Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Propiedad característica de las funciones holomorfas.

Una representación visual de un vector X en un dominio multiplicado por un número complejo z y luego asignado por f , en lugar de ser asignado por f y luego multiplicado por z . Si ambos dan como resultado que el punto termine en el mismo lugar para todos X y z , entonces f satisface la condición de Cauchy-Riemann.

En el campo del análisis complejo en matemáticas , las ecuaciones de Cauchy-Riemann , que llevan el nombre de Augustin Cauchy y Bernhard Riemann , consisten en un sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales que forman una condición necesaria y suficiente para que una función compleja de una variable compleja sea compleja. diferenciable .

Estas ecuaciones son

y

donde u ( x , y ) y v ( x , y ) son funciones bivariadas reales diferenciables .

Normalmente, u y v son respectivamente las partes real e imaginaria de una función de valores complejos f ( x + iy ) = f ( x , y ) = u ( x , y ) + iv ( x , y ) de una sola variable compleja z = x + iy donde xey son variables reales ; u y v son funciones reales diferenciables de las variables reales. Entonces f es diferenciable compleja en un punto complejo si y sólo si las derivadas parciales de u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en ese punto.

Una función holomorfa es una función compleja que es diferenciable en cada punto de algún subconjunto abierto del plano complejo C. Se ha demostrado que las funciones holomorfas son analíticas y las funciones analíticas complejas son diferenciables de forma compleja. En particular, las funciones holomorfas son infinitamente complejas y diferenciables.

Esta equivalencia entre diferenciabilidad y analiticidad es el punto de partida de todo análisis complejo .

Historia

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann aparecieron por primera vez en la obra de Jean le Rond d'Alembert . ^[1] Más tarde, Leonhard Euler relacionó este sistema con las funciones analíticas . ^[2] Cauchy ^[3] luego utilizó estas ecuaciones para construir su teoría de funciones. La disertación de Riemann sobre la teoría de funciones apareció en 1851. ^[4]

Ejemplo sencillo

Suponer que . La función de valores complejos es diferenciable en cualquier punto z del plano complejo. ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$

$${\displaystyle f(z)=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy}$$

${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle v(x,y)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,y)&=x^{2}-y^{2}\\v(x,y)&=2xy\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle u_{x}=2x;\quad u_{y}=-2y;\quad v_{x}=2y;\quad v_{y}=2x}$$

Vemos que efectivamente se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, y . ${\displaystyle u_{x}=v_{y}}$ ${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$

Interpretación y reformulación

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son una forma de ver la condición para que una función sea diferenciable en el sentido de análisis complejo : en otras palabras, encapsulan la noción de función de una variable compleja mediante el cálculo diferencial convencional . En teoría, existen otras formas importantes de considerar esta noción y, a menudo, es necesaria la traducción de la condición a otro idioma.

Mapeos conformes

Primero, las ecuaciones de Cauchy-Riemann pueden escribirse en forma compleja.

De esta forma, las ecuaciones corresponden estructuralmente a la condición de que la matriz jacobiana sea de la forma

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}},}$$

representación matricial de un número complejocomposiciónrotaciónescalalos ángulosf ( z )f ( z )conforme ${\displaystyle a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y}$ ${\displaystyle b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y}$

Además, debido a que la composición de una transformación conforme con otra transformación conforme también es conforme, la composición de una solución de las ecuaciones de Cauchy-Riemann con un mapa conforme debe resolver por sí misma las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Por tanto, las ecuaciones de Cauchy-Riemann son conformemente invariantes.

