En física y matemáticas , un pseudovector (o vector axial ) [2] es una cantidad que se comporta como un vector en muchas situaciones, pero su dirección no se conforma cuando el objeto se transforma rígidamente por rotación , traslación , reflexión , etc. También sucede cuando se cambia la orientación del espacio . Por ejemplo, el momento angular es un pseudovector porque a menudo se describe como un vector, pero con solo cambiar la posición de referencia (y cambiar el vector de posición ), el momento angular puede invertir la dirección, lo que no se supone que suceda con los vectores verdaderos ( también conocidos como vectores polares ). [3]
Un ejemplo de pseudovector es la normal a un plano orientado . Un plano orientado puede definirse mediante dos vectores no paralelos, a y b , [4] que abarcan el plano. El vector a × b es normal al plano (hay dos normales, una a cada lado; la regla de la mano derecha determinará cuál) y es un pseudovector. Esto tiene consecuencias en los gráficos por computadora, donde debe tenerse en cuenta al transformar las normales de superficie . En tres dimensiones, la curvatura de un campo vectorial polar en un punto y el producto vectorial de dos vectores polares son pseudovectores. [5]
Varias cantidades en física se comportan como pseudovectores en lugar de vectores polares, incluidos el campo magnético y la velocidad angular . En matemáticas, en tres dimensiones, los pseudovectores equivalen a los bivectores , de los cuales se pueden derivar las reglas de transformación de los pseudovectores. De manera más general, en álgebra geométrica de n dimensiones , los pseudovectores son los elementos del álgebra con dimensión n − 1 , escritos ⋀ n −1 R n . La etiqueta "pseudo-" se puede generalizar aún más a pseudoescalares y pseudotensores , los cuales obtienen un cambio de signo adicional bajo rotaciones inadecuadas en comparación con un escalar o tensor verdadero .
Los ejemplos físicos de pseudovectores incluyen par , [4] velocidad angular , momento angular , [4] campo magnético , [4] vorticidad y momento dipolar magnético .
Considere el momento angular pseudovector L = Σ ( r × p ) . Conduciendo en un automóvil y mirando hacia adelante, cada una de las ruedas tiene un vector de momento angular que apunta hacia la izquierda. Si el mundo se refleja en un espejo que cambia los lados izquierdo y derecho del automóvil, el "reflejo" de este "vector" de momento angular (visto como un vector ordinario) apunta hacia la derecha, pero el vector de momento angular real del La rueda (que todavía gira hacia adelante en el reflejo) todavía apunta hacia la izquierda, correspondiente al signo adicional de giro en el reflejo de un pseudovector.
La distinción entre vectores polares y pseudovectores se vuelve importante para comprender el efecto de la simetría en la solución de sistemas físicos . Considere un bucle de corriente eléctrica en el plano z = 0 que dentro del bucle genera un campo magnético orientado en la dirección z . Este sistema es simétrico (invariante) bajo reflexiones especulares a través de este plano, y el campo magnético no cambia por la reflexión. Pero se esperaría que reflejar el campo magnético como un vector a través de ese plano lo revirtiera; esta expectativa se corrige al darse cuenta de que el campo magnético es un pseudovector, y el cambio de signo adicional lo deja sin cambios.
En física, los pseudovectores son generalmente el resultado de tomar el producto cruzado de dos vectores polares o la curvatura de un campo de vector polar. El producto cruzado y el rizo se definen, por convención, según la regla de la mano derecha, pero podrían haberse definido con la misma facilidad en términos de la regla de la mano izquierda. Todo el cuerpo de física que trata con pseudovectores (diestros) y la regla de la mano derecha podría reemplazarse mediante el uso de pseudovectores (zurdos) y la regla de la mano izquierda sin problemas. Los pseudovectores (izquierdos) así definidos tendrían dirección opuesta a los definidos por la regla de la mano derecha.
Si bien las relaciones vectoriales en física se pueden expresar sin coordenadas, se requiere un sistema de coordenadas para expresar vectores y pseudovectores como cantidades numéricas. Los vectores se representan como tripletes ordenados de números: por ejemplo , y los pseudovectores también se representan de esta forma. Al transformar entre sistemas de coordenadas de mano izquierda y derecha, las representaciones de pseudovectores no se transforman como vectores, y tratarlas como representaciones vectoriales provocará un cambio de signo incorrecto, por lo que se debe tener cuidado de realizar un seguimiento de qué tripletes ordenados representan vectores, y que representan pseudovectores. Este problema no existe si el producto cruzado de dos vectores se reemplaza por el producto exterior de los dos vectores, lo que produce un bivector que es un tensor de segundo rango y está representado por una matriz de 3×3. Esta representación del tensor 2 se transforma correctamente entre dos sistemas de coordenadas cualesquiera, independientemente de su lateralidad.
