Z} }FG_{m}^{i}}$

como un espacio vectorial y asignando las relaciones de conmutación

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[G_{i}^{m},G_{j}^{n}]&={C_{ij}}^{k}G_{k}^{m+n}+m\delta _{ij}\delta ^{m+n,0}C,\\{}[C,G_{i}^{m}]&=0,\quad 1\leq i,j,N,\quad m,n\in \mathbb {Z} \\{}[D,G_{i}^{m}]&=mG_{i}^{m}\\{}[D,C]&=0.\end{aligned}}}$

Si C = D = 0 , entonces el subálgebra abarcada por G ^m _i es obviamente idéntica al álgebra de bucles polinomiales anterior.

Álgebra de Witt

Ernst Witt (1911-1991), matemático alemán. Las álgebras de Witt, estudiadas por él en cuerpos finitos en la década de 1930, fueron examinadas por primera vez en el caso complejo por Cartan en 1909.

El álgebra de Witt , llamada así por Ernst Witt , es la complejización del álgebra de Lie Vect S ¹ de campos vectoriales suaves en el círculo S ¹ . En coordenadas, dichos campos vectoriales pueden escribirse

${\displaystyle X=f(\varphi ){\frac {d}{d\varphi }},}$

y el corchete de Lie es el corchete de Lie de los campos vectoriales, en S ¹ simplemente dado por

${\displaystyle [X,Y]=\left[f{\frac {d}{d\varphi }},g{\frac {d}{d\varphi }}\right]=\left(f{\frac {dg}{d\varphi }}-g{\frac {df}{d\varphi }}\right){\frac {d}{d\varphi }}.}$

El álgebra se denota W = Vect S ¹ + i Vect S ¹ . Una base para W está dada por el conjunto

${\displaystyle \{d_{n},n\in \mathbb {Z} \}=\left\{\left.ie^{in\varphi }{\frac {d}{d\varphi }}=-z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\right|n\in \mathbb {Z} \right\}.}$

Esta base satisface

${\displaystyle [d_{l},d_{m}]=(l-m)d_{l+m}\equiv {C_{lm}}^{n}d_{n}=(l-m)\delta _{l+m}^{n}d_{n},\quad l,m,n\in \mathbb {Z} .}$

Esta álgebra de Lie tiene una extensión central útil, el álgebra de Virasoro. Tiene subálgebras tridimensionales isomorfas con su (1, 1) y sl (2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Para cada n ≠ 0 , el conjunto { d ₀ , d _−n , d _n } genera una subálgebra isomorfa a su (1, 1) ≅ sl (2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Relación con sl (2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ y su (1, 1)

Para m , n ∈ {−1, 0, 1} se tiene

${\displaystyle [d_{0},d_{-1}]=d_{-1},\quad [d_{0},d_{1}]=-d_{1},\quad [d_{1},d_{-1}]=2d_{0}.}$

Estas son las relaciones de conmutación de sl (2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ con

${\displaystyle d_{0}\leftrightarrow H=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right),\quad d_{-1}\leftrightarrow X=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),\quad d_{1}\leftrightarrow Y=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\1&0\end{smallmatrix}}\right),\quad H,X,Y\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ).}$

Los grupos SU(1, 1) y SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ son isomorfos según la función ^[29]

${\displaystyle SU(1,1)=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)SL(2,\mathbb {R} )\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1},}$

y la misma función se cumple en el nivel de las álgebras de Lie debido a las propiedades de la función exponencial . Se da una base para su (1, 1) , véase el grupo clásico , por

${\displaystyle U_{0}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right),\quad U_{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-i\\i&0\end{smallmatrix}}\right),\quad U_{2}=\left({\begin{smallmatrix}i&0\\0&-i\end{smallmatrix}}\right)}$

Ahora calcula

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)H\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)=U_{0},\\X_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)X\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{2}}\left({\begin{smallmatrix}i&-i\\i&-i\end{smallmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}(U_{1}+U_{2}),\\Y_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)Y\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{2}}\left({\begin{smallmatrix}-i&-i\\i&i\end{smallmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}(U_{1}-U_{2}).\end{aligned}}}$

La función conserva los corchetes y, por lo tanto, existen isomorfismos del álgebra de Lie entre la subálgebra de W generada por { d ₀ , d ₋₁ , d ₁ } con coeficientes reales , sl (2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ y su (1, 1) . Lo mismo se aplica a cualquier subálgebra generada por { d ₀ , d _{− n} , d _n }, n ≠ 0 , lo que se deduce de un simple reescalamiento de los elementos (en ambos lados de los isomorfismos).

