función holomorfa

En matemáticas , una función holomorfa es una función de valores complejos de una o más variables complejas que es diferenciable de forma compleja en una vecindad de cada punto en un dominio en el espacio de coordenadas complejo $C n$ . La existencia de una derivada compleja en una vecindad es una condición muy fuerte: implica que una función holomorfa es infinitamente diferenciable y localmente igual a su propia serie de Taylor (es analítica ). Las funciones holomorfas son los objetos centrales de estudio en el análisis complejo .

Aunque el término función analítica se usa a menudo indistintamente con "función holomorfa", la palabra "analítica" se define en un sentido más amplio para denotar cualquier función (real, compleja o de tipo más general) que pueda escribirse como una serie de potencias convergentes. en una vecindad de cada punto de su dominio . Que todas las funciones holomorfas son funciones analíticas complejas, y viceversa, es un teorema importante en el análisis complejo . ^[1]

Las funciones holomorfas también se denominan a veces funciones regulares . ^[2] Una función holomorfa cuyo dominio es todo el plano complejo se llama función entera . La frase "holomórfico en un punto $z 0$ " significa no sólo diferenciable en $z 0$ , sino diferenciable en todas partes dentro de alguna vecindad de $z 0$ en el plano complejo.

Definición

$Dada una función f$ de valor complejo de una sola variable compleja, la derivada de $f$ en un punto $z 0$ en su dominio se define como el límite ^[3]

f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.

Esta es la misma definición que para la derivada de una función real , excepto que todas las cantidades son complejas. En particular, el límite se toma cuando el número complejo $z$ tiende a $z 0$ , y esto significa que se obtiene el mismo valor para cualquier secuencia de valores complejos de $z$ que tiende a $z 0$ . Si el límite existe, se dice que $f es$ diferenciable compleja en $z 0$ . Este concepto de diferenciabilidad compleja comparte varias propiedades con la diferenciabilidad real : es lineal y obedece a la regla del producto , la regla del cociente y la regla de la cadena . ^[4]

Una función es holomorfa en un conjunto abierto $U$ si es diferenciable compleja en cada punto de $U.$ Una función $f$ es holomorfa en un punto $z 0$ si es holomorfa en alguna vecindad de $z 0$ . ^[5] Una función es holomorfa en algún conjunto no abierto $A$ si es holomorfa en cada punto de $A.$

Una función puede ser compleja diferenciable en un punto pero no holomorfa en ese punto. Por ejemplo, la función es diferenciable compleja en $0$ , pero no diferenciable compleja en otros lugares (consulte las ecuaciones de Cauchy-Riemann, a continuación). Entonces, no es holomorfo en $0$ . $f(z)=|z|^{2}=z{\overline {z}}$

La relación entre diferenciabilidad real y diferenciabilidad compleja es la siguiente: Si una función compleja $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ es holomorfa, entonces $u$ y $v$ tienen primeras derivadas parciales con respecto a $x$ e $y$ , y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann : ^[6]

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,

o, de manera equivalente, la derivada de Wirtinger de $f$ con respecto al conjugado complejo de es cero: ^[7] ${\bar {z}},$ $z,$

{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,

es decir, que, aproximadamente, $f$ es funcionalmente independiente del conjugado complejo de $z$ . ${\bar {z}},$

Si no se da continuidad, lo contrario no es necesariamente cierto. Una simple inversa es que si $u$ y $v$ tienen primeras derivadas parciales continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces $f$ es holomorfa. Un recíproco más satisfactorio, que es mucho más difícil de demostrar, es el teorema de Looman-Menchoff : si $f$ es continua, $u$ y $v$ tienen primeras derivadas parciales (pero no necesariamente continuas) y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces $f$ es holomorfo. ^[8]

Terminología

El término holomórfico fue introducido en 1875 por Charles Briot y Jean-Claude Bouquet , dos de los estudiantes de Augustin-Louis Cauchy , y deriva del griego ὅλος ( hólos ), que significa "todo", y μορφή ( morphḗ ), que significa "forma" o "apariencia" o "tipo", en contraste con el término meromórfico derivado de μέρος ( méros ) que significa "parte". Una función holomorfa se asemeja a una función completa ("todo") en un dominio del plano complejo, mientras que una función meromorfa (definida como holomorfa excepto en ciertos polos aislados ), se asemeja a una fracción racional ("parte") de funciones completas en un dominio. del plano complejo. ^[9] Cauchy había utilizado en cambio el término sinéctico . ^[10]

Hoy en día, a veces se prefiere el término "función holomorfa" a "función analítica". Un resultado importante en el análisis complejo es que toda función holomorfa es analítica compleja, un hecho que no se desprende obviamente de las definiciones. Sin embargo, el término "analítico" también se utiliza ampliamente.

