corriente conservada

En física, una corriente conservada es una corriente, que satisface la ecuación de continuidad . La ecuación de continuidad representa una ley de conservación, de ahí el nombre. ${\displaystyle j^{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}$

De hecho, integrar la ecuación de continuidad sobre un volumen lo suficientemente grande como para no tener corrientes netas a través de su superficie conduce a la ley de conservación. ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}Q=0\;,}$$

cantidad conservada ${\textstyle Q=\int _{V}j^{0}dV}$

En las teorías de calibre, los campos de calibre se acoplan a corrientes conservadas. Por ejemplo, el campo electromagnético se acopla a la corriente eléctrica conservada .

Cantidades conservadas y simetrías.

La corriente conservada es el flujo del conjugado canónico de una cantidad que posee una simetría de traslación continua . La ecuación de continuidad para la corriente conservada es un enunciado de una ley de conservación . Ejemplos de cantidades conjugadas canónicas son:

• Tiempo y energía : la simetría traslacional continua del tiempo implica la conservación de la energía.
• Espacio y momento : la simetría traslacional continua del espacio implica la conservación del momento
• Espacio y momento angular : la simetría rotacional continua del espacio implica la conservación del momento angular
• Fase de la función de onda y carga eléctrica : la simetría del ángulo de fase continua de la función de onda implica la conservación de la carga eléctrica.

Las corrientes conservadas juegan un papel sumamente importante en la física teórica , porque el teorema de Noether conecta la existencia de una corriente conservada con la existencia de una simetría de alguna cantidad en el sistema en estudio. En términos prácticos, todas las corrientes conservadas son las corrientes de Noether , pues la existencia de una corriente conservada implica la existencia de una simetría. Las corrientes conservadas juegan un papel importante en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , ya que la existencia de una corriente conservada apunta a la existencia de constantes de movimiento , que son necesarias para definir una foliación y, por tanto, un sistema integrable . La ley de conservación se expresa como la desaparición de una 4- divergencia , donde la carga de Noether forma el componente cero de la 4-corriente .

Ejemplos

Electromagnetismo

La conservación de la carga , por ejemplo, en la notación de las ecuaciones de Maxwell ,

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}$$

dónde

• ρ es la densidad de carga eléctrica libre (en unidades de C/m ³ )
• J es la densidad de corriente
  $${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} }$$
  siendo v la velocidad de las cargas.

La ecuación se aplicaría igualmente a masas (u otras cantidades conservadas), donde la palabra masa se sustituye por las palabras carga eléctrica arriba.

Campo escalar complejo

La densidad lagrangiana

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\phi ^{*}\,\partial ^{\mu }\phi +V(\phi ^{*}\,\phi )}$$

$\phi :\mathbb {R} ^{n+1}\mapsto \mathbb {C}$

$${\displaystyle \phi \mapsto \phi '=\phi \,e^{i\alpha }\,.}$$

$\delta \phi =\phi '-\phi$

$${\displaystyle j^{\mu }:={\frac {d{\mathcal {L}}}{d(\partial _{\mu })\phi }}\,{\frac {d(\delta \phi )}{d\alpha }}{\bigg |}_{\alpha =0}+{\frac {d{\mathcal {L}}}{d(\partial _{\mu })\phi ^{*}}}\,{\frac {d(\delta \phi ^{*})}{d\alpha }}{\bigg |}_{\alpha =0}=i\,\phi \,(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-i\,\phi ^{*}\,(\partial ^{\mu }\phi )}$$

Ver también

• Ley de conservación (física)
• teorema de noether

Referencias

• Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Lectura, MA: Addison-Wesley. págs. 588–596. ISBN 0-201-02918-9.

• David J. Griffiths (1999). Introducción a la electrodinámica (Tercera ed.). Prentice Hall. págs. 356–357. ISBN 978-0-13-805326-0.

• Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). "Capítulo I.2.2. Elementos de la teoría de campos clásica". Una introducción a la teoría cuántica de campos . Prensa CRC. ISBN 978-0-201-50397-5.