Representación proyectiva

Si M es un grupo de Lie de matrices , entonces los elementos X de su álgebra de Lie m pueden darse por

${\displaystyle X={\frac {d}{dt}}\left.(g(t))\right|_{t=0},}$

donde g es un camino diferenciable en M que pasa por el elemento identidad en t = 0. Los conmutadores de elementos del álgebra de Lie se pueden calcular como ^[30]

${\displaystyle [X_{1},X_{2}]=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}}.}$

De manera similar, dada una representación de grupo U ( M ) , su álgebra de Lie u ( m ) se calcula mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}[][Y_{1},Y_{2}]&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{tX_{1}})U(e^{sX_{2}})U(e^{-tX_{1}})\\&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}})\end{aligned}},}$

donde y . Entonces existe un isomorfismo del álgebra de Lie entre m y u ( m ) enviando bases a bases, de modo que u es una representación fiel de m . ${\displaystyle Y_{1}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}U(e^{tX_{1}})}$ ${\displaystyle Y_{2}=\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{sX_{2}})}$

Sin embargo, si U ( G ) es un conjunto admisible de representantes de una representación unitaria proyectiva , es decir, una representación unitaria hasta un factor de fase, entonces el álgebra de Lie, calculada a partir de la representación de grupo, no es isomorfa a m . Para U , la regla de multiplicación se lee

${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=\omega (g_{1},g_{2})U(g_{1}g_{2})=e^{i\xi (g_{1},g_{2})}U(g_{1}g_{2}).}$

La función ω , que a menudo se requiere que sea suave, satisface

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (g,e)&=\omega (e,g)=1,\\\omega (g_{1},g_{2}g_{3})\omega (g_{2},g_{3})&=\omega (g_{1},g_{2})\omega (g_{1}g_{2},g_{3})\\\omega (g,g^{-1})&=\omega (g^{-1},g).\end{aligned}}}$

Se llama 2- cociclo en M.

De las igualdades anteriores, , entonces se tiene ${\displaystyle (U(g))^{-1}={\frac {1}{\omega (g,g^{-1})}}U(g^{-1})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][Y_{1},Y_{2}]&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{tX_{1}})U(e^{sX_{2}})(U(e^{tX_{1}}))^{-1}\\&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}{\frac {1}{\omega (e^{tX_{1}},e^{-tX_{1}})}}U(e^{tX_{1}})U(e^{sX_{2}})U(e^{-tX_{1}})\\&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}{\frac {\omega (e^{tX_{1}},e^{sX_{2}})\omega (e^{tX_{1}}e^{sX_{2}},e^{-tX_{1}})}{\omega (e^{tX_{1}},e^{-tX_{1}})}}U(e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}})\\&\equiv \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}\Omega (e^{tX_{1}},e^{sX_{2}})U(e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}})\\&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}})+\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}\Omega (e^{tX_{1}},e^{sX_{2}})I,\end{aligned}}}$

porque tanto Ω como U se evalúan como la identidad en t = 0. Para una explicación de los factores de fase ξ , consulte el teorema de Wigner . Las relaciones de conmutación en m para una base,

${\displaystyle [X_{i},X_{j}]={C_{ij}^{k}}X_{k}}$

Conviértete en ti

${\displaystyle [Y_{i},Y_{j}]={C_{ij}^{k}}Y_{k}+D_{ij}I,}$

Entonces, para que u esté cerrado bajo el corchete (y por lo tanto tenga una posibilidad de ser realmente un álgebra de Lie), se debe incluir una carga central I.

Teoría de cuerdas clásica relativista

Una cuerda relativista clásica traza una hoja del mundo en el espacio-tiempo, al igual que una partícula puntual traza una línea del mundo . Esta hoja del mundo puede parametrizarse localmente usando dos parámetros σ y τ . Los puntos x ^μ en el espacio-tiempo pueden, en el rango de la parametrización, escribirse x ^μ = x ^μ ( σ , τ ) . Se usa una X mayúscula para denotar puntos en el espacio-tiempo que están realmente en la hoja del mundo de la cuerda. Por lo tanto, la parametrización de la cadena está dada por ( σ , τ ) ↦( X ⁰ ( σ , τ ), X ¹ ( σ , τ ), X ² ( σ , τ ), X ³ ( σ , τ )) . La inversa de la parametrización proporciona un sistema de coordenadas local en la hoja del mundo en el sentido de variedades .