La definición de "vector" en física (incluidos tanto los vectores polares como los pseudovectores) es más específica que la definición matemática de "vector" (es decir, cualquier elemento de un espacio vectorial abstracto ). Según la definición física, se requiere que un "vector" tenga componentes que se "transformen" de cierta manera bajo una rotación adecuada : en particular, si todo en el universo girara, el vector rotaría exactamente de la misma manera. (El sistema de coordenadas es fijo en esta discusión; en otras palabras, esta es la perspectiva de las transformaciones activas ). Matemáticamente, si todo en el universo sufre una rotación descrita por una matriz de rotación R , de modo que un vector de desplazamiento x se transforma en x ′ = R x , entonces cualquier "vector" v debe transformarse de manera similar a v ′ = R v . Este importante requisito es lo que distingue a un vector (que podría estar compuesto, por ejemplo, por las componentes x , y y z de la velocidad ) de cualquier otro triplete de cantidades físicas (por ejemplo, el largo, el ancho y el alto). de una caja rectangular no pueden considerarse los tres componentes de un vector, ya que al rotar la caja no se transforman adecuadamente estos tres componentes.)
(En el lenguaje de la geometría diferencial , este requisito equivale a definir un vector como un tensor de rango contravariante uno. En este marco más general, los tensores de rango superior también pueden tener arbitrariamente muchos rangos covariantes y contravariantes mixtos al mismo tiempo, denotado por índices elevados y reducidos dentro de la convención de suma de Einstein ).
Un ejemplo básico y bastante concreto es el de los vectores fila y columna bajo el operador habitual de multiplicación de matrices: en un orden producen el producto escalar, que es simplemente un escalar y como tal un tensor de rango cero, mientras que en el otro orden producen el diádico product , que es una matriz que representa un tensor mixto de rango dos, con un índice contravariante y otro covariante. Como tal, la no conmutatividad del álgebra matricial estándar se puede utilizar para realizar un seguimiento de la distinción entre vectores covariantes y contravariantes. De hecho, así es como se llevaba la contabilidad antes de que surgiera la notación tensorial más formal y generalizada. Todavía se manifiesta en cómo los vectores base de los espacios tensoriales generales se exhiben para manipulación práctica.
La discusión hasta ahora sólo se refiere a rotaciones propias, es decir, rotaciones alrededor de un eje. Sin embargo, también se pueden considerar rotaciones incorrectas , es decir, un reflejo especular seguido posiblemente de una rotación correcta. (Un ejemplo de rotación impropia es la inversión a través de un punto en el espacio tridimensional). Supongamos que todo en el universo sufre una rotación impropia descrita por la matriz de rotación impropia R , de modo que un vector de posición x se transforma en x ′ = R x . Si el vector v es un vector polar, se transformará en v ′ = R v . Si es un pseudovector, se transformará en v ′ = − R v .
Las reglas de transformación para vectores polares y pseudovectores se pueden expresar de forma compacta como
donde los símbolos son los descritos anteriormente y la matriz de rotación R puede ser propia o impropia. El símbolo det denota determinante ; esta fórmula funciona porque el determinante de las matrices de rotación propia e impropia es +1 y −1, respectivamente.
Supongamos que v 1 y v 2 son pseudovectores conocidos, y v 3 se define como su suma, v 3 = v 1 + v 2 . Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación R , entonces v 3 se transforma en
Entonces v 3 también es un pseudovector. De manera similar, se puede demostrar que la diferencia entre dos pseudovectores es un pseudovector, que la suma o diferencia de dos vectores polares es un vector polar, que al multiplicar un vector polar por cualquier número real se obtiene otro vector polar, y que al multiplicar un pseudovector por cualquier número real El número produce otro pseudovector.
