Conexión (haz principal)

En matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y teoría de gauge , una conexión es un dispositivo que define una noción de transporte paralelo en el fibrado; es decir, una forma de "conectar" o identificar fibras sobre puntos cercanos. Una conexión G principal sobre un fibrado G principal sobre una variedad lisa es un tipo particular de conexión que es compatible con la acción del grupo . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

Una conexión principal puede considerarse un caso especial de la noción de conexión de Ehresmann y, a veces, se denomina conexión principal de Ehresmann . Da lugar a conexiones (de Ehresmann) en cualquier fibrado asociado a través de la construcción de fibrado asociado . En particular, en cualquier fibrado vectorial asociado , la conexión principal induce una derivada covariante , un operador que puede diferenciar secciones de ese fibrado a lo largo de direcciones tangentes en la variedad base. Las conexiones principales generalizan a fibrados principales arbitrarios el concepto de una conexión lineal en el fibrado de marco de una variedad lisa . ${\displaystyle P}$

Definición formal

Una forma de conexión de fibrado principal puede considerarse como un operador de proyección sobre el fibrado tangente del fibrado principal . El núcleo de la forma de conexión está dado por los subespacios horizontales para la conexión de Ehresmann asociada . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle TP}$ ${\displaystyle P}$

Una conexión se especifica de manera equivalente mediante la elección de un subespacio horizontal para cada espacio tangente al fibrado principal . ${\displaystyle H_{p}\subset T_{p}P}$ ${\displaystyle P}$

Se requiere que una conexión de fibrado principal sea compatible con la acción de grupo correcta de en . Esto se puede visualizar como la multiplicación correcta que lleva los subespacios horizontales entre sí. Esta equivariancia de los subespacios horizontales interpretada en términos de la forma de conexión conduce a sus propiedades de equivariancia características. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R_{g}}$ ${\displaystyle H\subset TP}$ ${\displaystyle \omega }$

Sea un fibrado principal G suave sobre una variedad suave . Entonces, una conexión principal en es una 1-forma diferencial en con valores en el álgebra de Lie de la cual es -equivariante y reproduce los generadores del álgebra de Lie de los campos vectoriales fundamentales en . ${\displaystyle \pi :P\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$

En otras palabras, es un elemento ω de tal que ${\displaystyle \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})\cong C^{\infty }(P,T^{*}P\otimes {\mathfrak {g}})}$

1. ${\displaystyle {\hbox{Ad}}_{g}(R_{g}^{*}\omega )=\omega }$donde denota la multiplicación derecha por , y es la representación adjunta en (explícitamente, ); ${\displaystyle R_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}X={\frac {d}{dt}}g\exp(tX)g^{-1}{\bigl |}_{t=0}}$
2. si y es el campo vectorial en P asociado a ξ al diferenciar la acción de G en P , entonces (idénticamente en ). ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X_{\xi }}$ ${\displaystyle \omega (X_{\xi })=\xi }$ ${\displaystyle P}$

A veces, el término "conexión principal ${\displaystyle G}$ " se refiere al par y en sí mismo se denomina forma de conexión o forma de conexión 1 de la conexión principal. ${\displaystyle (P,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

Observaciones computacionales

La mayoría de los cálculos no triviales conocidos de conexiones principales se realizan con espacios homogéneos debido a la trivialidad del fibrado (co)tangente. (Por ejemplo, sea , un fibrado principal sobre ) Esto significa que las 1-formas en el espacio total son canónicamente isomorfas a , donde es el álgebra de Lie dual, por lo tanto, las conexiones están en biyección con . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\to H\to H/G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H/G}$ ${\displaystyle C^{\infty }(H,{\mathfrak {g}}^{*})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C^{\infty }(H,{\mathfrak {g}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}})^{G}}$

Relación con las conexiones de Ehresmann

Una conexión principal sobre determina una conexión de Ehresmann sobre de la siguiente manera. Primero note que los campos vectoriales fundamentales que generan la acción sobre proporcionan un isomorfismo de fibrado (que cubre la identidad de ) desde el fibrado hasta , donde es el núcleo de la aplicación tangente que se llama fibrado vertical de . De ello se deduce que determina de manera única una aplicación de fibrado que es la identidad en . Tal proyección está determinada de manera única por su núcleo, que es un subfibrado suave de (llamado fibrado horizontal ) tal que . Esta es una conexión de Ehresmann. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V=\ker(d\pi )}$ ${\displaystyle {\mathrm {d} }\pi \colon TP\to TM}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle v:TP\rightarrow V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle TP}$ ${\displaystyle TP=V\oplus H}$

Por el contrario, una conexión de Ehresmann (o ) en define una -conexión principal si y sólo si es -equivariante en el sentido de que . ${\displaystyle H\subset TP}$ ${\displaystyle v:TP\rightarrow V}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{pg}=\mathrm {d} (R_{g})_{p}(H_{p})}$

