Derivado exterior

Operación sobre formas diferenciales.

En una variedad diferenciable , la derivada exterior extiende el concepto de diferencial de una función a formas diferenciales de mayor grado. La derivada exterior fue descrita por primera vez en su forma actual por Élie Cartan en 1899. El cálculo resultante, conocido como cálculo exterior , permite una generalización natural, independiente de la métrica, del teorema de Stokes , el teorema de Gauss y el teorema de Green a partir del cálculo vectorial.

Si se piensa que una forma diferencial k mide el flujo a través de un paralelotopo infinitesimal k en cada punto de la variedad, entonces se puede considerar que su derivada exterior mide el flujo neto a través del límite de a ( k + 1) - paralelotopo en cada punto.

Definición

La derivada exterior de una forma diferencial de grado k (también forma k diferencial , o simplemente forma k para abreviar aquí) es una forma diferencial de grado k + 1 .

Si f es una función suave (una forma 0 ), entonces la derivada exterior de f es el diferencial de f . Es decir, df es la única forma 1 tal que para cada campo vectorial suave X , df  ( X ) = d _X f , donde d _X f es la derivada direccional de f en la dirección de X.              

El producto exterior de formas diferenciales (denotado con el mismo símbolo ∧ ) se define como su producto exterior puntual .

Existe una variedad de definiciones equivalentes de la derivada exterior de una forma k general .

En términos de axiomas

La derivada exterior se define como la única ℝ -mapeo lineal de k -formas a ( k + 1) -formas que tiene las siguientes propiedades:

1. df  es el diferencial de f para unaforma 0 f .    
2. d ( df  ) = 0 para unaforma 0 f .  
3. d ( α ∧ β ) = dα ∧ β + (−1) ^p ( α ∧ dβ ) donde α es una forma p . Es decir, d es una antiderivada de grado 1 en el álgebra exterior de formas diferenciales (ver la regla del producto graduado ).

La segunda propiedad definitoria se cumple con mayor generalidad: d ( dα ) = 0 para cualquier k -forma α ; más sucintamente, d ² = 0 . La tercera propiedad definitoria implica como caso especial que si f es una función y α es una forma k , entonces d (  fα ) = d (  f ∧ α ) = df   ∧ α +   f   ∧ dα porque una función es 0 - forma, y ​​la multiplicación escalar y el producto exterior son equivalentes cuando uno de los argumentos es un escalar. ^{[ cita necesaria ]}  

En términos de coordenadas locales.

Alternativamente, se puede trabajar completamente en un sistema de coordenadas local ( x ¹ , ..., x ⁿ ) . Los diferenciales de coordenadas dx ¹ , ..., dx ⁿ forman una base del espacio de formas uni, cada una asociada con una coordenada. Dado un índice múltiple I = ( i ₁ , ..., i _k ) con 1 ≤ i _p ≤ n para 1 ≤ p ≤ k (y denotando dx ^{i ₁} ∧ ... ∧ dx ^{i _k} con dx ^I ), la derivada exterior de una forma k (simple)

${\displaystyle \varphi =g\,dx^{I}=g\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$

sobre ℝ ⁿ se define como

${\displaystyle d{\varphi }={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}}$

(usando la convención de suma de Einstein ). La definición de derivada exterior se extiende linealmente a una forma k general .

${\displaystyle \omega =f_{I}\,dx^{I},}$

donde cada uno de los componentes del índice múltiple lo ejecuto sobre todos los valores en {1, ..., n } . Tenga en cuenta que siempre que i sea igual a uno de los componentes del índice múltiple I, entonces dx ⁱ ∧ dx ^I = 0 (consulte Producto exterior ).

La definición de la derivada exterior en coordenadas locales se deriva de la definición anterior en términos de axiomas. De hecho, con la k -forma φ como se define anteriormente,

${\displaystyle {\begin{aligned}d{\varphi }&=d\left(g\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)+g\,d\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}+g\sum _{p=1}^{k}(-1)^{p-1}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{p-1}}\wedge d^{2}x^{i_{p}}\wedge dx^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\\end{aligned}}}$

Aquí, interpretamos g como una forma 0 y luego aplicamos las propiedades de la derivada exterior.

Este resultado se extiende directamente a la forma k general ω como

${\displaystyle d\omega ={\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.}$

En particular, para una forma 1 ω , los componentes de dω en coordenadas locales son

${\displaystyle (d\omega )_{ij}=\partial _{i}\omega _{j}-\partial _{j}\omega _{i}.}$

Precaución : existen dos convenciones con respecto al significado de . La mayoría de los autores actuales ^{[ cita necesaria ]} tienen la convención de que ${\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$

${\displaystyle \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)=1.}$

mientras que en textos antiguos como Kobayashi y Nomizu o Helgason

${\displaystyle \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)={\frac {1}{k!}}.}$

En términos de fórmula invariante

Alternativamente, se puede dar una fórmula explícita ^[1] para la derivada exterior de una forma k ω , cuando se combina con k + 1 campos vectoriales suaves arbitrarios V ₀ , V ₁ , ..., V _k :

${\displaystyle d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})}$

donde [ V _i , V _j ] denota el corchete de Lie y un sombrero denota la omisión de ese elemento:

${\displaystyle \omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{0},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k}).}$

En particular, cuando ω es una forma 1 tenemos que dω ( X , Y ) = d _X ( ω ( Y )) − d _Y ( ω ( X )) − ω ([ X , Y ]) .

