Paquete asociado

En matemáticas , la teoría de haces de fibras con un grupo de estructura (un grupo topológico ) permite una operación de creación de un haz asociado , en el que la fibra típica de un haz cambia de a , que son ambos espacios topológicos con una acción de grupo de . Para un haz de fibras con un grupo de estructura , las funciones de transición de la fibra (es decir, el cociclo ) en una superposición de dos sistemas de coordenadas y se dan como una función de valor en . Entonces, se puede construir un haz de fibras como un nuevo haz de fibras que tenga las mismas funciones de transición, pero posiblemente una fibra diferente. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\beta }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle F'}$

Un ejemplo

Un caso sencillo viene con la banda de Möbius , para la cual es el grupo cíclico de orden 2, . Podemos tomar como cualquiera de: la línea de números reales , el intervalo , la línea de números reales menos el punto 0, o el conjunto de dos puntos . La acción de sobre estos (el elemento no identidad actuando como en cada caso) es comparable, en un sentido intuitivo. Podríamos decir que más formalmente en términos de pegar dos rectángulos y juntos: lo que realmente necesitamos es que los datos se identifiquen a sí mismos directamente en un extremo , y con el giro sobre en el otro extremo . Estos datos se pueden escribir como una función de parcheo, con valores en . La construcción del fibrado asociado es simplemente la observación de que estos datos funcionan tan bien para como para . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [-1,\ 1]}$ ${\displaystyle \{-1,\ 1\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\ \rightarrow \ -x}$ ${\displaystyle [-1,\ 1]\times I}$ ${\displaystyle [-1,\ 1]\times J}$ ${\displaystyle [-1,\ 1]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{-1,\ 1\}}$ ${\displaystyle [-1,\ 1]}$

Construcción

En general, basta con explicar la transición desde un fibrado con fibra , sobre la que actúa, hasta el fibrado principal asociado (es decir, el fibrado donde se considera que la fibra actúa por traslación sobre sí misma). Pues entonces podemos pasar de a , a través del fibrado principal. Los detalles en términos de datos para una envoltura abierta se dan como un caso de descenso . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

Esta sección está organizada de la siguiente manera. Primero presentamos el procedimiento general para producir un fibrado asociado, con una fibra específica, a partir de un fibrado dado. Luego, esto se especializa en el caso en que la fibra específica es un espacio homogéneo principal para la acción izquierda del grupo sobre sí mismo, lo que produce el fibrado principal asociado. Si, además, se da una acción derecha sobre la fibra del fibrado principal, describimos cómo construir cualquier fibrado asociado por medio de una construcción de producto de fibra . ^[1]

Paquetes asociados en general

Sea un fibrado sobre un espacio topológico con grupo de estructura y fibra típica . Por definición, hay una acción izquierda de (como un grupo de transformación ) sobre la fibra . Supóngase además que esta acción es efectiva . ^[2] Hay una trivialización local del fibrado que consiste en una cubierta abierta de , y una colección de mapas de fibra tales que los mapas de transición están dados por elementos de . Más precisamente, hay funciones continuas tales que ${\textstyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \varphi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times F}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to G}$ $${\displaystyle \psi _{ij}(u,f):=\varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{-1}(u,f)={\big (}u,g_{ij}(u)f{\big )},\quad {\text{for each }}(u,f)\in (U_{i}\cap U_{j})\times F\,.}$$

Sea ahora un espacio topológico especificado, equipado con una acción izquierda continua de . Entonces el fibrado asociado con con fibra es un fibrado con una trivialización local subordinada a la cubierta cuyas funciones de transición están dadas por donde las funciones -valuadas son las mismas que las obtenidas a partir de la trivialización local del fibrado original . Esta definición respeta claramente la condición de cociclo en las funciones de transición, ya que en cada caso están dadas por el mismo sistema de funciones -valuadas. (Usando otra trivialización local, y pasando a un refinamiento común si es necesario, la transformada a través del mismo colímite.) Por lo tanto, por el teorema de construcción de fibrados de fibras , esto produce un fibrado de fibras con fibra como se reivindica. ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle U_{i}}$ $${\displaystyle \psi '_{ij}(u,f')={\big (}u,g_{ij}(u)f'{\big )},\quad {\text{for each }}(u,f')\in (U_{i}\cap U_{j})\times F'\,,}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{ij}(u)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle F'}$

Haz principal asociado a un haz de fibras

Como antes, supongamos que es un fibrado con grupo de estructura . En el caso especial cuando tiene una acción izquierda libre y transitiva sobre , de modo que es un espacio homogéneo principal para la acción izquierda de sobre sí mismo, entonces el fibrado asociado se llama fibrado principal asociado con el fibrado . Si, además, la nueva fibra se identifica con (de modo que hereda una acción derecha de así como una acción izquierda), entonces la acción derecha de sobre induce una acción derecha de sobre . Con esta elección de identificación, se convierte en un fibrado principal en el sentido habitual. Nótese que, aunque no hay una forma canónica de especificar una acción derecha sobre un espacio homogéneo principal para , cualesquiera dos de tales acciones producirán fibrados principales que tienen el mismo fibrado subyacente con grupo de estructura (ya que esto proviene de la acción izquierda de ), e isomorfos como -espacios en el sentido de que hay un isomorfismo -equivariante de fibrados que relacionan los dos. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