Diferenciabilidad compleja

Dejar

$${\displaystyle f(z)=u(z)+i\cdot v(z)}$$

funciones con valores realesfunción con valores complejosderivada compleja ${\textstyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\textstyle z=x+iy}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$ ${\textstyle f(z)=f(x+iy)=f(x,y)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}$

$${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}}$$

${\textstyle z_{0}}$

Un resultado fundamental del análisis complejo es que es diferenciable complejo en (es decir, tiene una derivada compleja), si y sólo si las funciones reales bivariadas y son diferenciables en y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en este punto. ^{[5] [6] [7]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle u(x+iy)}$ ${\displaystyle v(x+iy)}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$

De hecho, si la derivada compleja existe en , entonces se puede calcular tomando el límite en a lo largo del eje real y del eje imaginario, y los dos límites deben ser iguales. A lo largo del eje real, el límite es ${\textstyle z_{0}}$ ${\textstyle z_{0}}$

$${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}}$$

$${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}}=\left.{\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}.}$$

Entonces, la igualdad de las derivadas implica

$${\displaystyle i\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}}$$

${\textstyle z_{0}}$

(Tenga en cuenta que si es diferenciable complejo en , también es diferenciable real y el jacobiano de en es el escalar complejo , considerado como un mapa lineal real de , desde el límite como .) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f'(z_{0})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |f(z)-f(z_{0})-f'(z_{0})(z-z_{0})|/|z-z_{0}|\to 0}$ ${\displaystyle z\to z_{0}}$

Por el contrario, si f es diferenciable en (en el sentido real) y satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann allí, entonces es diferenciable de forma compleja en este punto. Supongamos que f en función de dos variables reales xey es diferenciable en z 0 ( _real diferenciable). Esto equivale a la existencia de la siguiente aproximación lineal ${\textstyle z_{0}}$

$${\displaystyle \Delta f(z_{0})=f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})=f_{x}\,\Delta x+f_{y}\,\Delta y+\eta (\Delta z)}$$

z = x + iyΔ z → 0 ${\textstyle f_{x}=\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}}$ ${\textstyle f_{y}=\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}}$ ${\textstyle \eta (\Delta z)/|\Delta z|\to 0}$

Dado que y , lo anterior se puede reescribir como ${\textstyle \Delta z+\Delta {\bar {z}}=2\,\Delta x}$ ${\textstyle \Delta z-\Delta {\bar {z}}=2i\,\Delta y}$

$${\displaystyle \Delta f(z_{0})={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}\,\Delta z+{\frac {f_{x}+if_{y}}{2}}\,\Delta {\bar {z}}+\eta (\Delta z)\,}$$

$${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta z}}={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}+{\frac {f_{x}+if_{y}}{2}}\cdot {\frac {\Delta {\bar {z}}}{\Delta z}}+{\frac {\eta (\Delta z)}{\Delta z}},\;\;\;\;(\Delta z\neq 0).}$$

Ahora bien, si es real, mientras que si es imaginario, entonces . Por lo tanto, el segundo término es independiente de la trayectoria del límite cuando (y sólo cuando) se anula idénticamente: , que son precisamente las ecuaciones de Cauchy-Riemann en la forma compleja. Esta prueba también muestra que, en ese caso, ${\textstyle \Delta z}$ ${\textstyle \Delta {\bar {z}}/\Delta z=1}$ ${\textstyle \Delta {\bar {z}}/\Delta z=-1}$ ${\textstyle \Delta z\to 0}$ ${\textstyle f_{x}+if_{y}=0}$

$${\displaystyle \left.{\frac {df}{dz}}\right|_{z_{0}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta z}}={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}.}$$

Tenga en cuenta que la hipótesis de diferenciabilidad real en el punto es esencial y no se puede prescindir de ella. Por ejemplo, ^[8] la función , considerada como una función compleja con parte imaginaria idénticamente cero, tiene ambas derivadas parciales en , y además satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en ese punto, pero no es diferenciable en el sentido de funciones reales. (de varias variables), por lo que no se cumple la primera condición, la de diferenciabilidad real. Por tanto, esta función no es diferenciable compleja. ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f(x,y)={\sqrt {|xy|}}}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(0,0)}$

Algunas fuentes ^{[9] [10]} establecen una condición suficiente para la diferenciabilidad compleja en un punto como, además de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que las derivadas parciales de y sean continuas en el punto porque esta condición de continuidad asegura la existencia de las mencionadas aproximación lineal. Tenga en cuenta que no es una condición necesaria para la diferenciabilidad compleja. Por ejemplo, la función es diferenciable compleja en 0, pero sus partes real e imaginaria tienen derivadas parciales discontinuas allí. Dado que la diferenciabilidad compleja generalmente se considera en un conjunto abierto, donde de hecho implica continuidad de todas las derivadas parciales (ver más abajo), esta distinción a menudo se omite en la literatura. ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f(z)=z^{2}e^{i/|z|}}$

