Operador estrella de Hodge

Mapa algebraico exterior que toma tensores de formas p a formas np

En matemáticas , el operador estrella de Hodge o estrella de Hodge es un mapa lineal definido en el álgebra exterior de un espacio vectorial orientado de dimensión finita dotado de una forma bilineal simétrica no degenerada . La aplicación del operador a un elemento del álgebra produce el dual de Hodge del elemento. Este mapa fue presentado por WVD Hodge .

Por ejemplo, en un espacio euclidiano tridimensional orientado, un plano orientado puede representarse mediante el producto exterior de dos vectores base, y su dual de Hodge es el vector normal dado por su producto vectorial ; por el contrario, cualquier vector es dual al plano orientado perpendicular a él, dotado de un bivector adecuado. Generalizando esto a un espacio vectorial n -dimensional, la estrella de Hodge es un mapeo uno a uno de k -vectores a ( n – k ) -vectores; las dimensiones de estos espacios son los coeficientes binomiales . ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n}{n-k}}}$

La naturalidad del operador estrella significa que puede desempeñar un papel en la geometría diferencial, cuando se aplica al paquete cotangente de una variedad pseudo-riemanniana y, por tanto, a las k -formas diferenciales . Esto permite la definición del codiferencial como el adjunto de Hodge de la derivada exterior , lo que lleva al operador de Laplace-de Rham . Esto generaliza el caso del espacio euclidiano tridimensional, en el que la divergencia de un campo vectorial puede realizarse como el codiferencial opuesto al operador de gradiente , y el operador de Laplace en una función es la divergencia de su gradiente. Una aplicación importante es la descomposición de Hodge de formas diferenciales en una variedad de Riemann cerrada .

Definición formal para k -vectores

Sea V un espacio vectorial orientado de n dimensiones con una forma bilineal simétrica no degenerada , denominado aquí producto interno. (En contextos más generales, como las variedades pseudo-riemannianas y el espacio de Minkowski , la forma bilineal puede no ser positiva). Esto induce un producto interno en k -vectores , por ejemplo , definiéndolo en k -vectores descomponibles y para igualar el determinante de Gram. ^{[1] : 14} ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\textstyle \alpha ,\beta \in \bigwedge ^{\!k}V}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}}$ ${\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\det \left(\left\langle \alpha _{i},\beta _{j}\right\rangle _{i,j=1}^{k}\right)}$

extendido a través de la linealidad. ${\textstyle \bigwedge ^{\!k}V}$

La unidad n -vector se define en términos de una base ortonormal orientada de V como: ${\displaystyle \omega \in {\textstyle \bigwedge }^{\!n}V}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

${\displaystyle \omega :=e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}.}$

(Nota: en el caso pseudo-riemanniano general, ortonormalidad significa para todos los pares de vectores base). El operador estrella de Hodge es un operador lineal en el álgebra exterior de V , que asigna k -vectores a ( n – k )-vectores, por . Tiene la siguiente propiedad, que lo define completamente: ^{[1] : 15} ${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle \in \{\delta _{ij},-\delta _{ij}\}}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

${\displaystyle \alpha \wedge ({\star }\beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle \,\omega }$ para todos los k -vectores ${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V.}$

Dualmente, en el espacio de n -formas (alternando n -funciones multilineales en ), el dual a es la forma de volumen , la función cuyo valor en es el determinante de la matriz ensamblada a partir de los vectores columna de en -coordenadas. Aplicando la ecuación anterior, obtenemos la definición dual: ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{\!n}V^{*}}$ ${\displaystyle V^{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \det }$ ${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle \det }$

${\displaystyle \det(\alpha \wedge {\star }\beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle }$para todos los k -vectores ${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}V.}$

De manera equivalente, tomando , y : ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}}$ ${\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}}$ ${\displaystyle \star \beta =\beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{n-k}^{\star }}$

${\displaystyle \det \left(\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\wedge \beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{n-k}^{\star }\right)\ =\ \det \left(\langle \alpha _{i},\beta _{j}\rangle \right).}$