Propiedades

Debido a que la diferenciación compleja es lineal y obedece a las reglas del producto, cociente y cadena, las sumas, productos y composiciones de funciones holomorfas son holomorfas, y el cociente de dos funciones holomorfas es holomorfa siempre que el denominador no sea cero. ^[11] Es decir, si las funciones $f$ y $g$ son holomorfas en un dominio $U$ , entonces también lo son $f + g$ , $f - g$ , $f g$ y $f \circ g$ . Además, $f / g$ es holomorfa si $g$ no tiene ceros en $U$ , o es meromorfa en caso contrario.

Si se identifica $C$ con el plano real $R 2$ , entonces las funciones holomorfas coinciden con aquellas funciones de dos variables reales con primeras derivadas continuas que resuelven las ecuaciones de Cauchy-Riemann , un conjunto de dos ecuaciones diferenciales parciales . ^[6]

Cada función holomorfa se puede separar en sus partes real e imaginaria $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ , y cada una de ellas es una función armónica en $R 2$ (cada una satisface la ecuación de Laplace). ecuación $\nabla 2 u = \nabla 2 v = 0$ ), siendo $v$ el conjugado armónico de $u$ . ^[12] Por el contrario, cada función armónica $u (x, y)$ en un dominio simplemente conexo $Ω \subset R 2$ es la parte real de una función holomorfa: Si $v$ es el conjugado armónico de $u$ , único hasta una constante, entonces $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ es holomórfico.

El teorema integral de Cauchy implica que la integral de contorno de cada función holomorfa a lo largo de un bucle desaparece: ^[13]

\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.

Aquí $γ$ es un camino rectificable en un dominio complejo simplemente conectado $U \subset C$ cuyo punto inicial es igual a su punto final, y $f : U \to C$ es una función holomorfa.

La fórmula integral de Cauchy establece que cada función holomorfa dentro de un disco está completamente determinada por sus valores en el límite del disco. ^[13] Además: supongamos que $U \subset C$ es un dominio complejo, $f : U \to C$ es una función holomorfa y el disco cerrado $D = {z : | z - z 0 | \leq r}$ está completamente contenido en $U$ . Sea $γ$ el círculo que forma el límite de $D.$ Entonces para cada $a$ en el interior de $D$ :

f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz

donde la integral de contorno se toma en sentido antihorario .

La derivada $f' (a)$ se puede escribir como una integral de contorno ^[13] usando la fórmula de diferenciación de Cauchy :

f'(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{2}}\,dz,

para cualquier bucle simple que se enrolle positivamente una vez alrededor de $a$ , y

f'(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,d{\bar {z}},

para bucles positivos infinitesimales $γ$ alrededor de $a$ .

En regiones donde la primera derivada no es cero, las funciones holomorfas son conformes : conservan los ángulos y la forma (pero no el tamaño) de figuras pequeñas. ^[14]

Toda función holomorfa es analítica . Es decir, una función holomorfa $f$ tiene derivadas de todo orden en cada punto $a$ de su dominio y coincide con su propia serie de Taylor en $a$ en una vecindad de $a$ . De hecho, $f$ coincide con su serie de Taylor en $a$ en cualquier disco centrado en ese punto y que se encuentre dentro del dominio de la función.

Desde un punto de vista algebraico, el conjunto de funciones holomorfas en un conjunto abierto es un anillo conmutativo y un espacio vectorial complejo . Además, el conjunto de funciones holomorfas en un conjunto abierto $U$ es un dominio integral si y sólo si el conjunto abierto $U$ es conexo. ^[7] De hecho, es un espacio vectorial topológico localmente convexo , siendo las seminormas las supremas en los subconjuntos compactos .