Independencia del conjugado complejo

La prueba anterior sugiere otra interpretación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. El conjugado complejo de , denotado , se define por ${\displaystyle z}$ ${\textstyle {\bar {z}}}$

$${\displaystyle {\overline {x+iy}}:=x-iy}$$

derivados de Wirtinger ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\;\;\;{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$$

unados ${\textstyle f}$ ${\textstyle {\frac {df}{dz}}={\frac {\partial f}{\partial z}}.}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle {\bar {z}}}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$

Interpretación física

Gráfico de contorno de un par u y v que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Las líneas de corriente ( v  = constante, rojo) son perpendiculares a las equipotenciales ( u  = constante, azul). El punto (0,0) es un punto estacionario del flujo potencial, con seis líneas de corriente que se encuentran y seis equipotenciales que también se encuentran y bisecan los ángulos formados por las líneas de corriente.

Una interpretación física estándar de las ecuaciones de Cauchy-Riemann que se remonta al trabajo de Riemann sobre la teoría de funciones ^[11] es que u representa un potencial de velocidad de un flujo de fluido estable incompresible en el plano, y v es su función de corriente . Supongamos que el par de funciones u y v (dos veces continuamente diferenciables ) satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Tomaremos u como un potencial de velocidad, lo que significa que imaginamos un flujo de fluido en el plano tal que el vector velocidad del fluido en cada punto del plano es igual al gradiente de u , definido por

$${\displaystyle \nabla u={\frac {\partial u}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial u}{\partial y}}\mathbf {j} .}$$

Al diferenciar las ecuaciones de Cauchy-Riemann para las funciones u y v , con la simetría de segundas derivadas , se demuestra que u resuelve la ecuación de Laplace :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}$$

ufunción armónicadivergencia

La función v también satisface la ecuación de Laplace, mediante un análisis similar. Además, las ecuaciones de Cauchy-Riemann implican que el producto escalar ( ), es decir, la dirección de la pendiente máxima de u y la de v son ortogonales entre sí. Esto implica que el gradiente de u debe apuntar a lo largo de las curvas; entonces estas son las líneas de corriente del flujo. Las curvas son las curvas equipotenciales del flujo. ${\textstyle \nabla u\cdot \nabla v=0}$ ${\textstyle \nabla u\cdot \nabla v={\frac {\partial u}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}=0}$ ${\textstyle v={\text{const}}}$ ${\textstyle u={\text{const}}}$

Por lo tanto, se puede visualizar una función holomorfa trazando las dos familias de curvas de nivel y . Cerca de los puntos donde el gradiente de u (o, equivalentemente, v ) no es cero, estas familias forman una familia ortogonal de curvas. En los puntos donde , los puntos estacionarios del flujo, se cruzan las curvas equipotenciales de . Las líneas de corriente también se cruzan en el mismo punto, dividiendo en dos los ángulos formados por las curvas equipotenciales. ${\textstyle u={\text{const}}}$ ${\textstyle v={\text{const}}}$ ${\textstyle \nabla u=0}$ ${\textstyle u={\text{const}}}$

Campo vectorial armónico

Se puede encontrar otra interpretación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann en Pólya & Szegő. ^[12] Supongamos que u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un subconjunto abierto de R ² y considere el campo vectorial

$${\displaystyle {\bar {f}}={\begin{bmatrix}u\\-v\end{bmatrix}}}$$

1birrotacionalcurvatura ${\displaystyle {\bar {f}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial (-v)}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=0.}$$

La primera ecuación de Cauchy-Riemann ( 1a ) afirma que el campo vectorial es solenoidal (o libre de divergencia ):

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial (-v)}{\partial y}}=0.}$$

Debido respectivamente al teorema de Green y al teorema de la divergencia , dicho campo es necesariamente conservador y está libre de fuentes o sumideros, y tiene un flujo neto igual a cero a través de cualquier dominio abierto sin agujeros. (Estas dos observaciones se combinan como partes real e imaginaria en el teorema integral de Cauchy ). En dinámica de fluidos , dicho campo vectorial es un flujo potencial . ^[13] En magnetostática , tales campos vectoriales modelan campos magnéticos estáticos en una región del plano que no contiene corriente. En electrostática , modelan campos eléctricos estáticos en una región del plano que no contiene carga eléctrica.

