espacio sobolev

Espacio vectorial de funciones en matemáticas.

En matemáticas , un espacio de Sobolev es un espacio vectorial de funciones equipado con una norma que es una combinación de L ^p -normas de la función junto con sus derivadas hasta un orden dado. Las derivadas se entienden en un sentido débil adecuado para completar el espacio , es decir, un espacio de Banach . Intuitivamente, un espacio de Sobolev es un espacio de funciones que posee suficientes derivadas para algún dominio de aplicación, como ecuaciones diferenciales parciales , y está equipado con una norma que mide tanto el tamaño como la regularidad de una función.

Los espacios de Sobolev llevan el nombre del matemático ruso Sergei Sobolev . Su importancia proviene del hecho de que existen soluciones débiles de algunas ecuaciones diferenciales parciales importantes en espacios de Sobolev apropiados, incluso cuando no hay soluciones fuertes en espacios de funciones continuas con las derivadas entendidas en el sentido clásico.

Motivación

En esta sección y a lo largo del artículo hay un subconjunto abierto de ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Existen muchos criterios para la suavidad de las funciones matemáticas . El criterio más básico puede ser el de continuidad . Una noción más fuerte de suavidad es la de diferenciabilidad (porque las funciones que son diferenciables también son continuas) y una noción aún más fuerte de suavidad es que la derivada también sea continua (se dice que estas funciones son de clase ; consulte Clases de diferenciabilidad ). Las funciones diferenciables son importantes en muchas áreas, y en particular para las ecuaciones diferenciales . En el siglo XX, sin embargo, se observó que el espacio (o , etc.) no era exactamente el espacio adecuado para estudiar soluciones de ecuaciones diferenciales. Los espacios de Sobolev son el reemplazo moderno de estos espacios en los que buscar soluciones de ecuaciones diferenciales parciales. ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{2}}$

Las cantidades o propiedades del modelo subyacente de la ecuación diferencial generalmente se expresan en términos de normas integrales. Un ejemplo típico es medir la energía de una distribución de temperatura o velocidad mediante una norma. Por tanto, es importante desarrollar una herramienta para diferenciar las funciones espaciales de Lebesgue . ${\displaystyle L^{2}}$

La fórmula de integración por partes produce que para cada , donde es un número natural , y para todas las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto ${\displaystyle u\in C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi \,D^{\alpha \!}u\,dx,}$

donde hay un índice múltiple de orden y estamos usando la notación: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle |\alpha |=k}$

${\displaystyle D^{\alpha \!}f={\frac {\partial ^{|\alpha |}\!f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$

El lado izquierdo de esta ecuación todavía tiene sentido si solo asumimos que es localmente integrable . Si existe una función localmente integrable , tal que ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \;dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi \,v\;dx\qquad {\text{for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$

entonces llamamos a la -ésima derivada parcial débil de . Si existe una derivada parcial débil -ésima de , entonces se define de manera única en casi todas partes y, por lo tanto, se determina de manera única como un elemento de un espacio de Lebesgue . Por otro lado, si , entonces la derivada clásica y la débil coinciden. Por lo tanto, si es una derivada parcial débil de , podemos denotarla por . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u\in C^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle D^{\alpha }u:=v}$

Por ejemplo, la función

${\displaystyle u(x)={\begin{cases}1+x&-1<x<0\\10&x=0\\1-x&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

no es continua en cero y no diferenciable en −1, 0 o 1. Sin embargo, la función

${\displaystyle v(x)={\begin{cases}1&-1<x<0\\-1&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

satisface la definición de ser la derivada débil de la cual luego califica como estar en el espacio de Sobolev (para cualquier permitido , consulte la definición a continuación). ${\displaystyle u(x),}$ ${\displaystyle W^{1,p}}$ ${\displaystyle p}$

Los espacios de Sobolev combinan los conceptos de diferenciabilidad débil y normas de Lebesgue . ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$

