En matemáticas , la teoría mín-máx de Almgren-Pitts (llamada así en honor a Frederick J. Almgren, Jr. y su alumno Jon T. Pitts ) es un análogo de la teoría de Morse para hipersuperficies .
La teoría comenzó con los esfuerzos por generalizar el método de George David Birkhoff para la construcción de geodésicas cerradas simples en la esfera, para permitir la construcción de superficies mínimas incrustadas en 3-variedades arbitrarias . [1]
Ha jugado un papel en las soluciones de una serie de conjeturas en geometría y topología encontradas por los propios Almgren y Pitts y también por otros matemáticos, como Mikhail Gromov , Richard Schoen , Shing-Tung Yau , Fernando Codá Marques , André Neves , Ian Agol , entre otros. [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
La teoría permite la construcción de hipersuperficies mínimas embebidas a través de métodos variacionales. [11]
En su tesis doctoral, Almgren demostró que el m-ésimo grupo de homotopía del espacio de ciclos planos k-dimensionales en una variedad riemanniana cerrada es isomorfo al (m+k)-ésimo grupo de homología dimensional de M. Este resultado es una generalización del teorema de Dold-Thom , que puede considerarse como el caso k=0 del teorema de Almgren. La existencia de clases de homotopía no triviales en el espacio de ciclos sugiere la posibilidad de construir subvariedades mínimas como puntos de silla de la función de volumen, como en la teoría de Morse . En su trabajo posterior, Almgren utilizó estas ideas para demostrar que para cada k=1,...,n-1 una variedad riemanniana cerrada n-dimensional contiene una varifold k-dimensional integral estacionaria , una generalización de subvariedad mínima que puede tener singularidades. Allard demostró que tales subvariedades mínimas generalizadas son regulares en un subconjunto abierto y denso.
En la década de 1980, el alumno de Almgren, Jon Pitts, mejoró en gran medida la teoría de regularidad de las subvariedades mínimas obtenidas por Almgren en el caso de la codimensión 1. Demostró que cuando la dimensión n de la variedad está entre 3 y 6, la hipersuperficie mínima obtenida utilizando el método min-max de Almgren es suave. Una idea clave nueva en la prueba fue la noción de varifolds 1/j-casi minimizantes. Richard Schoen y Leon Simon extendieron este resultado a dimensiones superiores. Más específicamente, demostraron que cada variedad riemanniana n-dimensional contiene una hipersuperficie mínima cerrada construida mediante el método min-max que es suave a partir de un conjunto cerrado de dimensión n-8.
Si se consideran familias de parámetros superiores de ciclos de codimensión 1, se pueden encontrar hipersuperficies mínimas diferenciadas. Esta construcción fue utilizada por Fernando Codá Marques y André Neves en su demostración de la conjetura de Willmore . [12] [13]