Esta interpretación puede reformularse de manera equivalente en el lenguaje de formas diferenciales . El par u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann si y solo si la forma única es cerrada y cocerrada (una forma diferencial armónica ). ${\displaystyle v\,dx+u\,dy}$

Preservación de estructura compleja.

Otra formulación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann involucra la estructura compleja en el plano, dada por

$${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}.}$$

Juxyvxy ${\displaystyle J^{2}=-I}$

$${\displaystyle f(x,y)={\begin{bmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{bmatrix}}.}$$

La matriz jacobiana de f es la matriz de derivadas parciales

$${\displaystyle Df(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}&{\dfrac {\partial u}{\partial y}}\\[5pt]{\dfrac {\partial v}{\partial x}}&{\dfrac {\partial v}{\partial y}}\end{bmatrix}}}$$

Entonces el par de funciones u , v satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann si y sólo si la matriz Df de 2× 2 conmuta con J. ^[14]

Esta interpretación es útil en geometría simpléctica , donde es el punto de partida para el estudio de curvas pseudoholomórficas .

Otras representaciones

Ocasionalmente surgen otras representaciones de las ecuaciones de Cauchy-Riemann en otros sistemas de coordenadas . Si ( 1a ) y ( 1b ) son válidas para un par diferenciable de funciones u y v , entonces también lo son

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}={\frac {\partial v}{\partial s}},\quad {\frac {\partial v}{\partial n}}=-{\frac {\partial u}{\partial s}}}$$

para cualquier sistema de coordenadas ( n ( x , y ), s ( x , y )) tal que el par sea ortonormal y orientado positivamente . Como consecuencia, en particular en el sistema de coordenadas dado por la representación polar , las ecuaciones toman la forma ${\textstyle (\nabla n,\nabla s)}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$

$${\displaystyle {\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },\quad {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }.}$$

Combinando estos en una ecuación para f da

$${\displaystyle {\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta }.}$$

Las ecuaciones no homogéneas de Cauchy-Riemann constan de dos ecuaciones para un par de funciones desconocidas u ( x , y ) y v ( x , y ) de dos variables reales

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}&=\alpha (x,y)\\[4pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}&=\beta (x,y)\end{aligned}}}$$

para algunas funciones dadas α( x , y ) y β( x , y ) definidas en un subconjunto abierto de R ² . Estas ecuaciones generalmente se combinan en una sola ecuación.

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}})}$$

fuv𝜑αβ

Si 𝜑 es C k , entonces la ecuación no homogénea se puede resolver explícitamente en cualquier dominio acotado D , siempre que 𝜑 sea continua en el cierre de D . De hecho, según la fórmula integral de Cauchy ,

$${\displaystyle f\left(\zeta ,{\bar {\zeta }}\right)={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{D}\varphi \left(z,{\bar {z}}\right)\,{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }}}$$

ζD

Generalizaciones

El teorema de Goursat y sus generalizaciones.

Supongamos que f = u + i v es una función de valores complejos que es diferenciable como una función f  : R ² → R ² . Entonces el teorema de Goursat afirma que f es analítica en un dominio complejo abierto Ω si y sólo si satisface la ecuación de Cauchy-Riemann en el dominio. ^[15] En particular, no es necesario asumir la diferenciabilidad continua de f . ^[dieciséis]

Las hipótesis del teorema de Goursat pueden debilitarse significativamente. Si f = u + i v es continua en un conjunto abierto Ω y las derivadas parciales de f con respecto a xey existen en Ω, y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo Ω, entonces f es holomorfa (y por tanto analítica). Este resultado es el teorema de Looman-Menchoff .