Esto significa que, escribiendo una base ortonormal de k -vectores sobre todos los subconjuntos de , el dual de Hodge es el ( n – k )-vector correspondiente al conjunto complementario : ${\displaystyle e_{I}\ =\ e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}}$ ${\displaystyle I=\{i_{1}<\cdots <i_{k}\}}$ ${\displaystyle [n]=\{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle {\bar {I}}=[n]\setminus I=\left\{{\bar {i}}_{1}<\cdots <{\bar {i}}_{n-k}\right\}}$

${\displaystyle {\star }e_{I}=s\cdot t\cdot e_{\bar {I}},}$

donde es el signo de la permutación y es el producto . En el caso riemanniano, . ${\displaystyle s\in \{1,-1\}}$ ${\displaystyle i_{1}\cdots i_{k}{\bar {i}}_{1}\cdots {\bar {i}}_{n-k}}$ ${\displaystyle t\in \{1,-1\}}$ ${\displaystyle \langle e_{i_{1}},e_{i_{1}}\rangle \cdots \langle e_{i_{k}},e_{i_{k}}\rangle }$ ${\displaystyle t=1}$

Dado que la estrella de Hodge toma una base ortonormal, es una isometría en el álgebra exterior . ${\textstyle \bigwedge V}$

Explicación geométrica

La estrella de Hodge está motivada por la correspondencia entre un subespacio W de V y su subespacio ortogonal (con respecto al producto interior), donde cada espacio está dotado de una orientación y un factor de escala numérico. Específicamente, un k -vector descomponible distinto de cero corresponde mediante la incrustación de Plücker al subespacio con base orientada , dotado de un factor de escala igual al k -volumen dimensional del paralelepípedo abarcado por esta base (igual al Gramiano , el determinante de la matriz de productos internos ). La estrella de Hodge que actúa sobre un vector descomponible se puede escribir como un vector descomponible ( n − k ): ${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\in \textstyle \bigwedge ^{\!k}V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{k}}$ ${\displaystyle \langle w_{i},w_{j}\rangle }$

${\displaystyle \star (w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k})\,=\,u_{1}\wedge \cdots \wedge u_{n-k},}$

donde forman una base orientada del espacio ortogonal . Además, el ( n − k )-volumen del paralelepípedo debe ser igual al k -volumen del paralelepípedo y debe formar una base orientada de . ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n-k}}$ ${\displaystyle U=W^{\perp }\!}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{k},u_{1},\ldots ,u_{n-k}}$ ${\displaystyle V}$

Un k -vector general es una combinación lineal de k -vectores descomponibles, y la definición de estrella de Hodge se extiende a k -vectores generales definiéndolo como lineal.

Ejemplos

Dos dimensiones

En dos dimensiones con la métrica euclidiana normalizada y la orientación dada por el orden ( x , y ) , la estrella de Hodge en k -formas viene dada por

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,1&=dx\wedge dy\\{\star }\,dx&=dy\\{\star }\,dy&=-dx\\{\star }(dx\wedge dy)&=1.\end{aligned}}}$$

En el plano complejo considerado como un espacio vectorial real con la forma sesquilineal estándar como métrica, la estrella de Hodge tiene la notable propiedad de ser invariante ante cambios holomorfos de coordenadas. Si z = x + iy es una función holomorfa de w = u + iv , entonces por las ecuaciones de Cauchy-Riemann tenemos que∂ x/∂ tu=∂ y/∂v​y∂ y/∂ tu= -∂ x/∂v​. En las nuevas coordenadas

$${\displaystyle \alpha \ =\ p\,dx+q\,dy\ =\ \left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{\frac {\partial y}{\partial u}}\right)\,du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)\,dv\ =\ p_{1}\,du+q_{1}\,dv,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\alpha &=-q_{1}\,du+p_{1}\,dv\\[4pt]&=-\left(p{\frac {\partial x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{\frac {\partial y}{\partial u}}\right)dv\\[4pt]&=-q\left({\frac {\partial y}{\partial v}}du-{\frac {\partial y}{\partial u}}dv\right)+p\left(-{\frac {\partial x}{\partial v}}du+{\frac {\partial x}{\partial u}}dv\right)\\[4pt]&=-q\left({\frac {\partial x}{\partial u}}du+{\frac {\partial x}{\partial v}}dv\right)+p\left({\frac {\partial y}{\partial u}}du+{\frac {\partial y}{\partial v}}dv\right)\\[4pt]&=-q\,dx+p\,dy,\end{aligned}}}$$

