identidad jacobi

Propiedad de algunas operaciones binarias

En matemáticas , la identidad de Jacobi es una propiedad de una operación binaria que describe cómo el orden de evaluación, la colocación de paréntesis en un producto múltiple, afecta el resultado de la operación. Por el contrario, para operaciones con la propiedad asociativa , cualquier orden de evaluación da el mismo resultado (no se necesitan paréntesis en un producto múltiple). La identidad lleva el nombre del matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi . Derivó la identidad de Jacobi para los corchetes de Poisson en su artículo de 1862 sobre ecuaciones diferenciales. ^{[1] [2]}

El producto cruzado y la operación entre corchetes de Lie satisfacen la identidad de Jacobi. En mecánica analítica , la identidad de Jacobi se satisface con los corchetes de Poisson . En mecánica cuántica , se satisface mediante conmutadores de operadores en un espacio de Hilbert y de manera equivalente en la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica mediante el soporte de Moyal . ${\displaystyle a\times b}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Definición

Sean y dos operaciones binarias y sea el elemento neutro para . El ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle +}$La identidad Jacobi es

${\displaystyle x\times (y\times z)\ +\ y\times (z\times x)\ +\ z\times (x\times y)\ =\ 0.}$

Observe el patrón en las variables del lado izquierdo de esta identidad. En cada expresión posterior de la forma , las variables y se permutan según el ciclo . Alternativamente, podemos observar que las ternas ordenadas , y , son las permutaciones pares de la terna ordenada . ${\displaystyle a\times (b\times c)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x\mapsto y\mapsto z\mapsto x}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (y,z,x)}$ ${\displaystyle (z,x,y)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

Forma del soporte del conmutador

El ejemplo informativo más simple de álgebra de Lie se construye a partir del anillo (asociativo) de matrices, que pueden considerarse como movimientos infinitesimales de un espacio vectorial de n dimensiones. La operación × es el conmutador , que mide el fallo de la conmutatividad en la multiplicación de matrices. En lugar de , se utiliza la notación entre corchetes de Lie: ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle X\times Y}$

${\displaystyle [X,Y]=XY-YX.}$

En esa notación, la identidad de Jacobi es:

${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]\ =\ 0}$

Esto se puede comprobar fácilmente mediante cálculo.

De manera más general, si A es un álgebra asociativa y V es un subespacio de A que está cerrado bajo la operación entre corchetes: pertenece a V para todos , la identidad de Jacobi continúa manteniéndose en V. ^[3] Por lo tanto, si una operación binaria satisface la identidad de Jacobi, se puede decir que se comporta como si estuviera dada por en algún álgebra asociativa incluso si en realidad no está definida de esa manera. ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle X,Y\in V}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle XY-YX}$

Usando la propiedad antisimetría , la identidad de Jacobi puede reescribirse como una modificación de la propiedad asociativa : ${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$

${\displaystyle [[X,Y],Z]=[X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]]~.}$

Si es la acción del movimiento infinitesimal X sobre Z , se puede expresar como: ${\displaystyle [X,Z]}$

La acción de Y seguida de X (operador ), menos la acción de X seguida de Y (operador ), es igual a la acción de , (operador ). ${\displaystyle [X,[Y,\cdot \ ]]}$ ${\displaystyle ([Y,[X,\cdot \ ]]}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle [[X,Y],\cdot \ ]}$

También hay una gran cantidad de identidades Jacobi graduadas que involucran anticonmutadores , como por ejemplo: ${\displaystyle \{X,Y\}}$

${\displaystyle [\{X,Y\},Z]+[\{Y,Z\},X]+[\{Z,X\},Y]=0,\qquad [\{X,Y\},Z]+\{[Z,Y],X\}+\{[Z,X],Y\}=0.}$

formulario adjunto

Los ejemplos más comunes de la identidad de Jacobi provienen de la multiplicación entre corchetes en álgebras de Lie y anillos de Lie . La identidad Jacobi se escribe como: ${\displaystyle [x,y]}$

${\displaystyle [x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0.}$

Debido a que la multiplicación de corchetes es antisimétrica , la identidad de Jacobi admite dos reformulaciones equivalentes. Al definir el operador adjunto , la identidad se convierte en: ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:y\mapsto [x,y]}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}[y,z]=[\operatorname {ad} _{x}y,z]+[y,\operatorname {ad} _{x}z].}$

Así, la identidad de Jacobi para las álgebras de Lie establece que la acción de cualquier elemento sobre el álgebra es una derivación . Esa forma de identidad de Jacobi también se utiliza para definir la noción de álgebra de Leibniz .

Otro reordenamiento muestra que la identidad de Jacobi es equivalente a la siguiente identidad entre los operadores de la representación adjunta:

${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}].}$

Allí, el corchete del lado izquierdo es la operación del álgebra original, el corchete de la derecha es el conmutador de la composición de operadores y la identidad establece que el mapa que envía cada elemento a su acción adjunta es un homomorfismo del álgebra de Lie . ${\displaystyle \mathrm {ad} }$

Identidades relacionadas

• La identidad Hall-Witt es la identidad análoga para la operación del conmutador en un grupo .

• La siguiente identidad se deriva de la anticonmutatividad y la identidad de Jacobi y se cumple en álgebra de Lie arbitraria: ^[4]

${\displaystyle [x,[y,[z,w]]]+[y,[x,[w,z]]]+[z,[w,[x,y]]]+[w,[z,[y,x]]]=0.}$

• La identidad de Jacobi es equivalente a la regla del producto , con el corchete de Lie actuando como producto y derivado :. Si son campos vectoriales, entonces es literalmente un operador derivativo que actúa sobre , es decir, la derivada de Lie . ${\displaystyle [X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$

Ver también

• Constantes de estructura
• Identidad súper Jacobi
• Lema de tres subgrupos (identidad Hall-Witt)

Referencias

1. CGJ Jacobi (1862), §26, Teorema V.
2. T. Hawkins (1991)
3. Salón 2015 Ejemplo 3.3
4. Alekseev, Ilya; Ivanov, Sergei O. (18 de abril de 2016). "Identidades Jacobi superiores". arXiv : 1604.05281 .

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Jacobi, CGJ (1862). "Nova Methodus, aecuaciones diferenciales parciales primi ordinis inter numerum variabilium quemcunque propositas integrandi". jl. para la reina u. ángulo. Matemáticas . 60 : 1-181.
• Hawkins, Thomas (1991). "Jacobi y el nacimiento de la teoría de grupos de Lie". Arco. Historia. Ciencia exacta . 42 : 187-278. doi :10.1007/BF00375135.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Identidades Jacobi". MundoMatemático .