La hipótesis de que f obedece a las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo el dominio Ω es esencial. Es posible construir una función continua que satisfaga las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un punto, pero que no sea analítica en el punto (por ejemplo, f ( z ) = z ⁵ /|z| ⁴ ) . De manera similar, se necesitan algunos supuestos adicionales además de las ecuaciones de Cauchy-Riemann (como la continuidad), como lo ilustra el siguiente ejemplo ^[17]

$${\displaystyle f(z)={\begin{cases}\exp \left(-z^{-4}\right)&{\text{if }}z\not =0\\0&{\text{if }}z=0\end{cases}}}$$

que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todas partes, pero no logra ser continuo en z  = 0.

Sin embargo, si una función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un conjunto abierto en sentido débil , entonces la función es analítica. Más precisamente: ^[18]

Si f ( z ) es localmente integrable en un dominio abierto Ω ⊂  C y satisface débilmente las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces f concuerda casi en todas partes con una función analítica en Ω.

De hecho, este es un caso especial de un resultado más general sobre la regularidad de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales hipoelípticas .

Varias variables

Existen ecuaciones de Cauchy-Riemann, apropiadamente generalizadas, en la teoría de varias variables complejas . Forman un importante sistema sobredeterminado de PDE. Esto se hace utilizando una generalización sencilla de la derivada de Wirtinger , donde se requiere que la función en cuestión tenga la derivada de Wirtinger (parcial) con respecto a cada variable compleja que desaparezca.

Formas diferenciales complejas

Como se formula a menudo, el operador de la barra d

$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$$

$${\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}}=0,}$$

$${\displaystyle {\partial f \over \partial {\bar {z}}}={1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x}+i{\partial f \over \partial y}\right).}$$

Transformada de Backlund

Consideradas como funciones armónicas conjugadas , las ecuaciones de Cauchy-Riemann son un ejemplo simple de transformada de Bäcklund . Las transformadas de Bäcklund más complicadas, generalmente no lineales, como en la ecuación del seno-Gordon , son de gran interés en la teoría de solitones y sistemas integrables .

Definición en el álgebra de Clifford

En el álgebra de Clifford , el número complejo se representa como donde , ( , entonces ). El operador de Dirac en este álgebra de Clifford se define como . La función se considera analítica si y sólo si , la cual se puede calcular de la siguiente manera: ${\displaystyle C\ell (2)}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle z\equiv x+Jy}$ ${\displaystyle J\equiv \sigma _{1}\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=1,\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{1}=0}$ ${\displaystyle J^{2}=-1}$ ${\displaystyle \nabla \equiv \sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y}}$ ${\displaystyle f=u+Jv}$ ${\displaystyle \nabla f=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\nabla f=(\sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y})(u+\sigma _{1}\sigma _{2}v)\\[4pt]&=\sigma _{1}\partial _{x}u+\underbrace {\sigma _{1}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=\sigma _{2}}\partial _{x}v+\sigma _{2}\partial _{y}u+\underbrace {\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=-\sigma _{1}}\partial _{y}v=0\end{aligned}}}$$

Agrupando por y : ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$

$${\displaystyle \nabla f=\sigma _{1}(\partial _{x}u-\partial _{y}v)+\sigma _{2}(\partial _{x}v+\partial _{y}u)=0\Leftrightarrow {\begin{cases}\partial _{x}u-\partial _{y}v=0\\[4pt]\partial _{x}v+\partial _{y}u=0\end{cases}}}$$

Por tanto, en notación tradicional:

$${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}}\\[12pt]{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}\end{cases}}}$$

Mapeos conformes en dimensiones superiores.