Tres dimensiones

Un ejemplo común del operador estrella de Hodge es el caso n = 3 , cuando puede tomarse como la correspondencia entre vectores y bivectores. Específicamente, para el R ³ euclidiano con la base de formas uniutilizadas a menudo en el cálculo vectorial , se encuentra que ${\displaystyle dx,dy,dz}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,dx&=dy\wedge dz\\{\star }\,dy&=dz\wedge dx\\{\star }\,dz&=dx\wedge dy.\end{aligned}}}$$

La estrella de Hodge relaciona el producto exterior y cruzado en tres dimensiones: ^[2]

$${\displaystyle {\star }(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v} \qquad {\star }(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} .}$$

isomorfismovectores axialesbivectoresaA^[2] ${\displaystyle \mathbf {A} ={\star }\mathbf {a} ,\ \ \mathbf {a} ={\star }\mathbf {A} }$

La estrella de Hodge también se puede interpretar como una forma de correspondencia geométrica entre un eje de rotación y una rotación infinitesimal (ver también: grupo de rotación 3D#Álgebra de Lie ) alrededor del eje, con velocidad igual a la longitud del eje de rotación. Un producto interno en un espacio vectorial da un isomorfismo que se identifica con su espacio dual , y el espacio vectorial es naturalmente isomorfo al producto tensorial . Así, para , el mapeo estelar lleva cada vector a un bivector , que corresponde a un operador lineal . Específicamente, es un operador sesgado-simétrico , que corresponde a una rotación infinitesimal: es decir, las rotaciones macroscópicas alrededor del eje están dadas por la matriz exponencial . Con respecto a la base de , el tensor corresponde a una matriz de coordenadas con 1 en la fila y columna, etc., y la cuña es la matriz sesgo-simétrica , etc. Es decir, podemos interpretar el operador estrella como: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\cong V^{*}\!}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L(V,V)}$ ${\displaystyle V^{*}\!\!\otimes V\cong V\otimes V}$ ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\textstyle \textstyle \star \colon V\to \bigwedge ^{\!2}\!V\subset V\otimes V}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \star \mathbf {v} \in V\otimes V}$ ${\displaystyle L_{\mathbf {v} }\colon V\to V}$ ${\displaystyle L_{\mathbf {v} }}$ ${\displaystyle \mathbb {v} }$ ${\displaystyle \exp(tL_{\mathbf {v} })}$ ${\displaystyle dx,dy,dz}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle dx\otimes dy}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dx\wedge dy\,=\,dx\otimes dy-dy\otimes dx}$ ${\displaystyle \scriptscriptstyle \left[{\begin{array}{rrr}\,0\!\!&\!\!1&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,\!-1\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,0\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\end{array}}\!\!\!\right]}$

$${\displaystyle \mathbf {v} =a\,dx+b\,dy+c\,dz\quad \longrightarrow \quad \star {\mathbf {v} }\ \cong \ L_{\mathbf {v} }\ =\left[{\begin{array}{rrr}0&c&-b\\-c&0&a\\b&-a&0\end{array}}\right].}$$

soporte de Lie ${\displaystyle L_{\mathbf {u} \times \mathbf {v} }=L_{\mathbf {v} }L_{\mathbf {u} }-L_{\mathbf {u} }L_{\mathbf {v} }=-\left[L_{\mathbf {u} },L_{\mathbf {v} }\right]}$

