Ecuaciones de Yang-Mills

Ecuaciones diferenciales parciales cuyas soluciones son instantones

El coeficiente dx ¹ ⊗σ ₃ de un instante BPST en la porción (x ¹ ,x ² ) de R ⁴ donde σ ₃ es la tercera matriz de Pauli (arriba a la izquierda). El coeficiente dx ² ⊗σ ₃ (arriba a la derecha). Estos coeficientes determinan la restricción del instante BPST A con g=2, ρ=1,z=0 a este segmento. La intensidad de campo correspondiente se centró alrededor de z=0 (abajo a la izquierda). Una representación visual de la intensidad de campo de un instantón BPST con centro z en la compactación S ⁴ de R ⁴ (abajo a la derecha). El instantón BPST es una solución de las ecuaciones de dualidad anti-yo y, por lo tanto, de las ecuaciones de Yang-Mills, en R ⁴ . Esta solución puede ampliarse mediante el teorema de singularidad removible de Uhlenbeck a una conexión ASD topológicamente no trivial en S ⁴ .

En física y matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y teoría de calibre , las ecuaciones de Yang-Mills son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales para una conexión en un haz de vectores o haz principal . Surgen en física como las ecuaciones de Euler-Lagrange del funcional de acción de Yang-Mills . También han encontrado un uso significativo en matemáticas.

Las soluciones de las ecuaciones se denominan conexiones de Yang-Mills o instantones . Simon Donaldson utilizó el espacio de módulos de instantones para demostrar el teorema de Donaldson .

Motivación

Física

En su artículo fundacional sobre el tema de las teorías de calibre, Robert Mills y Chen-Ning Yang desarrollaron (esencialmente independientemente de la literatura matemática) la teoría de los paquetes y conexiones principales para explicar el concepto de simetría de calibre e invariancia de calibre tal como se aplica a Teorías físicas. ^[1] Las teorías de calibre que descubrieron Yang y Mills, ahora llamadas teorías de Yang-Mills , generalizaron el trabajo clásico de James Maxwell sobre las ecuaciones de Maxwell , que habían sido redactadas en el lenguaje de una teoría de calibre por Wolfgang Pauli y otros. ^[2] La novedad del trabajo de Yang y Mills fue definir teorías de calibre para una elección arbitraria de grupo de Lie , llamado grupo de estructura (o en física grupo de calibre , ver Grupo de calibre (matemáticas) para más detalles). Este grupo podría ser no abeliano a diferencia del caso correspondiente al electromagnetismo, y el marco adecuado para discutir tales objetos es la teoría de los haces principales . ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\operatorname {U} (1)}$

Los puntos esenciales del trabajo de Yang y Mills son los siguientes. Se supone que la descripción fundamental de un modelo físico se realiza mediante el uso de campos , y se deriva que bajo una transformación de calibre local (cambio de trivialización local del paquete principal), estos campos físicos deben transformarse precisamente de la manera que una conexión (en física , un campo de calibre ) en un paquete principal se transforma. La intensidad del campo de calibre es la curvatura de la conexión, y la energía del campo de calibre viene dada (hasta una constante) por la función de acción de Yang-Mills. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{A}}$

${\displaystyle \operatorname {YM} (A)=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}.}$

El principio de acción mínima dicta que las ecuaciones de movimiento correctas para esta teoría física deben estar dadas por las ecuaciones de Euler-Lagrange de este funcional, que son las ecuaciones de Yang-Mills que se derivan a continuación:

${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=0.}$

Matemáticas

Además de los orígenes físicos de la teoría, las ecuaciones de Yang-Mills son de importante interés geométrico. En general, no existe una elección natural de conexión en un fibrado vectorial o en un fibrado principal. En el caso especial en el que este paquete es el paquete tangente a una variedad de Riemann , existe una elección natural, la conexión Levi-Civita , pero en general hay un espacio de dimensiones infinitas de opciones posibles. Una conexión Yang-Mills ofrece algún tipo de elección natural de conexión para un haz de fibras general, como lo describimos ahora.