De esta manera, un fibrado principal equipado con una acción derecha se considera a menudo como parte de los datos que especifican un fibrado de fibras con grupo de estructura , ya que para un fibrado de fibras se puede construir el fibrado principal a través de la construcción del fibrado asociado. Se puede entonces, como en la siguiente sección, hacer lo contrario y derivar cualquier fibrado utilizando un producto de fibras. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Haz de fibras asociado a un haz principal

Sea un fibrado principal G y sea una acción izquierda continua de sobre un espacio (en la categoría suave, deberíamos tener una acción suave sobre una variedad suave). Sin pérdida de generalidad, podemos considerar que esta acción es efectiva. ${\displaystyle \pi \colon P\to X}$ ${\displaystyle \rho \colon G\to {\text{Homeo}}(F)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

Definir una acción correcta de on vía ^{[3] [4]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\times F}$

${\displaystyle (p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho (g^{-1})f)\,.}$

Luego identificamos mediante esta acción para obtener el espacio . Denotamos la clase de equivalencia de por . Nótese que ${\displaystyle E=P\times _{\rho }F=(P\times F)/G}$ ${\displaystyle (p,f)}$ ${\displaystyle [p,f]}$

${\displaystyle [p\cdot g,f]=[p,\rho (g)f]{\mbox{ for all }}g\in G.}$

Defina un mapa de proyección mediante . Tenga en cuenta que esto está bien definido . ${\displaystyle \pi _{\rho }\colon E\to X}$ ${\displaystyle \pi _{\rho }([p,f])=\pi (p)}$

Entonces es un haz de fibras con grupo de fibras y estructura . Las funciones de transición están dadas por donde son las funciones de transición del haz principal . ${\displaystyle \pi _{\rho }\colon E\to X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (t_{ij})}$ ${\displaystyle t_{ij}}$ ${\displaystyle P}$

Esta construcción también se puede ver categóricamente . Más precisamente, hay dos aplicaciones continuas , dadas por actuar con a la derecha en y a la izquierda en . El fibrado vectorial asociado es entonces el coecualizador de estas aplicaciones. ${\displaystyle P\times G\times F\to P\times F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P\times _{\rho }F}$

Reducción del grupo de estructura

El concepto complementario de los fibrados asociados es la reducción del grupo de estructura de un -fibrado . Nos preguntamos si existe un -fibrado , tal que el -fibrado asociado sea , hasta el isomorfismo . Más concretamente, esto nos pregunta si los datos de transición para pueden escribirse consistentemente con valores en . En otras palabras, pedimos identificar la imagen de la aplicación del fibrado asociado (que en realidad es un funtor ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H}$

Ejemplos de reducción

Algunos ejemplos de fibrados vectoriales incluyen: la introducción de una métrica que resulta en la reducción del grupo de estructura de un grupo lineal general a un grupo ortogonal ; y la existencia de una estructura compleja en un fibrado real que resulta en la reducción del grupo de estructura de un grupo lineal general real a un grupo lineal general complejo . ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$

Otro caso importante es encontrar una descomposición de un fibrado vectorial de rango como una suma de Whitney (suma directa) de subfibrados de rango y , lo que da como resultado una reducción del grupo de estructura de a . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n-k}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\times \mathrm {GL} (n-k,\mathbb {R} )}$

También se puede expresar la condición para que una foliación se defina como una reducción del fibrado tangente a un subgrupo de matrices de bloques, pero aquí la reducción es solo una condición necesaria, ya que existe una condición de integrabilidad para que se aplique el teorema de Frobenius .

Véase también

• Haz espinorial

Referencias

1. Todas estas construcciones se deben a Ehresmann (1941-3). Atribuido por Steenrod (1951) página 36
2. La eficacia es un requisito común para los haces de fibras; véase Steenrod (1951). En particular, esta condición es necesaria para asegurar la existencia y unicidad del haz principal asociado con . ${\displaystyle E}$
3. Husemoller, Dale (1994), pág. 45.
4. Sharpe, RW (1997), pág. 37.

Libros

• Steenrod, Norman (1951). Topología de los haces de fibras . Princeton: Princeton University Press . ISBN 0-691-00548-6.
• Husemoller, Dale (1994). Fibre Bundles (Tercera edición). Nueva York: Springer . ISBN 978-0-387-94087-8.
• Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: la generalización de Cartan del programa de Erlangen de Klein . Nueva York: Springer . ISBN. 0-387-94732-9.