Cuatro dimensiones

En el caso , la estrella de Hodge actúa como un endomorfismo de la segunda potencia exterior (es decir, asigna 2 formas a 2 formas, ya que 4 − 2 = 2 ). Si la firma del tensor métrico es toda positiva, es decir, en una variedad de Riemann , entonces la estrella de Hodge es una involución . Si la firma es mixta, es decir, pseudo-riemanniana , aplicar el operador dos veces devolverá el argumento a un signo; consulte § Dualidad a continuación. Esta particular propiedad de endomorfismo de las 2 formas en cuatro dimensiones hace que las dos formas autoduales y antiautoduales sean objetos geométricos naturales para estudiar. Es decir, se puede describir el espacio de 2 formas en cuatro dimensiones con una base que "diagonaliza" el operador estrella de Hodge con valores propios (o , según la firma). ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm i}$

Para ser más concretos, analizamos el operador estrella de Hodge en el espacio-tiempo de Minkowski, donde con firma métrica (− + + +) y coordenadas . La forma del volumen está orientada como . Para formularios únicos , ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle (t,x,y,z)}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0123}=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\star dt&=-dx\wedge dy\wedge dz\,,\\\star dx&=-dt\wedge dy\wedge dz\,,\\\star dy&=-dt\wedge dz\wedge dx\,,\\\star dz&=-dt\wedge dx\wedge dy\,,\end{aligned}}}$$

2 formas

$${\displaystyle {\begin{aligned}\star (dt\wedge dx)&=-dy\wedge dz\,,\\\star (dt\wedge dy)&=-dz\wedge dx\,,\\\star (dt\wedge dz)&=-dx\wedge dy\,,\\\star (dx\wedge dy)&=dt\wedge dz\,,\\\star (dz\wedge dx)&=dt\wedge dy\,,\\\star (dy\wedge dz)&=dt\wedge dx\,.\end{aligned}}}$$

Estos se resumen en la notación del índice como

$${\displaystyle {\begin{aligned}\star (dx^{\mu })&=\eta ^{\mu \lambda }\varepsilon _{\lambda \nu \rho \sigma }{\frac {1}{3!}}dx^{\nu }\wedge dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,,\\\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })&=\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }\varepsilon _{\kappa \lambda \rho \sigma }{\frac {1}{2!}}dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,.\end{aligned}}}$$

El dual de Hodge de tres y cuatro formas se puede deducir fácilmente del hecho de que, en la firma lorentziana, para formas de rango impar y para formas de rango par. Una regla fácil de recordar para estas operaciones de Hodge es que dada una forma , su dual de Hodge se puede obtener escribiendo los componentes que no participan en un orden tal que . ^{[ se necesita verificación ]} Se ingresará un signo menos adicional solo si contiene . (Para (+ − − −) , se coloca un signo menos solo si se trata de un número impar de formas asociadas al espacio , y .) ${\displaystyle (\star )^{2}=1}$ ${\displaystyle (\star )^{2}=-1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\star }\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha \wedge (\star \alpha )=dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dz}$

Tenga en cuenta que las combinaciones

$${\displaystyle (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }:={\frac {1}{2}}{\big (}dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\mp i\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }){\big )}}$$

${\displaystyle \pm i}$

$${\displaystyle \star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }=\pm i(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm },}$$

matemáticafísicados espinoresteoría del twistor

Invariancia conforme

La estrella de Hodge es conformemente invariante en n formas en un espacio vectorial V de 2n dimensiones, es decir, si es una métrica en y , entonces las estrellas de Hodge inducidas ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda >0}$

$${\displaystyle \star _{g},\star _{\lambda g}\colon \Lambda ^{n}V\to \Lambda ^{n}V}$$