Sea Ω un conjunto abierto en el espacio euclidiano R ⁿ . La ecuación para que un mapeo que preserva la orientación sea un mapeo conforme (es decir, que preserva el ángulo) es que ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle Df^{\mathsf {T}}Df=(\det(Df))^{2/n}I}$$

donde Df es la matriz jacobiana, con transpuesta , e I denota la matriz identidad. ^[19] Para n = 2 , este sistema es equivalente a las ecuaciones estándar de Cauchy-Riemann de variables complejas, y las soluciones son funciones holomorfas. En dimensión n > 2 , esto todavía se llama a veces sistema Cauchy-Riemann, y el teorema de Liouville implica, bajo supuestos de suavidad adecuados, que cualquier mapeo de este tipo es una transformación de Möbius . ${\displaystyle Df^{\mathsf {T}}}$

Ver también

• Lista de temas de análisis complejos
• teorema de morera
• Derivados de Wirtinger

Referencias

1. d'Alembert, Jean (1752). Ensayo de una nueva teoría de la resistencia de los fluidos. París: David l'aîné.Reimpresión 2018 de Hachette Livre-BNF ISBN 978-2012542839 . 
2. Euler, Leonhard (1797). "Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis". Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 10 : 3–19.
3. Cauchy, Agustín L. (1814). Mémoire sur les integrales définies . Obras completas Ser. 1. vol. 1. París (publicado en 1882). págs. 319–506.
4. Riemann, Bernhard (1851). "Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse". En H. Weber (ed.). Matemáticas gesammelte de Riemann. Trabajo (en alemán). Dover (publicado en 1953). págs. 3–48.
5. Rudin 1966.
6. Marsden y Hoffman 1973.
7. Markushevich, AI (1977). Teoría de funciones de una variable compleja 1 . Chelsea., pag. 110-112 (Traducido del ruso)
8. Titchmarsh, E (1939). La teoría de funciones . Prensa de la Universidad de Oxford., 2.14
9. Arfken, George B.; Weber, Hans J.; Harris, Frank E. (2013). "11.2 CONDICIONES CAUCHY-RIEMANN". Métodos matemáticos para físicos: una guía completa (7ª ed.). Prensa académica. págs. 471–472. ISBN 978-0-12-384654-9.
10. Hassani, Sadri (2013). "10.2 Funciones analíticas". Física matemática: una introducción moderna a sus fundamentos (2ª ed.). Saltador. págs. 300–301. ISBN 978-3-319-01195-0.
11. Véase Klein, Félix (1893). Sobre la teoría de Riemann de las funciones algebraicas y sus integrales . Traducido por Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan y Bowes.
12. Polya, George ; Szegő, Gábor (1978). Problemas y teoremas en análisis I. Saltador. ISBN 3-540-63640-4.
13. Chanson, H. (2007). "Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange" [Potencial de velocidad en flujos de fluidos reales: la contribución de Joseph-Louis Lagrange]. Diario la Houille Blanche . 93 (5): 127-131. doi : 10.1051/lhb:2007072 . ISSN  0018-6368. S2CID  110258050.
14. Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1969). Fundamentos de geometría diferencial, volumen 2 . Wiley. Proposición IX.2.2.
15. Rudin 1966, Teorema 11.2.
16. Dieudonné, Jean Alexandre (1969). Fundamentos del análisis moderno . Prensa académica. §9.10, ej. 1.
17. Looman 1923, pag. 107.
18. Gray y Morris 1978, teorema 9.
19. Iwaniec, T.; Martín, G. (2001). Teoría de funciones geométricas y análisis no lineal . Oxford. pag. 32.

Fuentes

• Gris, JD; Morris, SA (abril de 1978). "¿Cuándo es analítica una función que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann?". El Mensual Matemático Estadounidense . 85 (4): 246–256. doi :10.2307/2321164. JSTOR  2321164.
• Looman, H. (1923). "Über die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen". Göttinger Nachrichten (en alemán): 97-108.
• Marsden, A; Hoffman, M (1973). Análisis complejo básico . WH Freeman.
• Rudin, Walter (1966). Análisis real y complejo (3ª ed.). McGraw Hill (publicado en 1987). ISBN 0-07-054234-1.

Otras lecturas

• Ahlfors, Lars (1953). Análisis complejo (3ª ed.). McGraw Hill (publicado en 1979). ISBN 0-07-000657-1.
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Condiciones de Cauchy-Riemann", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Stewart, Ian ; Alto, David (1983). Análisis complejo (1ª ed.). COPA (publicado en 1984). ISBN 0-521-28763-4.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Ecuaciones de Cauchy-Riemann". MundoMatemático .
• Módulo de ecuaciones de Cauchy-Riemann por John H. Mathews