Retirarse mediante la trivialización de la sección

Una sección trivializadora de un fibrado principal está dada por una sección s de sobre un subconjunto abierto de . Entonces el pullback s ^* ω de una conexión principal es una 1-forma en con valores en . Si la sección s se reemplaza por una nueva sección sg , definida por ( sg )( x ) = s ( x ) g ( x ), donde g : M → G es una función suave, entonces . La conexión principal está determinada únicamente por esta familia de 1-formas con valores , y estas 1-formas también se denominan formas de conexión o 1-formas de conexión , particularmente en la literatura más antigua o más orientada a la física. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (sg)^{*}\omega =\operatorname {Ad} (g)^{-1}s^{*}\omega +g^{-1}dg}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Conjunto de conexiones principales

El grupo actúa sobre el fibrado tangente por traslación derecha. El espacio cociente TP / G es también una variedad, y hereda la estructura de un fibrado sobre TM que se denotará dπ : TP / G → TM . Sea ρ: TP / G → M la proyección sobre M . Las fibras del fibrado TP / G bajo la proyección ρ tienen una estructura aditiva. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle TP}$

El fibrado TP / G se denomina fibrado de conexiones principales (Kobayashi 1957). Una sección Γ de dπ: TP / G → TM tal que Γ : TM → TP / G es un morfismo lineal de fibrados vectoriales sobre M , puede identificarse con una conexión principal en P . Por el contrario, una conexión principal como la definida anteriormente da lugar a una sección Γ de TP / G .

Finalmente, sea Γ una conexión principal en este sentido. Sea q : TP → TP / G la función cociente. La distribución horizontal de la conexión es el fibrado

${\displaystyle H=q^{-1}\Gamma (TM)\subset TP.}$Vemos nuevamente la conexión con el haz horizontal y por tanto la conexión de Ehresmann.

Propiedad afín

Si ω y ω ′ son conexiones principales en un fibrado principal P , entonces la diferencia ω ′ − ω es una 1-forma con valores en P que no solo es G -equivariante, sino horizontal en el sentido de que se anula en cualquier sección del fibrado vertical V de P . Por lo tanto, es básica y, por lo tanto, está determinada por una 1-forma en M con valores en el fibrado adjunto ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}:=P\times ^{G}{\mathfrak {g}}.}$

Por el contrario, cualquier forma de este tipo define (a través de retroceso) una 1-forma horizontal G -equivariante en P , y el espacio de G -conexiones principales es un espacio afín para este espacio de 1-formas.

Ejemplos

Conexión Maurer-Cartan

Para el fibrado principal trivial donde , existe una conexión canónica ^{[1] pág. 49} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle E=G\times X}$

${\displaystyle \omega _{MC}\in \Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})}$

llamada conexión Maurer-Cartan. Se define de la siguiente manera: para un punto se define ${\displaystyle (g,x)\in G\times X}$

${\displaystyle (\omega _{MC})_{(g,x)}=(L_{g^{-1}}\circ \pi _{1})_{*}}$para ${\displaystyle x\in X,g\in G}$

que es una composición

${\displaystyle T_{(g,x)}E\xrightarrow {\pi _{1*}} T_{g}G\xrightarrow {(L_{g^{-1}})_{*}} T_{e}G={\mathfrak {g}}}$

definiendo la forma 1. Nótese que

${\displaystyle \omega _{0}=(L_{g^{-1}})_{*}:T_{g}G\to T_{e}G={\mathfrak {g}}}$

es la forma de Maurer-Cartan en el grupo de Lie y . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega _{MC}=\pi _{1}^{*}\omega _{0}}$

Paquete trivial

Para un fibrado principal trivial , la sección identidad dada por define una correspondencia 1-1 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle i:X\to G\times X}$ ${\displaystyle i(x)=i(e,x)}$

${\displaystyle i^{*}:\Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})\to \Omega ^{1}(X,{\mathfrak {g}})}$

entre conexiones en y 1-formas con valor en ^{[1] pág. 53.} Para una 1-forma con valor en , existe una 1-forma única en tal que ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ ${\displaystyle E}$

1. ${\displaystyle {\tilde {A}}(X)=0}$para un vector vertical ${\displaystyle X\in T_{x}E}$
2. ${\displaystyle R_{g}^{*}{\tilde {A}}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ {\tilde {A}}}$Para cualquiera ${\displaystyle g\in G}$

Entonces, dada esta 1-forma, se puede construir una conexión en tomando la suma ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \omega _{MC}+{\tilde {A}}}$

dando una conexión real en . Esta 1-forma única se puede construir si primero la observamos restringida a para . Luego, se determina por porque y podemos obtenerla tomando ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (e,x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{(e,x)}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T_{(x,e)}E=ker(\pi _{*})\oplus i_{*}T_{x}X}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{(g,x)}}$

${\displaystyle {\tilde {A}}_{(g,x)}=R_{g}^{*}{\tilde {A}}_{(e,x)}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ {\tilde {A}}_{(e,x)}}$

De manera similar, la forma

${\displaystyle {\tilde {A}}_{(x,g)}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ A_{x}\circ \pi _{*}:T_{(x,g)}E\to {\mathfrak {g}}}$

define una forma 1 que proporciona las propiedades 1 y 2 enumeradas anteriormente.