Ejemplo: Derivados en tres dimensiones

La combinación del operador y la derivada exterior d genera los operadores clásicos grad , curl y div en campos vectoriales en el espacio euclidiano tridimensional. Esto funciona de la siguiente manera: d toma una forma 0 (una función) a una forma 1, una forma 1 a una forma 2 y una forma 2 a una forma 3 (y toma una forma 3 para cero). Para una forma 0 , el primer caso escrito en componentes da: ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle f=f(x,y,z)}$

$${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz.}$$

El producto interno identifica formas 1 con campos vectoriales como , etc., por lo que se convierte en . ${\displaystyle dx\mapsto (1,0,0)}$ ${\displaystyle df}$ ${\textstyle \operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)}$

En el segundo caso, un campo vectorial corresponde a la forma 1 , que tiene derivada exterior: ${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$ ${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$

$${\displaystyle d\varphi =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial C}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial z}}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)dx\wedge dy.}$$

La aplicación de la estrella de Hodge da la forma 1:

$${\displaystyle \star d\varphi =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)\,dx-\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)\,dy+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)\,dz,}$$

${\textstyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}},\,-{\frac {\partial C}{\partial x}}+{\frac {\partial A}{\partial z}},\,{\frac {\partial B}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)}$

En el tercer caso, nuevamente corresponde a . Aplicando nuevamente la estrella de Hodge, la derivada exterior y la estrella de Hodge: ${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$ ${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\star \varphi &=A\,dy\wedge dz-B\,dx\wedge dz+C\,dx\wedge dy,\\d{\star \varphi }&=\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz,\\\star d{\star \varphi }&={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}=\operatorname {div} \mathbf {F} .\end{aligned}}}$$

Una ventaja de esta expresión es que la identidad d ² = 0 , que es verdadera en todos los casos, tiene como casos especiales otras dos identidades: 1) curl grad f = 0 y 2) div curl F = 0 . En particular, las ecuaciones de Maxwell adquieren una forma particularmente simple y elegante cuando se expresan en términos de la derivada exterior y la estrella de Hodge. La expresión (multiplicada por una potencia apropiada de -1) se llama codiferencial ; se define con total generalidad, para cualquier dimensión, más adelante en el artículo siguiente. ${\displaystyle \star d\star }$

También se puede obtener el Laplaciano Δ f  = div grad  f en términos de las operaciones anteriores:

$${\displaystyle \Delta f=\star d{\star df}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

El laplaciano también puede verse como un caso especial del operador más general de Laplace-deRham, donde es el codiferencial para -formas. Cualquier función es una forma 0, por lo que esto se reduce al laplaciano ordinario. Para la forma 1 anterior, el codiferencial es y después de algunos cálculos sencillos se obtiene el laplaciano actuando sobre . ${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$ ${\displaystyle \delta =(-1)^{k}\star d\star }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta f=0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \delta =-\star d\star }$ ${\displaystyle \varphi }$

Dualidad

La aplicación de la estrella de Hodge dos veces deja un k -vector sin cambios excepto posiblemente por su signo: porque en un espacio n -dimensional V , se tiene ${\displaystyle \eta \in {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$

${\displaystyle {\star }{\star }\eta =(-1)^{k(n-k)}s\,\eta ,}$

donde s es la paridad de la firma del producto interno en V , es decir, el signo del determinante de la matriz del producto interno con respecto a cualquier base. Por ejemplo, si n = 4 y la firma del producto interno es (+ − − −) o (− + + +), entonces s = −1 . Para variedades de Riemann (incluidos los espacios euclidianos), siempre tenemos s = 1 .

La identidad anterior implica que la inversa de se puede dar como ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }^{-1}:~{\textstyle \bigwedge }^{\!k}V&\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}V\\\eta &\mapsto (-1)^{k(n-k)}\!s\,{\star }\eta \end{aligned}}}$

Si n es impar entonces k ( n − k ) es par para cualquier k , mientras que si n es par entonces k ( n − k ) tiene la paridad de k . Por lo tanto:

${\displaystyle {\star }^{-1}={\begin{cases}s\,{\star }&n{\text{ is odd}}\\(-1)^{k}s\,{\star }&n{\text{ is even}}\end{cases}}}$

donde k es el grado del elemento operado.