Una conexión se define por sus formas locales para una cubierta abierta trivializante para el paquete . El primer intento de elegir una conexión canónica podría ser exigir que estas formas desaparezcan. Sin embargo, esto no es posible a menos que la trivialización sea plana, en el sentido de que las funciones de transición sean funciones constantes. No todos los paquetes son planos, por lo que esto no es posible en general. En lugar de ello, se podría preguntar que las formas de conexión local son en sí mismas constantes. En un paquete principal, la forma correcta de expresar esta condición es que la curvatura desaparece. Sin embargo, según la teoría de Chern-Weil, si la curvatura desaparece (es decir, es una conexión plana ), entonces el paquete principal subyacente debe tener clases de Chern triviales , lo cual es una obstrucción topológica a la existencia de conexiones planas: no todos los paquetes principales Puede tener una conexión plana. ${\displaystyle A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle F_{A}=dA+{\frac {1}{2}}[A,A]}$ ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle A}$

Lo mejor que se puede esperar es entonces pedir que, en lugar de que la curvatura desaparezca, el paquete tenga una curvatura lo más pequeña posible . El funcional de acción de Yang-Mills descrito anteriormente es precisamente (el cuadrado de) la norma de la curvatura, y sus ecuaciones de Euler-Lagrange describen los puntos críticos de este funcional, ya sea los mínimos absolutos o los mínimos locales. Es decir, las conexiones Yang-Mills son precisamente las que minimizan su curvatura. En este sentido, son la elección natural de conexión en un paquete principal o vectorial sobre una variedad desde un punto de vista matemático. ${\displaystyle L^{2}}$

Definición

Sea una variedad riemanniana compacta y orientada . Las ecuaciones de Yang-Mills se pueden formular para una conexión en un paquete de vectores o paquete principal , para algún grupo de Lie compacto . Aquí se presenta esta última convención. Denotemos un paquete principal sobre . Entonces, una conexión puede especificarse mediante una forma diferencial valorada en álgebra de Lie en el espacio total del paquete principal. Esta conexión tiene una forma de curvatura , que es una forma doble con valores en el paquete adjunto de . Asociada a la conexión hay una derivada covariante exterior , definida en el paquete adjunto. Además, dado que es compacto, su álgebra de Lie compacta asociada admite un producto interno invariante bajo la representación adjunta . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle G}$

Como es riemanniano, hay un producto interno en el paquete cotangente , y combinado con el producto interno invariante de hay un producto interno en el paquete de dos formas valoradas en . Como está orientado, hay un producto interno en las secciones de este paquete. A saber, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)\otimes \Lambda ^{2}T^{*}X}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle s,t\rangle _{L^{2}}=\int _{X}\langle s,t\rangle \,dvol_{g}}$

donde dentro de la integral se utiliza el producto interno de las fibras, y es la forma de volumen de Riemann de . Usando este producto interno, el operador adjunto formal de se define por ${\displaystyle dvol_{g}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle d_{A}}$

${\displaystyle \langle d_{A}s,t\rangle _{L^{2}}=\langle s,d_{A}^{*}t\rangle _{L^{2}}}$.

Explícitamente, esto viene dado por dónde actúa el operador estrella de Hodge en dos formas. ${\displaystyle d_{A}^{*}=\pm \star d_{A}\star }$ ${\displaystyle \star }$

Suponiendo la configuración anterior, las ecuaciones de Yang-Mills son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales (en general no lineales) dado por

Dado que la estrella de Hodge es un isomorfismo, mediante la fórmula explícita de las ecuaciones de Yang-Mills se puede escribir de manera equivalente ${\displaystyle d_{A}^{*}}$

Una conexión que satisface ( 1 ) o ( 2 ) se denomina conexión Yang-Mills .

Cada conexión satisface automáticamente la identidad de Bianchi , por lo que las conexiones de Yang-Mills pueden verse como un análogo no lineal de las formas diferenciales armónicas , que satisfacen ${\displaystyle d_{A}F_{A}=0}$

${\displaystyle d\omega =d^{*}\omega =0}$.

En este sentido, la búsqueda de conexiones Yang-Mills puede compararse con la teoría de Hodge , que busca un representante armónico en la clase de cohomología de De Rham de una forma diferencial. La analogía es que una conexión Yang-Mills es como un representante armónico en el conjunto de todas las conexiones posibles en un paquete principal.

