Ajuste de nivel

Subconjunto del dominio de una función en el que su valor es igual

( n − 1 ) conjuntos de niveles -dimensionales para funciones de la forma f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) = a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + ⋯ + a _n x _n donde a ₁ , a ₂ , …, a _n son constantes, en el espacio euclidiano ( n + 1) -dimensional, para n = 1, 2, 3 .

( n − 1 ) conjuntos de niveles dimensionales de funciones no lineales f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) en ( n + 1 ) espacio euclidiano dimensional, para n = 1, 2, 3 .

En matemáticas , un conjunto de niveles de una función de valor real f de n variables reales es un conjunto donde la función toma un valor constante dado c , es decir:

${\displaystyle L_{c}(f)=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c\right\}~.}$

Cuando el número de variables independientes es dos, un conjunto de niveles se denomina curva de nivel , también conocida como línea de contorno o isolínea ; entonces, una curva de nivel es el conjunto de todas las soluciones con valores reales de una ecuación en dos variables x ₁ y x ₂ . Cuando n = 3 , un conjunto de niveles se denomina superficie nivelada (o isosuperficie ); entonces una superficie nivelada es el conjunto de todas las raíces de valor real de una ecuación en tres variables x ₁ , x ₂ y x ₃ . Para valores más altos de n , el conjunto de niveles es una hipersuperficie de nivel , el conjunto de todas las raíces con valores reales de una ecuación en n > 3 variables.

Un conjunto de niveles es un caso especial de fibra .

Nombres alternativos

"Intersecciones de las superficies niveladas de una función de coordenadas con un nudo trébol" . Las curvas rojas son las más cercanas al espectador, mientras que las curvas amarillas son las más alejadas.

Los conjuntos de niveles aparecen en muchas aplicaciones, a menudo con nombres diferentes. Por ejemplo, una curva implícita es una curva de nivel, que se considera independientemente de sus curvas vecinas, enfatizando que dicha curva está definida por una ecuación implícita . De manera análoga, una superficie nivelada a veces se denomina superficie implícita o isosuperficie .

También se utiliza el nombre de isocontorno, que significa contorno de igual altura. En diversas áreas de aplicación, los isocontornos han recibido nombres específicos, que a menudo indican la naturaleza de los valores de la función considerada, como isobara , isoterma , isógono , isócrona , isocuanta y curva de indiferencia .

Ejemplos

Considere la distancia euclidiana bidimensional:

$${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$

círculoesferaespacio métrico ${\displaystyle L_{r}(d)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (3,4)\in L_{5}(d)}$ ${\displaystyle d(3,4)=5}$ ${\displaystyle (3,4)}$ ${\displaystyle (M,m)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle L_{r}(y\mapsto m(x,y))}$

Un segundo ejemplo es el gráfico de la función de Himmelblau que se muestra en la figura de la derecha. Cada curva que se muestra es una curva de nivel de la función y están espaciadas logarítmicamente: si una curva representa , la curva directamente "dentro" representa y la curva directamente "afuera" representa . ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{x/10}}$ ${\displaystyle L_{10x}}$

Gráfico de curva de nivel espaciada logarítmicamente de la función de Himmelblau ^[1]

Conjuntos de niveles versus gradiente

Considere una función f cuya gráfica parece una colina. Las curvas azules son los conjuntos de niveles; las curvas rojas siguen la dirección del gradiente. El caminante cauteloso sigue los senderos azules; el caminante audaz sigue los senderos rojos. Tenga en cuenta que los caminos azul y rojo siempre se cruzan en ángulo recto.

Teorema : si la función f es diferenciable , el gradiente de f en un punto es cero o perpendicular al nivel establecido de f en ese punto.

Para entender lo que esto significa, imagine que dos excursionistas se encuentran en el mismo lugar de una montaña. Uno de ellos se atreve y decide ir en la dirección donde la pendiente es más pronunciada. El otro es más cauteloso y no quiere ni subir ni bajar, eligiendo un camino que se mantiene a la misma altura. En nuestra analogía, el teorema anterior dice que los dos excursionistas partirán en direcciones perpendiculares entre sí.

Una consecuencia de este teorema (y su demostración) es que si f es diferenciable, un conjunto de niveles es una hipersuperficie y una variedad fuera de los puntos críticos de f . En un punto crítico, un conjunto de niveles puede reducirse a un punto (por ejemplo, en un extremo local de f ) o puede tener una singularidad como un punto de autointersección o una cúspide .

Conjuntos de subnivel y supernivel

un conjunto de la forma

${\displaystyle L_{c}^{-}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\leq c\right\}}$

se denomina conjunto de subniveles de f (o, alternativamente, conjunto de niveles inferiores o trinchera de f ). Un conjunto de subnivel estricto de f es

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})<c\right\}}$

Similarmente

${\displaystyle L_{c}^{+}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\geq c\right\}}$

se llama conjunto de nivel superior de f (o, alternativamente, conjunto de nivel superior de f ). Y un conjunto estricto de supernivel de f es

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})>c\right\}}$

Los conjuntos de subniveles son importantes en la teoría de la minimización . Según el teorema de Weierstrass , la limitación de algún conjunto de subniveles no vacío y la semicontinuidad inferior de la función implica que una función alcanza su mínimo. La convexidad de todos los conjuntos de subniveles caracteriza funciones cuasiconvexas . ^[2]

Ver también

• Epígrafe
• Método de ajuste de niveles
• Conjunto de niveles (estructuras de datos)

Referencias

1. Simionescu, PA (2011). "Algunos avances en la visualización de funciones restringidas y desigualdades de dos variables". Revista de Computación y Ciencias de la Información en Ingeniería . 11 (1). doi : 10.1115/1.3570770.
2. Kiwiel, Krzysztof C. (2001). "Convergencia y eficiencia de métodos subgradientes para minimización cuasiconvexa". Programación Matemática, Serie A. 90 (1). Berlín, Heidelberg: Springer: 1–25. doi :10.1007/PL00011414. ISSN  0025-5610. SEÑOR  1819784. S2CID  10043417.