Espacios de Sobolev con número entero k

Caso unidimensional

En el caso unidimensional, el espacio de Sobolev para se define como el subconjunto de funciones tales que y sus derivadas débiles hasta el orden tienen una norma L p finita . Como se mencionó anteriormente, se debe tener cierto cuidado al definir los derivados en el sentido correcto. En el problema unidimensional basta con suponer que la -ésima derivada es derivable en casi todas partes y es igual en casi todas partes a la integral de Lebesgue de su derivada (esto excluye ejemplos irrelevantes como la función de Cantor ). ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k{-}1)}$ ${\displaystyle f^{(k-1)}}$

Con esta definición, los espacios de Sobolev admiten una norma natural ,

${\displaystyle \|f\|_{k,p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\left\|f^{(i)}\right\|_{p}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{i=0}^{k}\int \left|f^{(i)}(t)\right|^{p}\,dt\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Se puede extender esto al caso , con la norma definida entonces usando el supremo esencial por ${\displaystyle p=\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{k,\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left\|f^{(i)}\right\|_{\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left({\text{ess}}\,\sup _{t}\left|f^{(i)}(t)\right|\right).}$

Equipado con la norma se convierte en un espacio de Banach . Resulta que basta con tomar sólo el primero y el último de la secuencia, es decir, la norma definida por ${\displaystyle \|\cdot \|_{k,p},W^{k,p}}$

${\displaystyle \left\|f^{(k)}\right\|_{p}+\|f\|_{p}}$

es equivalente a la norma anterior (es decir, las topologías inducidas de las normas son las mismas).

El caso p = 2

Los espacios de Sobolev con p = 2 son especialmente importantes por su conexión con las series de Fourier y porque forman un espacio de Hilbert . Ha surgido una notación especial para cubrir este caso, ya que el espacio es un espacio de Hilbert:

${\displaystyle H^{k}=W^{k,2}.}$

El espacio se puede definir naturalmente en términos de series de Fourier cuyos coeficientes decaen con suficiente rapidez, a saber, ${\displaystyle H^{k}}$

${\displaystyle H^{k}(\mathbb {T} )={\Big \{}f\in L^{2}(\mathbb {T} ):\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+n^{2}+n^{4}+\dots +n^{2k}\right)\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}<\infty {\Big \}},}$

donde es la serie de Fourier de y denota el toro 1. Como arriba, se puede usar la norma equivalente. ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

${\displaystyle \|f\|_{k,2}^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+|n|^{2}\right)^{k}\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}.}$

Ambas representaciones se derivan fácilmente del teorema de Parseval y del hecho de que la diferenciación equivale a multiplicar el coeficiente de Fourier por . ${\displaystyle in}$

Además, el espacio admite un producto interior , como el espacio. De hecho, el producto interior se define en términos del producto interior: ${\displaystyle H^{k}}$ ${\displaystyle H^{0}=L^{2}.}$ ${\displaystyle H^{k}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle u,v\rangle _{H^{k}}=\sum _{i=0}^{k}\left\langle D^{i}u,D^{i}v\right\rangle _{L^{2}}.}$

Con este producto interior, el espacio se convierte en un espacio de Hilbert. ${\displaystyle H^{k}}$

Otros ejemplos

En una dimensión, algunos otros espacios de Sobolev permiten una descripción más sencilla. Por ejemplo, es el espacio de funciones absolutamente continuas en (0, 1) (o más bien, clases de equivalencia de funciones que son iguales en casi todas partes), mientras que es el espacio de funciones de Lipschitz acotadas en I , para cada intervalo I. Sin embargo, estas propiedades se pierden o no son tan simples para funciones de más de una variable. ${\displaystyle W^{1,1}(0,1)}$ ${\displaystyle W^{1,\infty }(I)}$

Todos los espacios son álgebras (normadas) , es decir, el producto de dos elementos es una vez más una función de este espacio de Sobolev, lo cual no es el caso para (Por ejemplo, funciones que se comportan como | x | ^−1/3 en el origen están en pero el producto de dos de esas funciones no está en ). ${\displaystyle W^{k,\infty }}$ ${\displaystyle p<\infty .}$ ${\displaystyle L^{2},}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Caso multidimensional

La transición a múltiples dimensiones trae consigo más dificultades, empezando por la propia definición. El requisito de que sea integral de no se generaliza, y la solución más sencilla es considerar derivadas en el sentido de la teoría de la distribución . ${\displaystyle f^{(k-1)}}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$