Las ecuaciones de movimiento de una cuerda relativista clásica derivadas del formalismo lagrangiano a partir de la acción de Nambu-Goto son ^[31]

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {P}}_{\mu }^{\tau }}{\partial \tau }}+{\frac {\partial {\mathcal {P}}_{\mu }^{\sigma }}{\partial \sigma }}=0,\quad {\mathcal {P}}_{\mu }^{\tau }=-{\frac {T_{0}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-(X')^{2}{\dot {X}}_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}},\quad {\mathcal {P}}_{\mu }^{\sigma }=-{\frac {T_{0}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-({\dot {X}})^{2}X'_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}}.}$

Un punto sobre una cantidad denota diferenciación con respecto a τ y una diferenciación prima con respecto a σ . Un punto entre cantidades denota el producto interno relativista.

Estas ecuaciones bastante formidables se simplifican considerablemente con una elección inteligente de parametrización llamada calibre de cono de luz . En este calibre, las ecuaciones de movimiento se convierten en

${\displaystyle {\ddot {X}}^{\mu }-{X^{\mu }}''=0,}$

La ecuación de onda ordinaria . El precio a pagar es que el medidor de cono de luz impone restricciones,

${\displaystyle {\dot {X}}^{\mu }\cdot {X^{\mu }}'=0,\quad ({\dot {X}})^{2}+(X')^{2}=0,}$

so that one cannot simply take arbitrary solutions of the wave equation to represent the strings. The strings considered here are open strings, i.e. they don't close up on themselves. This means that the Neumann boundary conditions have to be imposed on the endpoints. With this, the general solution of the wave equation (excluding constraints) is given by

${\displaystyle X^{\mu }(\sigma ,\tau )=x_{0}^{\mu }+2\alpha 'p_{0}^{\mu }\tau -i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n=1}\left(a_{n}^{\mu *}e^{in\tau }-a_{n}^{\mu }e^{-in\tau }\right){\frac {\cos n\sigma }{\sqrt {n}}},}$

where α' is the slope parameter of the string (related to the string tension). The quantities x₀ and p₀ are (roughly) string position from the initial condition and string momentum. If all the α^μ
_n are zero, the solution represents the motion of a classical point particle.

This is rewritten, first defining

${\displaystyle \alpha _{0}^{\mu }={\sqrt {2\alpha '}}a_{\mu },\quad \alpha _{n}^{\mu }=a_{n}^{\mu }{\sqrt {n}},\quad \alpha _{-n}^{\mu }=a_{n}^{\mu *}{\sqrt {n}},}$

and then writing

${\displaystyle X^{\mu }(\sigma ,\tau )=x_{0}^{\mu }+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{\mu }\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{\mu }e^{-in\tau }\cos n\sigma .}$

In order to satisfy the constraints, one passes to light cone coordinates. For I = 2, 3, ...d, where d is the number of space dimensions, set

${\displaystyle {\begin{aligned}X^{I}(\sigma ,\tau )&=x_{0}^{I}+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{I}\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{I}e^{-in\tau }\cos n\sigma ,\\X^{+}(\sigma ,\tau )&={\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{+}\tau ,\\X^{-}(\sigma ,\tau )&=x_{0}^{-}+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{-}\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{-}e^{-in\tau }\cos n\sigma .\end{aligned}}}$

Not all α_n^μ, n ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, μ ∈ {+, −, 2, 3, ..., d} are independent. Some are zero (hence missing in the equations above), and the "minus coefficients" satisfy

${\displaystyle {\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{n}^{-}={\frac {1}{2p^{+}}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I}.}$

The quantity on the left is given a name,

${\displaystyle {\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{n}^{-}\equiv {\frac {1}{p^{+}}}L_{n},\quad L_{n}={\frac {1}{2}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I},}$

the transverse Virasoro mode.

When the theory is quantized, the alphas, and hence the L_n become operators.

See also

• Group cohomology
• Group contraction (Inönu–Wigner contraction)
• Group extension
• Lie algebra cohomology