Nota: Con las convenciones de, por ejemplo, Kobayashi-Nomizu y Helgason, la fórmula difiere en un factor de1/k + 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})={}&{1 \over k+1}\sum _{i}(-1)^{i}\,V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&{}+{1 \over k+1}\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k}).\end{aligned}}}$

Ejemplos

Ejemplo 1. Considere σ = u  dx ¹ ∧ dx ² sobre una base de 1 forma dx ¹ , ..., dx ⁿ para un campo escalar u . La derivada exterior es:

${\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=du\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\right)\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\sum _{i=3}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\right)\end{aligned}}}$

La última fórmula, donde la suma comienza en i = 3 , se deduce fácilmente de las propiedades del producto exterior . Es decir, dx ⁱ ∧ dx ⁱ = 0 .

Ejemplo 2. Sea σ = u  dx + v  dy una forma 1 definida sobre ℝ ² . Al aplicar la fórmula anterior a cada término (considere x ¹ = x y x ² = y ) tenemos la suma

${\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dy\right)\\&=\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dx+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dx\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dy\right)\\&=0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+0\\&=\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right)\,dx\wedge dy\end{aligned}}}$

Teorema de Stokes sobre variedades

Si M es una variedad compacta, suave y orientable de n dimensiones con límite, y ω es una forma ( n − 1) en M , entonces la forma generalizada del teorema de Stokes establece que

${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial {M}}\omega }$

Intuitivamente, si uno piensa que M está dividido en regiones infinitesimales y suma el flujo a través de los límites de todas las regiones, todos los límites interiores se cancelan, dejando el flujo total a través del límite de M.

Otras propiedades

Formas cerradas y exactas

Una k -forma ω se llama cerrada si dω = 0 ; las formas cerradas son el núcleo de d . ω se llama exacto si ω = dα para alguna ( k − 1) -forma α ; las formas exactas son la imagen de d . Como d ² = 0 , toda forma exacta es cerrada. El lema de Poincaré establece que en una región contráctil ocurre lo contrario.

cohomología de de Rham

Debido a que la derivada exterior d tiene la propiedad de que d ² = 0 , puede usarse como diferencial (colímite) para definir la cohomología de De Rham en una variedad. La k -ésima cohomología (grupo) de Rham es el espacio vectorial de k -formas cerradas módulo las k -formas exactas ; Como se señaló en la sección anterior, el lema de Poincaré establece que estos espacios vectoriales son triviales para una región contráctil, para k > 0 . Para variedades suaves , la integración de formas proporciona un homomorfismo natural desde la cohomología de De Rham hasta la cohomología singular sobre ℝ . El teorema de De Rham muestra que este mapa es en realidad un isomorfismo, una generalización de gran alcance del lema de Poincaré. Como lo sugiere el teorema generalizado de Stokes, la derivada exterior es el "dual" del mapa de límites en simples simples.

Naturalidad

La derivada exterior es natural en el sentido técnico: si f  : M → N es un mapa suave y Ω ^k es el funtor suave contravariante que asigna a cada variedad el espacio de k -formas en la variedad, entonces el siguiente diagrama conmuta 

entonces d (  f ^∗ ω ) =   f ^∗ dω , donde f ^∗ denota el retroceso de f . Esto se deduce de que f ^∗ ω (·) , por definición, es ω (  f _∗ (·)) , siendo f _∗ el empuje hacia adelante de f . Por tanto, d es una transformación natural de Ω ^k a Ω ^{k +1} .       

Derivada exterior en cálculo vectorial

La mayoría de los operadores de cálculo vectorial son casos especiales de la noción de diferenciación exterior o tienen estrechas relaciones con ella.

Degradado

Una función suave f  : M → ℝ en una variedad real diferenciable M es una forma 0 . La derivada exterior de esta forma 0 es la forma 1 df . 

Cuando se define un producto interno ⟨·,·⟩ , el gradiente ∇ f  de una función f se define como el vector único en V tal que su producto interno con cualquier elemento de V es la derivada direccional de f a lo largo del vector, es decir tal que    

${\displaystyle \langle \nabla f,\cdot \rangle =df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.}$

Eso es,

${\displaystyle \nabla f=(df)^{\sharp }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,\left(dx^{i}\right)^{\sharp },}$

donde ♯ denota el isomorfismo musical ♯  : V ^∗ → V mencionado anteriormente que es inducido por el producto interno.