A continuación sigue una definición formal. Dejemos que el espacio de Sobolev se define como el conjunto de todas las funciones tales que para cada índice múltiple con la derivada parcial mixta ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,1\leqslant p\leqslant \infty .}$ ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle |\alpha |\leqslant k,}$

${\displaystyle f^{(\alpha )}={\frac {\partial ^{|\alpha |\!}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$

existe en el sentido débil y está en ie ${\displaystyle L^{p}(\Omega ),}$

${\displaystyle \left\|f^{(\alpha )}\right\|_{L^{p}}<\infty .}$

Es decir, el espacio de Sobolev se define como ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )=\left\{u\in L^{p}(\Omega ):D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega )\,\,\forall |\alpha |\leqslant k\right\}.}$

El número natural se llama orden del espacio de Sobolev. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$

Hay varias opciones para una norma. Las dos siguientes son comunes y son equivalentes en el sentido de equivalencia de normas : ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}$

${\displaystyle \|u\|_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&1\leqslant p<\infty ;\\\max _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty ;\end{cases}}}$

y

${\displaystyle \|u\|'_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}&1\leqslant p<\infty ;\\\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty .\end{cases}}}$

Con respecto a cualquiera de estas normas, es un espacio de Banach. For es también un espacio separable . Es convencional denotar por porque es un espacio de Hilbert con la norma . ^[1] ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle p<\infty ,W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle W^{k,2}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{W^{k,2}(\Omega )}}$

Aproximación por funciones suaves.

Es bastante difícil trabajar con espacios de Sobolev basándose únicamente en su definición. Por tanto, es interesante saber que según el teorema de Meyers-Serrin una función puede aproximarse mediante funciones suaves . Este hecho a menudo nos permite traducir propiedades de funciones suaves a funciones de Sobolev. Si es finito y abierto, entonces existe para cualquier secuencia aproximada de funciones tal que: ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle u_{m}\in C^{\infty }(\Omega )}$

${\displaystyle \left\|u_{m}-u\right\|_{W^{k,p}(\Omega )}\to 0.}$

Si tiene el límite de Lipschitz , incluso podemos suponer que son la restricción de funciones suaves con soporte compacto en todos ^[2] ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u_{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Ejemplos

En dimensiones superiores, ya no es cierto que, por ejemplo, contenga sólo funciones continuas. Por ejemplo, ¿dónde está la bola unitaria en tres dimensiones? Para , el espacio contendrá solo funciones continuas, pero para qué esto ya sea cierto depende tanto de la dimensión como de la dimensión. Por ejemplo, como se puede comprobar fácilmente utilizando coordenadas polares esféricas para la función definida en la bola de n dimensiones, tenemos: ${\displaystyle W^{1,1}}$ ${\displaystyle |x|^{-1}\in W^{1,1}(\mathbb {B} ^{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$ ${\displaystyle k>n/p}$ ${\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f:\mathbb {B} ^{n}\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

${\displaystyle f(x)=|x|^{-\alpha }\in W^{k,p}(\mathbb {B} ^{n})\Longleftrightarrow \alpha <{\tfrac {n}{p}}-k.}$

Intuitivamente, la explosión de f en 0 "cuenta menos" cuando n es grande, ya que la bola unitaria tiene "más exterior y menos interior" en dimensiones más altas.

Caracterización absolutamente continua en líneas (ACL) de funciones de Sobolev

Dejemos que si una función está en entonces, posiblemente después de modificar la función en un conjunto de medida cero, la restricción a casi todas las líneas paralelas a las direcciones de las coordenadas es absolutamente continua ; es más, la derivada clásica a lo largo de las líneas que son paralelas a las direcciones de las coordenadas está en. A la inversa, si la restricción de a casi todas las líneas paralelas a las direcciones de las coordenadas es absolutamente continua, entonces el gradiente puntual existe en casi todas partes y se proporciona en En particular, en este caso las derivadas parciales débiles de y las derivadas parciales puntuales de concuerdan en casi todas partes. La caracterización ACL de los espacios de Sobolev fue establecida por Otto M. Nikodym (1933); ver (Maz'ya 2011, §1.1.3). ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty .}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle f,|\nabla f|\in L^{p}(\Omega ).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Se cumple un resultado más fuerte cuando una función en es, después de modificar en un conjunto de medida cero, el exponente continuo de Hölder por la desigualdad de Morrey . En particular, si y tiene límite de Lipschitz, entonces la función es continua de Lipschitz . ${\displaystyle p>n.}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle \gamma =1-{\tfrac {n}{p}},}$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle \Omega }$