Por otro lado, supongamos que se sabe que v 1 es un vector polar, que se sabe que v 2 es un pseudovector y que v 3 se define como su suma, v 3 = v 1 + v 2 . Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación impropia R , entonces v 3 se transforma en
Por lo tanto, v 3 no es ni un vector polar ni un pseudovector (aunque sigue siendo un vector, según la definición física). Para una rotación impropia, v 3 en general ni siquiera mantiene la misma magnitud:
Si la magnitud de v 3 describiera una cantidad física mensurable, eso significaría que las leyes de la física no parecerían las mismas si el universo se observara en un espejo. De hecho, esto es exactamente lo que sucede en la interacción débil : ciertas desintegraciones radiactivas tratan a "izquierda" y "derecha" de manera diferente, un fenómeno que puede atribuirse a la suma de un vector polar con un pseudovector en la teoría subyacente. (Ver violación de paridad ).
Para una matriz de rotación R , ya sea propia o impropia, la siguiente ecuación matemática siempre es cierta:
donde v 1 y v 2 son vectores tridimensionales cualesquiera. (Esta ecuación se puede demostrar mediante un argumento geométrico o mediante un cálculo algebraico).
Supongamos que v 1 y v 2 son vectores polares conocidos y que v 3 se define como su producto cruzado, v 3 = v 1 × v 2 . Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación R , entonces v 3 se transforma en
Entonces v 3 es un pseudovector. De manera similar, se puede mostrar:
Esto es isomorfo a la suma módulo 2, donde "polar" corresponde a 1 y "pseudo" a 0.
De la definición, queda claro que un vector de desplazamiento es un vector polar. El vector velocidad es un vector de desplazamiento (un vector polar) dividido por el tiempo (un escalar), por lo que también lo es un vector polar. Del mismo modo, el vector momento es el vector velocidad (un vector polar) multiplicado por la masa (un escalar), al igual que un vector polar. El momento angular es el producto cruzado de un desplazamiento (un vector polar) y un momento (un vector polar) y, por tanto, es un pseudovector. El par es el momento angular (un pseudovector) dividido por el tiempo (un escalar), por lo que también lo es un pseudovector. Siguiendo de esta manera, es sencillo clasificar cualquiera de los vectores comunes en física como pseudovector o vector polar. (Existen vectores que violan la paridad en la teoría de las interacciones débiles, que no son vectores polares ni pseudovectores. Sin embargo, estos ocurren muy raramente en física).
Arriba, se han analizado los pseudovectores mediante transformaciones activas . Un enfoque alternativo, más parecido a las transformaciones pasivas , es mantener el universo fijo, pero cambiar la " regla de la mano derecha " por la "regla de la mano izquierda" en todas partes de las matemáticas y la física, incluso en la definición del producto vectorial y la rizo . Cualquier vector polar (por ejemplo, un vector de traslación) no cambiaría, pero los pseudovectores (por ejemplo, el vector del campo magnético en un punto) cambiarían de signo. Sin embargo, no habría consecuencias físicas, salvo fenómenos que violen la paridad, como por ejemplo determinadas desintegraciones radiactivas . [6]
Una forma de formalizar pseudovectores es la siguiente: si V es un espacio vectorial de n dimensiones, entonces un pseudovector de V es un elemento de la ( n − 1) -ésima potencia exterior de V : ⋀ n −1 ( V ). Los pseudovectores de V forman un espacio vectorial con la misma dimensión que V.
Esta definición no es equivalente a la que requiere un cambio de signo en rotaciones impropias, pero es general para todos los espacios vectoriales. En particular, cuando n es par , dicho pseudovector no experimenta un cambio de signo, y cuando la característica del campo subyacente de V es 2, un cambio de signo no tiene ningún efecto. Por lo demás, las definiciones son equivalentes, aunque se debe tener en cuenta que sin una estructura adicional (específicamente, ya sea una forma de volumen o una orientación ), no existe una identificación natural de ⋀ n −1 ( V ) con V .
Otra forma de formalizarlos es considerándolos como elementos de un espacio de representación para . Los vectores se transforman en la representación fundamental de con datos dados por , de modo que para cualquier matriz en , se tiene . Los pseudovectores se transforman en una representación pseudofundamental , con . Otra forma de ver este homomorfismo de impar es que en este caso . Entonces es un producto directo de homomorfismos de grupo; es el producto directo del homomorfismo fundamental de con el homomorfismo trivial de .
En álgebra geométrica, los elementos básicos son los vectores, y estos se utilizan para construir una jerarquía de elementos utilizando las definiciones de productos en esta álgebra. En particular, el álgebra construye pseudovectores a partir de vectores.