Desde una perspectiva geométrica, una función $f$ es holomorfa en $z 0$ si y sólo si su derivada exterior $df$ en una vecindad $U$ de $z 0$ es igual a $f' (z) dz$ para alguna función continua $f'$ . Se sigue de

\textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=df^{\prime }\wedge dz

que $df'$ también es proporcional a $dz$ , lo que implica que la derivada $f'$ es en sí misma holomorfa y, por tanto, que $f$ es infinitamente diferenciable. De manera similar , $d (f dz) = f' dz \land dz = 0$ implica que cualquier función $f$ que sea holomorfa en la región simplemente conexa $U$ también es integrable en $U.$

(Para un camino $γ$ de $z 0$ a $z$ que se encuentra enteramente en $U$ , definido a la luz del teorema de la curva de Jordan y el teorema de Stokes generalizado , $F$ $γ$ $($ $z$ $)$ es independiente de la elección particular del camino $γ$ , y por lo tanto $F$ $($ $z$ $)$ es una función bien definida en $U$ que tiene $F$ $($ $z$ $0$ $) =$ $F$ $0$ y $dF$ $=$ $f dz$ .) ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$

Ejemplos

Todas las funciones polinómicas en $z$ con coeficientes complejos son funciones enteras (holomorfas en todo el plano complejo $C$ ), al igual que la función exponencial $exp z$ y las funciones trigonométricas y (cf. fórmula de Euler ). La rama principal de la función logarítmica compleja $log$ $z$ es holomorfa en el dominio $C$ $∖$ ${$ $z$ $\in$ $R$ $:$ $z$ $\leq 0}$ . La función de raíz cuadrada se puede definir como y, por lo tanto, es holomorfa dondequiera que esté el logaritmo $log$ $z$ . La función recíproca $1/$ $z$ es holomorfa en $C$ $∖ {0}$ . (La función recíproca, y cualquier otra función racional , es meromórfica en $C$ ). ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$

Como consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann , cualquier función holomorfa de valor real debe ser constante . Por tanto, el valor absoluto $| z |$ , el argumento $arg (z)$ , la parte real $Re (z)$ y la parte imaginaria $Im (z)$ no son holomorfas. Otro ejemplo típico de una función continua que no es holomorfa es el conjugado complejo (el conjugado complejo es antiholomórfico ). ${\bar {z}}.$

Varias variables

La definición de función holomorfa se generaliza a varias variables complejas de forma sencilla. Una función en $n$ variables complejas es analítica en un punto $p$ si existe una vecindad de $p$ en la que $f$ es igual a una serie de potencias convergentes en $n$ variables complejas; ^[15] la función $f$ es holomorfa en un subconjunto abierto $U$ de $C$ $n$ si es analítica en cada punto de $U.$ El lema de Osgood muestra (usando la fórmula integral multivariada de Cauchy) que, para una función continua $f$ , esto equivale a que $f$ sea holomorfa en cada variable por separado (lo que significa que si alguna $n$ $- 1$ coordenadas son fijas, entonces la restricción de $f$ es holomorfa función de la coordenada restante). El teorema de Hartogs, mucho más profundo, demuestra que el supuesto de continuidad es innecesario: $f$ es holomorfa si y sólo si es holomorfa en cada variable por separado. $f:(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})$

De manera más general, una función de varias variables complejas que es integrable al cuadrado en cada subconjunto compacto de su dominio es analítica si y sólo si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el sentido de distribuciones.

Las funciones de varias variables complejas son, en algunos aspectos básicos, más complicadas que las funciones de una sola variable compleja. Por ejemplo, la región de convergencia de una serie de potencias no es necesariamente una bola abierta; estas regiones son dominios de Reinhardt logarítmicamente convexos , cuyo ejemplo más simple es un polidisco . Sin embargo, también vienen con algunas restricciones fundamentales. A diferencia de las funciones de una única variable compleja, los posibles dominios en los que existen funciones holomorfas que no pueden extenderse a dominios más grandes son muy limitados. Tal conjunto se llama dominio de holomorfia .

Una forma diferencial compleja $(p, 0)$ $α$ es holomorfa si y solo si su derivada antiholomórfica de Dolbeault es cero: $\partial α = 0$ .

Ampliación al análisis funcional.