Extendiendo esto a paquetes no triviales

Esta afirmación se puede refinar ^{[1] pág. 55} aún más para fibrados no triviales considerando una cobertura abierta de con trivializaciones y funciones de transición . Entonces, hay una correspondencia 1-1 entre conexiones en y colecciones de 1-formas ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{a}\}_{a\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\phi _{a}\}_{a\in I}}$ ${\displaystyle \{g_{ab}\}_{a,b\in I}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \{A_{a}\in \Omega _{1}(U_{a},{\mathfrak {g}})\}_{a\in I}}$

que satisfacen

${\displaystyle A_{b}=Ad(g_{ab}^{-1})\circ A_{a}+g_{ab}^{*}\omega _{0}}$

sobre las intersecciones de la forma Maurer-Cartan en , en forma matricial. ${\displaystyle U_{ab}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega _{0}=g^{-1}dg}$

Reformulación global del espacio de conexiones

Para un fibrado principal , el conjunto de conexiones en es un espacio afín ^{[1] pág. 57} para el espacio vectorial donde es el fibrado vectorial adjunto asociado. Esto implica que para dos conexiones cualesquiera existe una forma tal que ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(M,E_{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle E_{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \omega _{0},\omega _{1}}$ ${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(M,E_{\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle \omega _{0}=\omega _{1}+A}$

Denotamos el conjunto de conexiones como , o simplemente si el contexto es claro. ${\displaystyle {\mathcal {A}}(E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Conexión en el haz de Hopf complejo

Podemos ^{[1] pg 94} construir como un fibrado principal donde y es el mapa de proyección ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \gamma :H_{\mathbb {C} }\to \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma (z_{0},\ldots ,z_{n})=[z_{0},\ldots ,z_{n}]}$

Nótese que el álgebra de Lie es solo el plano complejo. La forma 1 se define como ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=GL(1,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(H_{\mathbb {C} },\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega &={\frac {{\overline {z}}^{t}dz}{|z|^{2}}}\\&=\sum _{i=0}^{n}{\frac {{\overline {z}}_{i}}{|z|^{2}}}dz_{i}\end{aligned}}}$

forma una conexión, que se puede comprobar verificando la definición. Para cualquier fijo tenemos ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ^{*}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\lambda }^{*}\omega &={\frac {{\overline {(z\lambda )}}^{t}d(z\lambda )}{|z\lambda |^{2}}}\\&={\frac {{\overline {\lambda }}\lambda {\overline {z}}^{t}dz}{|\lambda |^{2}\cdot |z|^{2}}}\end{aligned}}}$

y como , tenemos -invariancia. Esto se debe a que la acción adjunta es trivial ya que el álgebra de Lie es abeliana. Para construir la división, tenga en cuenta que para cualquier tenemos una secuencia exacta corta ${\displaystyle |\lambda |^{2}={\overline {\lambda }}{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle z\in H_{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} \xrightarrow {v_{z}} T_{z}H_{\mathbb {Z} }\xrightarrow {\gamma _{*}} T_{[z]}\mathbb {CP} ^{n}\to 0}$

donde se define como ${\displaystyle v_{z}}$

${\displaystyle v_{z}(\lambda )=z\cdot \lambda }$

por lo que actúa como escalador en la fibra (que se restringe a la acción correspondiente). Tomando obtenemos ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \omega _{z}\circ v_{z}(\lambda )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{z}\circ v_{z}(\lambda )&={\frac {{\overline {z}}dz}{|z|^{2}}}(z\lambda )\\&={\frac {{\overline {z}}z\lambda }{|z|^{2}}}\\&=\lambda \end{aligned}}}$

donde la segunda igualdad se deduce porque estamos considerando un vector tangente vertical, y . La notación es algo confusa, pero si desarrollamos cada término ${\displaystyle z\lambda }$ ${\displaystyle dz(z\lambda )=z\lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}dz&=dz_{0}+\cdots +dz_{n}\\z&=a_{0}z_{0}+\cdots +a_{n}z_{n}\\dz(z)&=a_{0}+\cdots +a_{n}\\dz(\lambda z)&=\lambda \cdot (a_{0}+\cdots +a_{n})\\{\overline {z}}&={\overline {a_{0}}}+\cdots +{\overline {a_{n}}}\end{aligned}}}$