La multiplicación básica en álgebra geométrica es el producto geométrico , que se denota simplemente yuxtaponiendo dos vectores como en ab . Este producto se expresa como:
donde el término principal es el producto escalar vectorial habitual y el segundo término se denomina producto cuña o producto exterior . Utilizando los postulados del álgebra, se pueden evaluar todas las combinaciones de productos punto y cuña. Se proporciona una terminología para describir las diversas combinaciones. Por ejemplo, un multivector es una suma de k productos de cuña de varios k valores. Un producto de cuña k -fold también se conoce como k -blade .
En el presente contexto, el pseudovector es una de estas combinaciones. Este término se adjunta a un multivector diferente dependiendo de las dimensiones del espacio (es decir, el número de vectores linealmente independientes en el espacio). En tres dimensiones, el bivector o bivector más general se puede expresar como el producto de cuña de dos vectores y es un pseudovector. [7] En cuatro dimensiones, sin embargo, los pseudovectores son trivectores . [8] En general, es una hoja ( n − 1) , donde n es la dimensión del espacio y el álgebra. [9] Un espacio de n dimensiones tiene n vectores de base y también n pseudovectores de base. Cada pseudovector base se forma a partir del producto externo (cuña) de todos menos uno de los n vectores base. Por ejemplo, en cuatro dimensiones donde se considera que los vectores base son { e 1 , e 2 , e 3 , e 4 }, los pseudovectores se pueden escribir como: { e 234 , e 134 , e 124 , e 123 }.
Baylis ha comparado las propiedades de transformación del pseudovector en tres dimensiones con las del producto vectorial vectorial . [10] Dice: "Los términos vector axial y pseudovector a menudo se tratan como sinónimos, pero es bastante útil poder distinguir un bivector de su dual". Parafraseando a Baylis: dados dos vectores polares (es decir, vectores verdaderos) a y b en tres dimensiones, el producto vectorial compuesto de a y b es el vector normal a su plano dado por c = a × b . Dado un conjunto de vectores de base ortonormales diestros { e ℓ } , el producto cruzado se expresa en términos de sus componentes como:
donde los superíndices etiquetan los componentes del vector. Por otro lado, el plano de los dos vectores está representado por el producto exterior o producto cuña, denotado por a ∧ b . En este contexto de álgebra geométrica, este bivector se llama pseudovector y es el dual de Hodge del producto vectorial. [11] El dual de e 1 se introduce como e 23 ≡ e 2 e 3 = e 2 ∧ e 3 , y así sucesivamente. Es decir, el dual de e 1 es el subespacio perpendicular a e 1 , es decir, el subespacio abarcado por e 2 y e 3 . Con este entendimiento, [12]
Para obtener más información, consulte Operador estrella de Hodge § Tres dimensiones . El producto cruzado y el producto cuña están relacionados por:
donde i = e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 se llama unidad pseudoescalar . [13] [14] Tiene la propiedad: [15]
Utilizando las relaciones anteriores, se ve que si los vectores a y b se invierten cambiando los signos de sus componentes dejando fijos los vectores base, tanto el pseudovector como el producto vectorial son invariantes. Por otro lado, si los componentes son fijos y los vectores base e ℓ están invertidos, entonces el pseudovector es invariante, pero el producto cruz cambia de signo. Este comportamiento de los productos cruzados es consistente con su definición como elementos similares a vectores que cambian de signo al transformarse de un sistema de coordenadas diestro a zurdo, a diferencia de los vectores polares.
Además, cabe señalar que no todos los autores en el campo del álgebra geométrica utilizan el término pseudovector, y algunos autores siguen la terminología que no distingue entre pseudovector y producto cruzado. [16] Sin embargo, debido a que el producto cruzado no se generaliza a otras dimensiones que no sean tres dimensiones, [17] la noción de pseudovector basada en el producto cruzado tampoco puede extenderse a un espacio de cualquier otro número de dimensiones. El pseudovector como una hoja ( n – 1) en un espacio n -dimensional no está restringido de esta manera.
Otra nota importante es que los pseudovectores, a pesar de su nombre, son "vectores" en el sentido de ser elementos de un espacio vectorial . La idea de que "un pseudovector es diferente de un vector" sólo es cierta con una definición diferente y más específica del término "vector" como se analizó anteriormente.