En colectores

Para una variedad pseudo-riemanniana orientada de n dimensiones M , aplicamos la construcción anterior a cada espacio cotangente y sus potencias exteriores , y por lo tanto a las k- formas diferenciales , las secciones globales del paquete . La métrica de Riemann induce un producto interno en cada punto . Definimos el dual de Hodge de una forma k , definiéndola como la forma única ( n – k ) que satisface ${\displaystyle {\text{T}}_{p}^{*}M}$ ${\textstyle \bigwedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M}$ ${\textstyle \zeta \in \Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\bigwedge ^{k}{\text{T}}^{*}\!M\right)}$ ${\textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}\!M\to M}$ ${\textstyle \bigwedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle {\star }\zeta }$

$${\displaystyle \eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \langle \eta ,\zeta \rangle \,\omega }$$

kforma de volumenproducto internointegrable al cuadradok -formas ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \langle \eta ,\zeta \rangle }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle \int _{M}\eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \int _{M}\langle \eta ,\zeta \rangle \ \omega .}$$

De manera más general, si no es orientable, se puede definir la estrella de Hodge de forma k como una forma pseudodiferencial ( n – k ) ; es decir, una forma diferencial con valores en el paquete de líneas canónicas . ${\displaystyle M}$

Cálculo en notación de índice

Calculamos en términos de notación de índice tensorial con respecto a una base (no necesariamente ortonormal) en un espacio tangente y su base dual en , teniendo la matriz métrica y su matriz inversa . El dual de Hodge de una forma k descomponible es: ${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$ ${\displaystyle V=T_{p}M}$ ${\displaystyle \{dx_{1},\ldots ,dx_{n}\}}$ ${\displaystyle V^{*}=T_{p}^{*}M}$ ${\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle (g^{ij})=(\langle dx^{i},dx^{j}\rangle )}$

$${\displaystyle \star \left(dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\right)\ =\ {\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}{(n-k)!}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}dx^{j_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{j_{n}}.}$$

Aquí está el símbolo de Levi-Civita con , e implícitamente tomamos la suma de todos los valores de los índices repetidos . El factorial tiene en cuenta el doble conteo y no está presente si los índices de suma están restringidos de modo que . El valor absoluto del determinante es necesario ya que puede ser negativo, como para espacios tangentes a variedades de Lorentz . ${\displaystyle \varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1\dots n}=1}$ ${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{n}}$ ${\displaystyle (n-k)!}$ ${\displaystyle j_{k+1}<\dots <j_{n}}$

Una forma diferencial arbitraria se puede escribir de la siguiente manera:

$${\displaystyle \alpha \ =\ {\frac {1}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\ =\ \sum _{i_{1}<\dots <i_{k}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}.}$$

El factorial se incluye nuevamente para tener en cuenta el doble conteo cuando permitimos índices no crecientes. Nos gustaría definir el dual del componente de modo que el dual de Hodge de la forma esté dado por ${\displaystyle k!}$ ${\displaystyle \alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}}$

$${\displaystyle \star \alpha ={\frac {1}{(n-k)!}}(\star \alpha )_{i_{k+1},\dots ,i_{n}}dx^{i_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{n}}.}$$

Usando la expresión anterior para el dual de Hodge de , encontramos: ^[3] ${\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}}$

$${\displaystyle (\star \alpha )_{j_{k+1},\dots ,j_{n}}={\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}\,g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\,\varepsilon _{j_{1},\dots ,j_{n}}\,.}$$

Aunque se puede aplicar esta expresión a cualquier tensor , el resultado es antisimétrico, ya que la contracción con el símbolo de Levi-Civita completamente antisimétrico cancela toda la parte del tensor excepto la totalmente antisimétrica. Por tanto, equivale a una antisimetrización seguida de la aplicación de la estrella de Hodge. ${\displaystyle \alpha }$

La forma de volumen unitario está dada por: ${\textstyle \omega =\star 1\in \bigwedge ^{n}V^{*}}$

$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.}$$

Codiferencial

La aplicación más importante de la estrella de Hodge en variedades es definir el codiferencial en -formas. Dejar ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \delta =(-1)^{n(k+1)+1}s\ {\star }d{\star }=(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d\,{\star }}$$

exterior ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s=1}$

$${\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)}$$

$${\displaystyle \delta :\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k-1}(M).}$$

El codiferencial no es una antiderivada del álgebra exterior, a diferencia de la derivada exterior.