Derivación

Las ecuaciones de Yang-Mills son las ecuaciones de Euler-Lagrange del funcional de Yang-Mills , definidas por

Para derivar las ecuaciones del funcional, recuerde que el espacio de todas las conexiones es un espacio afín modelado en el espacio vectorial . Dada una pequeña deformación de una conexión en este espacio afín, las curvaturas están relacionadas por ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle A+ta}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle F_{A+ta}=F_{A}+td_{A}a+t^{2}a\wedge a.}$

Para determinar los puntos críticos de ( 3 ), calcule

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\operatorname {YM} (A+ta)\right)_{t=0}&={\frac {d}{dt}}\left(\int _{X}\langle F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedge a,F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedge a\rangle \,d\mathrm {vol} _{g}\right)_{t=0}\\&={\frac {d}{dt}}\left(\int _{X}\|F_{A}\|^{2}+2t\langle F_{A},d_{A}a\rangle +2t^{2}\langle F_{A},a\wedge a\rangle +t^{4}\|a\wedge a\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}\right)_{t=0}\\&=2\int _{X}\langle d_{A}^{*}F_{A},a\rangle \,d\mathrm {vol} _{g}.\end{aligned}}}$

La conexión es un punto crítico del funcional Yang-Mills si y sólo si ésta se anula para cada , y esto ocurre precisamente cuando se satisface ( 1 ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$

Espacio de módulos de conexiones Yang-Mills

Las ecuaciones de Yang-Mills son invariantes de calibre . Matemáticamente, una transformación de calibre es un automorfismo del paquete principal y, dado que el producto interno es invariante, el funcional Yang-Mills satisface ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$

${\displaystyle \operatorname {YM} (g\cdot A)=\int _{X}\|gF_{A}g^{-1}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}=\operatorname {YM} (A)}$

y así, si satisface ( 1 ), también lo hace . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle g\cdot A}$

Hay un espacio de módulos de transformaciones de calibre de módulo de conexiones de Yang-Mills. Denota por el grupo de calibre de automorfismos de . El conjunto clasifica todas las transformaciones de calibre de módulo de las conexiones, y el espacio de módulos de las conexiones de Yang-Mills es un subconjunto. En general, ni Hausdorff ni un colector liso. Sin embargo, al restringir a conexiones irreducibles, es decir, conexiones cuyo grupo de holonomía está dado por todos , se obtienen espacios de Hausdorff. Se denota el espacio de conexiones irreducibles , por lo que los espacios de módulos se denotan y . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{*}}$

Los espacios de módulo de las conexiones Yang-Mills se han estudiado intensamente en circunstancias específicas. Michael Atiyah y Raoul Bott estudiaron las ecuaciones de Yang-Mills para haces sobre superficies compactas de Riemann . ^[4] Allí, el espacio de módulos obtiene una descripción alternativa como un espacio de módulos de haces de vectores holomorfos . Este es el teorema de Narasimhan-Seshadri , que Donaldson demostró de esta forma relacionando las conexiones de Yang-Mills con haces de vectores holomorfos. ^[5] En este entorno, el espacio de módulos tiene la estructura de una variedad Kähler compacta . Los módulos de conexiones Yang-Mills se han estudiado más cuando la dimensión de la variedad base es cuatro. ^{[3] [6]} Aquí las ecuaciones de Yang-Mills admiten una simplificación de una PDE de segundo orden a una PDE de primer orden, las ecuaciones anti-auto-dualidad. ${\displaystyle X}$

Ecuaciones anti-auto-dualidad

Cuando la dimensión de la variedad base es cuatro, ocurre una coincidencia: el operador estrella de Hodge asigna dos formas a dos formas, ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)}$.

El operador estrella de Hodge eleva al cuadrado la identidad en este caso, por lo que tiene valores propios y . En particular, hay una descomposición ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle \Omega ^{2}(X)=\Omega _{+}(X)\oplus \Omega _{-}(X)}$

en los espacios propios positivos y negativos de , las dos formas autodual y antiautodual . Si una conexión en un paquete principal sobre una variedad de cuatro satisface o , entonces por ( 2 ), la conexión es una conexión Yang-Mills. Estas conexiones se denominan conexiones autoduales o conexiones antiautoduales , y las ecuaciones son ecuaciones de autodualidad (SD) y ecuaciones antiautodualidad (ASD) . ^[3] Los espacios de conexiones auto-duales y anti-auto-duales se denotan por y , y de manera similar para y . ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{A}={\star F_{A}}}$ ${\displaystyle F_{A}=-{\star F_{A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{-}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\pm }}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\pm }}$