El concepto de función holomorfa se puede extender a los espacios de dimensión infinita del análisis funcional . Por ejemplo, la derivada de Fréchet o Gateaux se puede utilizar para definir una noción de función holomorfa en un espacio de Banach sobre el campo de números complejos.

Ver también

Referencias

^ Funciones analíticas de una variable compleja , Enciclopedia de Matemáticas. (Sociedad Matemática Europea con Springer, 2015)
^ "Función analítica", Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994] , consultado el 26 de febrero de 2021
^ Ahlfors, L. , Análisis complejo, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).
^ Henrici, P. , Análisis complejo computacional y aplicado (Wiley). [Tres volúmenes: 1974, 1977, 1986.]
^ Peter Ebenfelt, Norbert Hungerbühler, Joseph J. Kohn, Ngaiming Mok, Emil J. Straube (2011) Análisis complejo Springer Science & Business Media
^ ab Markushevich, AI, Teoría de funciones de una variable compleja (Prentice-Hall, 1965). [Tres volúmenes.]
^ ab Gunning, Robert C .; Rossi, Hugo (1965). Funciones analíticas de varias variables complejas. Serie de Prentice-Hall en Análisis moderno. Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall . págs. xiv+317. ISBN 9780821869536. Señor 0180696. Zbl 0141.08601.
^ Gris, JD; Morris, SA (1978), "¿Cuándo es analítica una función que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann?", The American Mathematical Monthly , 85 (4) (publicado en abril de 1978): 246–256, doi :10.2307/2321164, JSTOR 2321164.
^ Los términos franceses originales eran holomorphe y méromorphe . Briot, Carlos Augusto ; Ramo, Jean-Claude (1875). "§15 funciones holomorfas". Théorie des fonctions elliptiques (2ª ed.). Gauthier-Villars. págs. 14-15. Cuando una función es continua, monotrópica y una derivada, cuando la variable se mezcla en una cierta parte del plan, nous dirons qu'elle est holomorphe dans esta parte del plan. Nous indiquons par esta denominación qu'elle est semblable aux fonctions entières qui jouissent de ces propriétés dans toute l'étendue du plan. [...] ¶ Une fraction rationnelle admet comme pôles les racines du dénominateur; Es una función holomorfa en toda parte del plan que no contiene ninguno de sus polos. ¶ Cuando una función es holomorfa en una parte del plan, excepto en ciertos polos, nous dirons qu'elle est méromorphe dans esta parte del plan, c'est-à-dire semblable aux fracciones racionales. [Cuando una función es continua, monotrópica y tiene derivada, cuando la variable se mueve en una determinada parte del plano, decimos que es holomorfa en esa parte del plano. Con este nombre queremos decir que se asemeja a funciones completas que disfrutan de estas propiedades en toda la extensión del plano. [...] ¶ Una fracción racional admite como polos las raíces del denominador; es una función holomorfa en toda aquella parte del plano que no contiene polos. ¶ Cuando una función es holomorfa en parte del plano, excepto en ciertos polos, decimos que es meromorfa en esa parte del plano, es decir se asemeja a fracciones racionales.]
Harkness, James ; Morley, Frank (1893). "5. Integración". Tratado sobre teoría de funciones . Macmillan. pag. 161.
↑ Briot & Bouquet también había adoptado previamente el término sinéctico ( synectique en francés) de Cauchy , en la primera edición de 1859 de su libro. Briot, Carlos Augusto ; Ramo, Jean-Claude (1859). "§10". Teoría de las funciones periódicas de duplicación . Mallet-Bachelier. pag. 11.
^ Henrici, Peter (1993) [1986], Análisis complejo computacional y aplicado Volumen 3, Wiley Classics Library (Reimpresión ed.), Nueva York - Chichester - Brisbane - Toronto - Singapur: John Wiley & Sons , págs. X+637, ISBN 0-471-58986-1, SEÑOR 0822470, Zbl 1107.30300.
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^ abc Lang, Serge (2003), Análisis complejo , Springer Verlag GTM, Springer Verlag
^ Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, señor 0924157
^ Gunning y Rossi, Funciones analíticas de varias variables complejas , p. 2.

Otras lecturas

Blakey, José (1958). Matemáticas Universitarias (2ª ed.). Londres: Blackie and Sons. OCLC 2370110.

enlaces externos

"Función analítica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]