El codiferencial es el adjunto de la derivada exterior con respecto al producto interior integrable al cuadrado:

$${\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle \ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle ,}$$

${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle (k\!-\!1)}$

$${\displaystyle 0\ =\ \int _{M}d(\eta \wedge {\star }\zeta )\ =\ \int _{M}\left(d\eta \wedge {\star }\zeta +(-1)^{k-1}\eta \wedge {\star }\,{\star }^{-1}d\,{\star }\zeta \right)\ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle -\langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle ,}$$

espacio vectorial topológicoespacio de Sobolev ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \star \zeta }$ ${\displaystyle \zeta _{i}\to \zeta }$ ${\displaystyle i\to \infty }$ ${\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta _{i}\rangle \!\rangle \to \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle }$ ${\displaystyle \eta }$

Dado que el diferencial satisface , el codiferencial tiene la propiedad correspondiente ${\displaystyle d^{2}=0}$

$${\displaystyle \delta ^{2}=(-1)^{n}s^{2}{\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{nk+k+1}s^{3}{\star }d^{2}{\star }=0.}$$

El operador de Laplace-deRham viene dado por

$${\displaystyle \Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta }$$

la teoría de Hodge

$${\displaystyle \langle \!\langle \Delta \zeta ,\eta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \zeta ,\Delta \eta \rangle \!\rangle }$$

$${\displaystyle \langle \!\langle \Delta \eta ,\eta \rangle \!\rangle \geq 0.}$$

La estrella Hodge envía formas armónicas a formas armónicas. Como consecuencia de la teoría de Hodge , la cohomología de De Rham es naturalmente isomorfa al espacio de las formas k armónicas , por lo que la estrella de Hodge induce un isomorfismo de grupos de cohomología.

$${\displaystyle {\star }:H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),}$$

la dualidad de PoincaréH ^k ( M )espacio dual

En coordenadas, con notación como la anterior, el codiferencial de la forma se puede escribir como ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \delta \alpha =\ -{\frac {1}{k!}}g^{ml}\left({\frac {\partial }{\partial x_{l}}}\alpha _{m,i_{1},\dots ,i_{k-1}}-\Gamma _{ml}^{j}\alpha _{j,i_{1},\dots ,i_{k-1}}\right)dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k-1}},}$$

Christoffel ${\displaystyle \Gamma _{ml}^{j}}$ ${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$

Lema de Poincaré para codiferencial

En analogía con el lema de Poincaré para derivada exterior , se puede definir su versión para codiferencial, que dice ^[4]

Si para , donde hay un dominio estelar en una variedad, entonces existe tal que . ${\displaystyle \delta \omega =0}$ ${\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha \in \Lambda ^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle \omega =\delta \alpha }$

Una forma práctica de encontrarlo es utilizar el operador de cohomotopía , que es un inverso local de . Hay que definir un operador de homotopía ^[4] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle H\beta =\int _{0}^{1}{\mathcal {K}}\lrcorner \beta |_{F(t,x)}t^{k}dt,}$

donde es la homotopía lineal entre su centro y un punto , y el vector (Euler) para se inserta en la forma . Entonces podemos definir el operador de cohomotopía como ^[4] ${\displaystyle F(t,x)=x_{0}+t(x-x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}\in U}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}=\sum _{i=1}^{n}(x-x_{0})^{i}\partial _{x^{i}}}$ ${\displaystyle n=\dim(U)}$ ${\displaystyle \beta \in \Lambda ^{*}(U)}$