Remarks

1. Otto Schreier (1901 - 1929) was a pioneer in the theory of extension of groups. Along with his rich research papers, his lecture notes were posthumously published (edited by Emanuel Sperner) under the name Einführung in die analytische Geometrie und Algebra (Vol I 1931, Vol II 1935), later in 1951 translated to English in Introduction to Modern Algebra and Matrix Theory. See MacTutor 2015 for further reference.
2. To show that the Jacobi identity holds, one writes everything out, uses the fact that the underlying Lie algebras have a Lie product satisfying the Jacobi identity, and that δ[X, Y] = [δ(X), Y] + [X, δ(Y)].
3. Roughly, the whole Lie algebra is multiplied by i, there is an i occurring in the definition of the structure constants and the exponent in the exponential map (Lie theory) acquires a factor of (minus) i. the main reason for this convention is that physicists like their Lie algebra elements to be Hermitian (as opposed to skew-Hermitian) in order for them to have real eigenvalues and hence be candidates for observables.
4. Miguel Angel Virasoro, born 1940 is an Argentine physicist. The Virasoro algebra, named after him, was first published in Virasoro (1970)
5. The same effect can be obtained by a change of basis in W.
6. If the 2-cocycle takes its values in the abelian group U(1), i. e. it is a phase factor, which will always be the case in the contezt of Wigner's theorem, then ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ may be replaced with U(1) in the construction.
7. Bäuerle, de Kerf & ten Kroode 1997, Chapter 18. The reference states the fact and that it is difficult to show. No further references are given. Expressions on a slightly different form can be found though in Tuynman & Wiegerinck (1987) and Bargmann (1954).
8. To see this, apply formula (4) to Ψ_gg', recall that Φ is a homomorphism, and use Φ_g(e^G) = e^Ψ_g(G) a couple of times.
9. The fact that the Lie algebra of Aut h) is Der h, the set of all derivations of h (itself being a Lie algebra under the obvious bracket), can be found in Rossmann 2002, p. 51
10. Since U = −iΣα^aT_a and U^† are constant, they may be pulled out of partial derivatives. The U and U^† then combine in U^†U = I by unitarity.
11. This follows from Gauss law is based on the assumption of a sufficiently rapid fall-off of the fields at infinity.
12. There are alternative routes to quantization, e.g. one postulates the existence of creation and annihilation operators for all particle types with certain exchange symmetries based on which statistics, Bose–Einstein or Fermi–Dirac, the particles obey, in which case the above are derived for scalar bosonic fields using mostly Lorentz invariance and the demand for the unitarity of the S-matrix. In fact, all operators on Hilbert space can be built out of creation and annihilation operators. See e.g. Weinberg (2002), chapters 2–5.
13. This step is ambiguous, since the classical fields commute whereas the operators don't. Here it is pretended that this problem doesn't exist. In reality, it is never serious as long as one is consistent.

Notes

1. Bäuerle, de Kerf & ten Kroode 1997
2. Schottenloher 2008, Introduction
3. Dolan 1995 The Beacon of Kac–Moody Symmetry for Physics. (free access)
4. Green, Schwarz & Witten 1987
5. Schottenloher 2008
6. Schreier 1926
7. Schreier 1925
8. Kac 1967e
9. Moody 1967
10. Bäuerle, de Kerf & ten Kroode 1997, Chapter 19
11. Bäuerle, de Kerf & ten Kroode 1997, Example 18.1.9
12. Bäuerle, de Kerf & ten Kroode 1997, Chapter 18
13. Bäuerle, de Kerf & ten Kroode 1997 Corollary 22.2.9.
14. Kac 1990 Exercise 7.8.
15. Kac 1990
16. Bäuerle & de Kerf 1990
17. Zwiebach 2004, Chapter 12
18. Zwiebach 2004, pp. 219–228
19. Zwiebach 2004, p. 227
20. Bargmann 1954
21. Tuynman & Wiegerinck 1987
22. Rossmann 2002, Section 2.2
23. Humphreys 1972
24. Knapp 2002
25. Weinberg 1996, Appendix A, Ch 15.
26. Greiner & Reinhardt 1996
27. Bäuerle & de Kerf 1990 Section 17.5.
28. Bäuerle & de Kerf 1990, pp. 383–386
29. Rossmann 2002, Section 4.2
30. Hall, Brian (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations - An Elementary Introduction (2nd ed.). Switzerland: Springer. p. 57. ISBN 978-3-319-13466-6.
31. Zwiebach 2004 Equation 6.53 (supported by 6.49, 6.50).

References

Books

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• Bäuerle, G.G.A; de Kerf, E.A.; ten Kroode, A. P. E. (1997). A. van Groesen; E.M. de Jager (eds.). Lie algebras. Part 2. Finite and infinite dimensional Lie algebras and their application in physics. Studies in mathematical physics. Vol. 7. North-Holland. ISBN 978-0-444-82836-1. MR 1489232 – via ScienceDirect.
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Web

• MacTutor (2015). «Biografía de Schreier». MacTutor History of Mathematics . Consultado el 8 de marzo de 2015 .