Lema de Weyl (ecuación de Laplace)

Ecuación matemática

En matemáticas , el lema de Weyl , que lleva el nombre de Hermann Weyl , establece que toda solución débil de la ecuación de Laplace es una solución suave . Esto contrasta con la ecuación de onda , por ejemplo, que tiene soluciones débiles que no son soluciones suaves. El lema de Weyl es un caso especial de regularidad elíptica o hipoelíptica .

Declaración del lema

Sea un subconjunto abierto del espacio euclidiano de dimensiones y denotemos el operador de Laplace habitual . El lema de Weyl ^[1] establece que si una función localmente integrable es una solución débil de la ecuación de Laplace, en el sentido de que ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\,\Delta \varphi (x)\,dx=0}$

para cada función de prueba suave con soporte compacto , entonces (hasta la redefinición en un conjunto de medida cero ) es suave y satisface puntualmente en . ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle \Delta u=0}$ ${\displaystyle \Omega }$

Este resultado implica la regularidad interior de funciones armónicas en , pero no dice nada sobre su regularidad en la frontera . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

idea de la prueba

Para probar el lema de Weyl, se convoluciona la función con un apaciguamiento apropiado y se muestra que el apaciguamiento satisface la ecuación de Laplace, lo que implica que tiene la propiedad del valor medio. Tomando el límite y usando las propiedades de los apaciguadores, se encuentra que también tiene la propiedad del valor medio, lo que implica que es una solución suave de la ecuación de Laplace. ^[2] Las pruebas alternativas utilizan la suavidad de la solución fundamental del laplaciano o estimaciones elípticas a priori adecuadas. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }}$ ${\displaystyle u_{\varepsilon }=\varphi _{\varepsilon }\ast u}$ ${\displaystyle u_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle u}$

Generalización a distribuciones.

De manera más general, el mismo resultado es válido para cada solución distribucional de la ecuación de Laplace: si satisface para cada , entonces hay una distribución regular asociada con una solución suave de la ecuación de Laplace. ^[3] ${\displaystyle T\in D'(\Omega )}$ ${\displaystyle \langle T,\Delta \varphi \rangle =0}$ ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle T=T_{u}}$ ${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}$

Conexión con la hipoellipticidad

El lema de Weyl se deriva de resultados más generales sobre las propiedades de regularidad de operadores elípticos o hipoelípticos. ^[4] Un operador diferencial parcial lineal con coeficientes suaves es hipoelíptico si el soporte singular de es igual al soporte singular de para cada distribución . El operador de Laplace es hipoelíptico, por lo que si , entonces el soporte singular de está vacío ya que el soporte singular de está vacío, lo que significa que . De hecho, dado que el laplaciano es elíptico, un resultado más fuerte es verdadero y las soluciones de son analíticas reales . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Pu}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Delta u=0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle \Delta u=0}$

Notas

1. Hermann Weyl , El método de proyecciones ortogonales en teoría potencial, Duke Math. J. , 7, 411–444 (1940). Véase Lema 2, p. 415
2. Bernard Dacorogna, Introducción al cálculo de variaciones, 2ª ed., Imperial College Press (2009), p. 148.
3. Lars Gårding , Algunos puntos de análisis y su historia , AMS (1997), p. 66.
4. Lars Hörmander , El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , 2.ª ed., Springer-Verlag (1990), p.110

Referencias

• Gilbarg, David; Neil S. Trudinger (1988). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . Saltador. ISBN 3-540-41160-7.
• Stein, Elías (2005). Análisis real: teoría de la medida, integración y espacios de Hilbert . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-11386-6.