${\displaystyle h:\Lambda (U)\rightarrow \Lambda (U),\quad h:=\eta \star ^{-1}H\star }$,

para donde . ${\displaystyle \eta \beta =(-1)^{k}\beta }$ ${\displaystyle \beta \in \Lambda ^{k}(U)}$

El operador de cohomotopía cumple la fórmula de invariancia de (co)homotopía ^[4]

${\displaystyle \delta h+h\delta =I-S_{x_{0}}}$,

donde , y es el retroceso a lo largo del mapa constante . ${\displaystyle S_{x_{0}}=\star ^{-1}s_{x_{0}}^{*}\star }$ ${\displaystyle s_{x_{0}}^{*}}$ ${\displaystyle s_{x_{0}}:x\rightarrow x_{0}}$

Por lo tanto, si queremos resolver la ecuación , aplicando la fórmula de invariancia de cohomotopía obtenemos ${\displaystyle \delta \omega =0}$

${\displaystyle \omega =\delta h\omega +S_{x_{0}}\omega ,}$donde lo que buscamos es una forma diferencial y la ″constante de integración″ desaparece a menos que sea una forma superior. ${\displaystyle h\omega \in \Lambda ^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle S_{x_{0}}\omega }$ ${\displaystyle \omega }$

El operador de cohomotopía cumple las siguientes propiedades: ^[4] . Permiten utilizarlo para definir ^[4] formas anticoexactas en by , que junto con las formas exactas hacen una descomposición de suma directa ^[4] ${\displaystyle h^{2}=0,\quad \delta h\delta =\delta ,\quad h\delta h=h}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}(U)=\{\omega \in \Lambda (U)|\omega =h\delta \omega \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(U)=\{\omega \in \Lambda (U)|\omega =\delta h\omega \}}$

${\displaystyle \Lambda (U)={\mathcal {C}}(U)\oplus {\mathcal {Y}}(U)}$.

Esta suma directa es otra forma de decir que la fórmula de invariancia de cohomotopía es una descomposición de la unidad, y los operadores proyectores sobre los sumandos cumplen fórmulas de idempotencia : ^[4] . ${\displaystyle (h\delta )^{2}=h\delta ,\quad (\delta h)^{2}=\delta h}$

Estos resultados son una extensión de resultados similares para la derivada exterior. ^[5]

Citas

1. Harley Flanders (1963) Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas , Academic Press
2. Pertti Lounesto (2001). "§3.6 El dual de Hodge". Clifford Algebras and Spinors, volumen 286 de la serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society(2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 39.ISBN​ 0-521-00551-5.
3. Frankel, T. (2012). La geometría de la física (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-60260-1.
4. Kycia, Radosław Antoni (29 de julio de 2022). "El lema de Poincaré para formas codiferenciales, anticoexactas y aplicaciones a la física". Resultados en Matemáticas . 77 (5): 182. arXiv : 2009.08542 . doi :10.1007/s00025-022-01646-z. ISSN  1420-9012. S2CID  221802588.
5. Edelen, Dominic GB (2005). Cálculo exterior aplicado (Ed. Revisada). Mineola, Nueva York ISBN 978-0-486-43871-9. OCLC  56347718.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Referencias

• David Bleecker (1981) Teoría de calibres y principios variacionales . Editorial Addison-Wesley. ISBN 0-201-10096-7 . Capítulo. 0 contiene una revisión condensada de la geometría diferencial no riemanniana. 
• Jost, Jürgen (2002). Geometría Riemanniana y Análisis Geométrico . Springer-Verlag . ISBN 3-540-42627-2.
• Charles W. Misner , Kip S. Thorne , John Archibald Wheeler (1970) Gravitación . WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0 . Una revisión básica de la geometría diferencial en el caso especial del espacio -tiempo de cuatro dimensiones . 
• Steven Rosenberg (1997) El laplaciano en una variedad de Riemann . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-46831-0 . Una introducción a la ecuación del calor y al teorema de Atiyah-Singer . 
• Tevian Dray (1999) El operador dual de Hodge. Una descripción detallada de la definición y las propiedades del operador estrella de Hodge.