Donaldson estudió más intensamente el espacio de módulos de las conexiones ASD, o instantones, en el caso en el que y está simplemente conexo . ^{[7] [8] [9]} En este entorno, el paquete principal se clasifica por su segunda clase Chern ,. ^{[Nota 1]} Para varias opciones de fibrado principal, se obtienen espacios de módulos con propiedades interesantes. Estos espacios son Hausdorff, incluso cuando permiten conexiones reducibles, y son genéricamente lisos. Donaldson demostró que la parte lisa es orientable. Según el teorema del índice de Atiyah-Singer , se puede calcular que la dimensión de , el espacio de módulos de las conexiones ASD cuando , es ${\displaystyle G=\operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle c_{2}(P)\in H^{4}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{k}^{-}}$ ${\displaystyle c_{2}(P)=k}$

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{k}^{-}=8k-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X))}$

donde es el primer número de Betti de y es la dimensión del subespacio definido positivo de con respecto a la forma de intersección en . ^[3] Por ejemplo, cuando y , la forma de intersección es trivial y el espacio de módulos tiene dimensión . Esto concuerda con la existencia del instante BPST , que es el instante ASD único en una familia de hasta 5 parámetros que define su centro y su escala. Dichos instantes pueden extenderse a través del punto en el infinito utilizando el teorema de singularidad removible de Uhlenbeck. ${\displaystyle b_{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{+}(X)}$ ${\displaystyle H_{2}(X,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=S^{4}}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{1}^{-}(S^{4})=8-3=5}$ ${\displaystyle S^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Aplicaciones

teorema de donaldson

Donaldson utilizó el espacio de módulos de las ecuaciones de Yang-Mills para demostrar el teorema de Donaldson sobre la forma de intersección de cuatro variedades simplemente conectadas. Utilizando los resultados analíticos de Clifford Taubes y Karen Uhlenbeck , Donaldson pudo demostrar que en circunstancias específicas (cuando la forma de intersección es definida ) el espacio de módulos de los instantenes ASD en una variedad cuádruple suave, compacta, orientada y simplemente conexa da un cobordismo. entre una copia de la propia variedad y una unión disjunta de copias del plano proyectivo complejo . ^{[7] [10] [11] [12]} La forma de intersección es un cobordismo invariante hasta el isomorfismo, lo que muestra que cualquier variedad suave tiene una forma de intersección diagonalizable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

El espacio de módulos de instantones ASD se puede utilizar para definir más invariantes de cuatro variedades. Donaldson definió números racionales asociados a una variedad de cuatro que surgen de pares de clases de cohomología en el espacio de módulos. ^[9] Este trabajo ha sido posteriormente superado por las invariantes de Seiberg-Witten .

Reducción dimensional y otros espacios de módulos.

Mediante el proceso de reducción dimensional, las ecuaciones de Yang-Mills se pueden utilizar para derivar otras ecuaciones importantes en geometría diferencial y teoría de calibre. La reducción dimensional es el proceso de tomar las ecuaciones de Yang-Mills sobre una variedad de cuatro, típicamente , e imponer que las soluciones sean invariantes bajo un grupo de simetría. Por ejemplo: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• Al exigir que las ecuaciones anti-auto-dualidad sean invariantes bajo traslaciones en una sola dirección de , se obtienen las ecuaciones de Bogomolny que describen monopolos magnéticos en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• Al exigir que las ecuaciones de autodualidad sean invariantes bajo traslación en dos direcciones, se obtienen las ecuaciones de Hitchin investigadas por primera vez por Hitchin . Estas ecuaciones conducen naturalmente al estudio de los haces de Higgs y del sistema de Hitchin .
• Al exigir que las ecuaciones anti-autodualidad sean invariantes en tres direcciones, se obtienen las ecuaciones de Nahm en un intervalo.

Existe una dualidad entre las soluciones de las ecuaciones ASD dimensionalmente reducidas y se llama transformada de Nahm, en honor a Werner Nahm , quien describió por primera vez cómo construir monopolos a partir de datos de ecuaciones de Nahm. ^[13] Hitchin demostró lo contrario y Donaldson demostró que las soluciones a las ecuaciones de Nahm podrían vincularse aún más a espacios de módulos de aplicaciones racionales desde la línea proyectiva compleja hacia sí misma. ^{[14] [15]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Se teoriza que la dualidad observada para estas soluciones es válida para grupos duales arbitrarios de simetrías de una variedad cuádruple. De hecho, existe una dualidad similar entre instantones invariantes bajo redes duales en el interior , instantones en toros duales de cuatro dimensiones, y la construcción ADHM puede considerarse como una dualidad entre instantones y datos algebraicos duales sobre un solo punto. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Las reducciones de simetría de las ecuaciones ASD también conducen a una serie de sistemas integrables , y la conjetura de Ward es que, de hecho, todas las EDO y PDE integrables conocidas provienen de la reducción de simetría de ASDYM. Por ejemplo, las reducciones de SU(2) ASDYM dan la ecuación seno-Gordon y Korteweg-de Vries , de ASDYM da la ecuación de Tzitzeica , y una reducción particular a dimensiones da el modelo quiral integrable de Ward. ^[16] En este sentido, es una 'teoría maestra' para sistemas integrables, que permite recuperar muchos sistemas conocidos seleccionando parámetros apropiados, como la elección del grupo de calibre y el esquema de reducción de simetría. Otras teorías maestras similares son la teoría cuatridimensional de Chern-Simons y el modelo afín de Gaudin . ${\displaystyle \mathrm {SL} (3,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2+1}$

