derivada débil

Generalización de la derivada de una función.

En matemáticas , una derivada débil es una generalización del concepto de derivada de una función ( derivada fuerte ) para funciones que no se suponen diferenciables , sino sólo integrables , es decir, que se encuentran en el espacio L p . ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$

El método de integración por partes sostiene que para funciones diferenciables y tenemos ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)\varphi '(x)\,dx&={\Big [}u(x)\varphi (x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)\varphi (x)\,dx.\\[6pt]\end{aligned}}}$$

Una función u ' que es la derivada débil de u se define esencialmente por el requisito de que esta ecuación debe cumplirse para todas las funciones infinitamente diferenciables que desaparecen en los puntos límite ( ). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0}$

Definición

Sea una función en el espacio de Lebesgue . Decimos que in es una derivada débil de if ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)\,dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)\,dt}$

para todas las funciones infinitamente diferenciables con . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0}$

Generalizando a dimensiones, si y están en el espacio de funciones localmente integrables para algún conjunto abierto , y si es un índice múltiple , decimos que es la derivada débil de si ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(U)}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha ^{\text{th}}}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi ,}$

para todos , es decir, para todas las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto en . Aquí se define como ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D^{\alpha }\varphi }$

$${\displaystyle D^{\alpha }\varphi ={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$$

Si tiene una derivada débil, a menudo se escribe porque las derivadas débiles son únicas (al menos, hasta un conjunto de medida cero , ver más abajo). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle D^{\alpha }u}$

Ejemplos

• La función de valor absoluto , que no es diferenciable en tiene una derivada débil conocida como función de signo , y está dada por ${\displaystyle u:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{+},u(t)=|t|}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle v:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$
  $${\displaystyle v(t)={\begin{cases}1&{\text{if }}t>0;\\[6pt]0&{\text{if }}t=0;\\[6pt]-1&{\text{if }}t<0.\end{cases}}}$$
  Esta no es la única derivada débil de u : cualquier w que sea igual a v en casi todas partes también es una derivada débil de u . (En particular, la definición de v (0) anterior es superflua y puede reemplazarse con cualquier número real r deseado). Por lo general, esto no es un problema, ya que en la teoría de los espacios L p y los espacios de Sobolev , funciones que son iguales casi en todas partes están identificados.
• La función característica de los números racionales no es diferenciable en ninguna parte pero tiene una derivada débil. Como la medida de Lebesgue de los números racionales es cero, ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$
  $${\displaystyle \int 1_{\mathbb {Q} }(t)\varphi (t)\,dt=0.}$$
  Por tanto, es una derivada débil de . Tenga en cuenta que esto sí concuerda con nuestra intuición ya que cuando se considera como miembro de un espacio Lp, se identifica con la función cero. ${\displaystyle v(t)=0}$ ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$
• La función de Cantor c no tiene una derivada débil, a pesar de ser diferenciable en casi todas partes. Esto se debe a que cualquier derivada débil de c tendría que ser igual en casi todas partes a la derivada clásica de c , que es cero en casi todas partes. Pero la función cero no es una derivada débil de c , como puede verse al compararla con una función de prueba apropiada . Más teóricamente, c no tiene una derivada débil porque su derivada distribucional , es decir, la distribución de Cantor , es una medida singular y, por tanto, no puede representarse mediante una función. ${\displaystyle \varphi }$

Propiedades

Si dos funciones son derivadas débiles de la misma función, son iguales excepto en un conjunto con medida de Lebesgue cero, es decir, son iguales en casi todas partes . Si consideramos clases de equivalencia de funciones tales que dos funciones son equivalentes si son iguales en casi todas partes, entonces la derivada débil es única.

Además, si u es diferenciable en el sentido convencional, entonces su derivada débil es idéntica (en el sentido dado anteriormente) a su derivada convencional (fuerte). Por tanto, la derivada débil es una generalización de la fuerte. Además, las reglas clásicas para derivadas de sumas y productos de funciones también se aplican a la derivada débil.

Extensiones

Este concepto da lugar a la definición de soluciones débiles en espacios de Sobolev , que son útiles para problemas de ecuaciones diferenciales y en análisis funcional .

Ver también

• subderivada
• Lema de Weyl (ecuación de Laplace)

Referencias

• Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . Berlín: Springer. pag. 149.ISBN _ 3-540-41160-7.
• Evans, Lawrence C. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. pag. 242.ISBN _ 0-8218-0772-2.
• Knabner, Peter; Angermann, Lutz (2003). Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales elípticas y parabólicas . Nueva York: Springer. pag. 53.ISBN _ 0-387-95449-X.