Se hace más claro (donde ). ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {C} }$

Covariante inducida y derivadas externas

Para cualquier representación lineal W de G hay un fibrado vectorial asociado sobre M , y una conexión principal induce una derivada covariante en cualquier fibrado vectorial de ese tipo. Esta derivada covariante se puede definir utilizando el hecho de que el espacio de secciones de sobre M es isomorfo al espacio de funciones G -equivariantes de valor W en P . De manera más general, el espacio de k -formas con valores en se identifica con el espacio de k -formas G -equivariantes y horizontales de valor W en P . Si α es una de esas k -formas, entonces su derivada exterior d α , aunque G -equivariante, ya no es horizontal. Sin embargo, la combinación d α + ω Λ α sí lo es. Esto define una derivada covariante exterior d ^ω de k -formas -valuadas en M a ( k +1)-formas -valuadas en M . En particular, cuando k =0, obtenemos una derivada covariante en . ${\displaystyle P\times ^{G}W}$ ${\displaystyle P\times ^{G}W}$ ${\displaystyle P\times ^{G}W}$ ${\displaystyle P\times ^{G}W}$ ${\displaystyle P\times ^{G}W}$ ${\displaystyle P\times ^{G}W}$

Forma de curvatura

La forma de curvatura de una conexión G principal ω es la forma 2-valorada Ω definida por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ].}$

Es G -equivariante y horizontal, por lo tanto corresponde a una 2-forma en M con valores en . La identificación de la curvatura con esta cantidad a veces se denomina segunda ecuación de estructura (de Cartan) . ^[2] Históricamente, el surgimiento de las ecuaciones de estructura se encuentra en el desarrollo de la conexión de Cartan . Cuando se transponen al contexto de los grupos de Lie , las ecuaciones de estructura se conocen como ecuaciones de Maurer-Cartan : son las mismas ecuaciones, pero en un entorno y una notación diferentes. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}}$

Conexiones planas y caracterización de haces con conexiones planas

Decimos que una conexión es plana si su forma de curvatura es . Existe una caracterización útil de los fibrados principales con conexiones planas; es decir, un fibrado principal tiene una conexión plana ^{[1] pág. 68} si y solo si existe una cobertura abierta con trivializaciones tales que todas las funciones de transición ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega =0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle \{U_{a}\}_{a\in I}}$ ${\displaystyle \left\{\phi _{a}\right\}_{a\in I}}$

${\displaystyle g_{ab}:U_{a}\cap U_{b}\to G}$

son constantes. Esto es útil porque proporciona una receta para construir fibrados principales planos sobre variedades suaves; es decir, tomar una cobertura abierta y definir trivializaciones con funciones de transición constantes. ${\displaystyle G}$

Conexiones en haces de bastidor y torsión

Si el fibrado principal P es el fibrado de marcos , o (de manera más general) si tiene una forma de soldadura , entonces la conexión es un ejemplo de una conexión afín , y la curvatura no es la única invariante, ya que se debe tener en cuenta la estructura adicional de la forma de soldadura θ , que es una forma 1 equivariante de valor R ⁿ en P . En particular, la forma de torsión en P , es una forma 2 de valor R ^{n Θ definida por}

${\displaystyle \Theta =\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta .}$

Θ es G -equivariante y horizontal, por lo que desciende a una forma 2 tangente en M , llamada torsión . Esta ecuación a veces se denomina primera ecuación de estructura (de Cartan) .

Definición en geometría algebraica

Si X es un esquema (o más generalmente, pila, pila derivada o incluso preapilado), podemos asociarle su denominada pila de Rham , denotada X _dR . Esta tiene la propiedad de que un fibrado principal G sobre X _dR es lo mismo que un fibrado G con conexión *plana* sobre X .

Referencias

1. Dupont, Johan (agosto de 2003). «Fibre Bundles and Chern-Weil Theory» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 31 de marzo de 2022.
2. Eguchi, Tohru; Gilkey, Peter B.; Hanson, Andrew J. (1980). "Gravitación, teorías de calibración y geometría diferencial". Physics Reports . 66 (6): 213–393. Bibcode :1980PhR....66..213E. doi :10.1016/0370-1573(80)90130-1.

• Kobayashi, Shoshichi (1957), "Teoría de las conexiones", Ann. Estera. Pura aplicación. , 43 : 119–194, doi : 10.1007/BF02411907 , S2CID  120972987
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de geometría diferencial , vol. 1 (nueva edición), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operaciones naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, archivado desde el original (PDF) el 2017-03-30 , consultado el 2008-03-25