La forma df 1 es una sección del paquete cotangente , que da una aproximación lineal local a f en el espacio cotangente en cada punto.   

Divergencia

Un campo vectorial V = ( v ₁ , v ₂ , ..., v _n ) en ℝ ⁿ tiene una forma ( n − 1) correspondiente

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{V}&=v_{1}\left(dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)-v_{2}\left(dx^{1}\wedge dx^{3}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n-1}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{(i-1)}v_{i}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{i-1}\wedge {\widehat {dx^{i}}}\wedge dx^{i+1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)\end{aligned}}}$

donde denota la omisión de ese elemento. ${\displaystyle {\widehat {dx^{i}}}}$

(Por ejemplo, cuando n = 3 , es decir, en un espacio tridimensional, la forma 2 ω _V es localmente el triple producto escalar con V .) La integral de ω _V sobre una hipersuperficie es el flujo de V sobre esa hipersuperficie.

La derivada exterior de esta forma ( n − 1 ) es la forma n

${\displaystyle d\omega _{V}=\operatorname {div} V\left(dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right).}$

Rizo

Un campo vectorial V en ℝ ⁿ también tiene una forma 1 correspondiente

${\displaystyle \eta _{V}=v_{1}\,dx^{1}+v_{2}\,dx^{2}+\cdots +v_{n}\,dx^{n}.}$

Localmente, η _V es el producto escalar con V . La integral de η _V a lo largo de un camino es el trabajo realizado contra − V a lo largo de ese camino.

Cuando n = 3 , en el espacio tridimensional, la derivada exterior de la forma 1 η _V es la forma 2

${\displaystyle d\eta _{V}=\omega _{\operatorname {curl} V}.}$

Formulaciones invariantes de operadores en cálculo vectorial.

Los operadores de cálculo vectorial estándar se pueden generalizar para cualquier variedad pseudo-riemanniana y escribirse en notación libre de coordenadas de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\operatorname {grad} f&\equiv &\nabla f&=&\left(df\right)^{\sharp }\\\operatorname {div} F&\equiv &\nabla \cdot F&=&{\star d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}}\\\operatorname {curl} F&\equiv &\nabla \times F&=&\left({\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp }\\\Delta f&\equiv &\nabla ^{2}f&=&{\star }d{\star }df\\&&\nabla ^{2}F&=&\left(d{\star }d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}-{\star }d{\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp },\\\end{array}}}$

donde ⋆ es el operador estrella de Hodge , ♭ y ♯ son los isomorfismos musicales , f es un campo escalar y F es un campo vectorial .  

Tenga en cuenta que la expresión para curl requiere que ♯ actúe sobre ⋆ d ( F ^♭ ) , que es una forma de grado n − 2 . Una generalización natural de ♯ a k -formas de grado arbitrario permite que esta expresión tenga sentido para cualquier n .

Ver también

• Derivada covariante exterior
• complejo de Rham
• Cálculo exterior de elementos finitos.
• Cálculo exterior discreto
• teorema de verde
• Derivado de mentira
• teorema de stokes
• Derivado fractal

Notas

1. Spivak (1970), págs. 7-18, Th. 13

Referencias

• Cartan, Élie (1899). "Sur surees expresiones différentielles et le problème de Pfaff". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Serie 3 (en francés). dieciséis . París: Gauthier-Villars: 239–332. doi : 10.24033/asens.467 . ISSN  0012-9593. JFM  30.0313.04 . Consultado el 2 de febrero de 2016 .
• Conlon, Lawrence (2001). Colectores diferenciables . Basilea, Suiza: Birkhäuser. pag. 239.ISBN​ 0-8176-4134-3.
• Cariño, RWR (1994). Formas y conexiones diferenciales . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pag. 35.ISBN​ 0-521-46800-0.
• Flandes, Harley (1989). Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas . Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 20.ISBN​ 0-486-66169-5.
• Loomis, Lynn H.; Sternberg, Shlomo (1989). Cálculo avanzado. Boston: Jones y Bartlett. págs. 304 a 473 (capítulos 7 a 11). ISBN 0-486-66169-5.
• Ramanan, S. (2005). Cálculo global . Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 54.ISBN​ 0-8218-3702-8.
• Spivak, Michael (1971). Cálculo de variedades . Boulder, Colorado: Westview Press. ISBN 9780805390216.
• Spivak, MIchael (1970), Una introducción completa a la geometría diferencial , vol. 1, Boston, MA: Publicar o perecer, Inc, ISBN 0-914098-00-4
• Warner, Frank W. (1983), Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 94, Springer, ISBN 0-387-90894-3

enlaces externos

• Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: "El derivado no es lo que crees que es". Aleph Cero . 3 de noviembre de 2020 - vía YouTube .