Teoría de Chern-Simons

El espacio de módulos de las ecuaciones de Yang-Mills sobre una superficie compacta de Riemann puede verse como el espacio de configuración de la teoría de Chern-Simons sobre un cilindro . En este caso el espacio de módulos admite una cuantificación geométrica , descubierta de forma independiente por Nigel Hitchin y Axelrod–Della Pietra– Witten . ^{[17] [18]} ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma \times [0,1]}$

Ver también

• Conexión (paquete de vectores)
• Conexión (paquete principal)
• Teoría de Donaldson
• Ecuaciones hermitianas de Yang-Mills
• Ecuaciones deformadas de Hermitian Yang-Mills
• Ecuaciones de Yang-Mills-Higgs

Notas

1. Para obtener una prueba de este hecho, consulte la publicación https://mathoverflow.net/a/265399.

Referencias

1. Yang, CN y Mills, RL, 1954. Conservación del espín isotópico y la invariancia de calibre isotópico. Revisión física, 96(1), p.191.
2. Pauli, W., 1941. Teorías de campo relativistas de partículas elementales. Reseñas de física moderna, 13 (3), p.203.
3. Donaldson, SK y Kronheimer, PB (1990). La geometría de las cuatro variedades. Prensa de la Universidad de Oxford.
4. Atiyah, MF y Bott, R. (1983). Las ecuaciones de Yang-Mills sobre superficies de Riemann. Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas, 308(1505), 523–615.
5. Donaldson, SK (1983). Una nueva prueba de un teorema de Narasimhan y Seshadri. Revista de geometría diferencial, 18 (2), 269–277.
6. Friedman, R. y Morgan, JW (1998). Teoría de calibre y topología de cuatro variedades (Vol. 4). Sociedad Matemática Estadounidense.
7. Donaldson, SK (1983). Una aplicación de la teoría de calibre a la topología de cuatro dimensiones. Revista de geometría diferencial, 18 (2), 279–315.
8. Donaldson, SK (1986). Conexiones, cohomología y formas de intersección de 4 variedades. Revista de geometría diferencial, 24 (3), 275–341.
9. Donaldson, SK (1990). Invariantes polinomiales para cuatro variedades suaves. Topología, 29(3), 257–315.
10. Taubes, CH (1982). Conexiones Yang-Mills autoduales en 4 colectores no autoduales. Revista de geometría diferencial, 17 (1), 139-170.
11. Uhlenbeck, KK (1982). Conexiones con L ^p límites de curvatura. Comunicaciones en Física Matemática, 83(1), 31–42.
12. Uhlenbeck, KK (1982). Singularidades removibles en los campos de Yang-Mills. Comunicaciones en Física Matemática, 83(1), 11–29.
13. Nahm, W. (1983). Todos los multimonopolos duales para grupos de calibre arbitrario. En Elementos estructurales en física de partículas y mecánica estadística (págs. 301-310). Springer, Boston, MA.
14. Hitchin, Nueva Jersey (1983). Sobre la construcción de monopolos. Comunicaciones en Física Matemática, 89(2), 145–190.
15. Donaldson, SK (1984). Las ecuaciones de Nahm y la clasificación de monopolos. Comunicaciones en Física Matemática, 96(3), 387–408.
16. Dunajski, Maciej (2010). Solitones, instantones y tornadores . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 151-154. ISBN 9780198570639.
17. Hitchin, Nueva Jersey (1990). Conexiones planas y cuantificación geométrica. Comunicaciones en física matemática, 131 (2), 347–380.
18. Axelrod, S., Della Pietra, S. y Witten, E. (1991). Cuantización geométrica de la teoría del calibre de Chern Simons. representaciones, 34, 39.