Funciones que desaparecen en el límite

El espacio de Sobolev también se denota por Es un espacio de Hilbert, con un subespacio importante definido como el cierre de las funciones infinitamente diferenciables soportadas de forma compacta en La norma de Sobolev definida anteriormente se reduce aquí a ${\displaystyle W^{1,2}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{1}\!(\Omega ).}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H^{1}\!(\Omega ).}$

${\displaystyle \|f\|_{H^{1}}=\left(\int _{\Omega }\!|f|^{2}\!+\!|\nabla \!f|^{2}\right)^{\!{\frac {1}{2}}}.}$

Cuando tiene un límite regular, puede describirse como el espacio de funciones que desaparecen en el límite, en el sentido de huellas (ver más abajo). Cuando if es un intervalo acotado, entonces consta de funciones continuas de la forma ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{1}\!(\Omega )}$ ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle \Omega =(a,b)}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(a,b)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}f'(t)\,\mathrm {d} t,\qquad x\in [a,b]}$

donde la derivada generalizada está en y tiene 0 integral, de modo que ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle L^{2}(a,b)}$ ${\displaystyle f(b)=f(a)=0.}$

Cuando es acotada, la desigualdad de Poincaré establece que existe una constante tal que: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C=C(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }|f|^{2}\leqslant C^{2}\int _{\Omega }|\nabla f|^{2},\qquad f\in H_{0}^{1}(\Omega ).}$

Cuando está acotado, la inyección de a es compacta . Este hecho juega un papel en el estudio del problema de Dirichlet y en el hecho de que existe una base ortonormal formada por vectores propios del operador de Laplace (con condición de frontera de Dirichlet ). ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H_{0}^{1}\!(\Omega )}$ ${\displaystyle L^{2}\!(\Omega ),}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

Rastros

Los espacios de Sobolev se consideran a menudo al investigar ecuaciones diferenciales parciales. Es esencial considerar los valores límite de las funciones de Sobolev. Si , esos valores límite se describen mediante la restricción. Sin embargo, no está claro cómo describir los valores en el límite, ya que la medida n -dimensional del límite es cero. El siguiente teorema ^[2] resuelve el problema: ${\displaystyle u\in C(\Omega )}$ ${\displaystyle u|_{\partial \Omega }.}$ ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega ),}$

Teorema de la traza  :  supongamos que Ω está limitado por el límite de Lipschitz . Entonces existe un operador lineal acotado tal que ${\displaystyle T:W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Tu&=u|_{\partial \Omega }&&u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\overline {\Omega }})\\\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}&\leqslant c(p,\Omega )\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}&&u\in W^{1,p}(\Omega ).\end{aligned}}}$$

Tu se llama la huella de u . En términos generales, este teorema extiende el operador de restricción al espacio de Sobolev para Ω de buen comportamiento. Tenga en cuenta que el operador de traza T en general no es sobreyectivo, pero para 1 < p < ∞ se asigna continuamente al espacio de Sobolev-Slobodeckij. ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle W^{1-{\frac {1}{p}},p}(\partial \Omega ).}$

Intuitivamente, tomar la traza cuesta 1/ p de una derivada. Las funciones u en W ^1,p (Ω) con traza cero, es decir Tu  = 0, se pueden caracterizar por la igualdad

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):Tu=0\right\},}$

dónde

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega ):=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):\exists \{u_{m}\}_{m=1}^{\infty }\subset C_{c}^{\infty }(\Omega ),\ {\text{such that}}\ u_{m}\to u\ {\textrm {in}}\ W^{1,p}(\Omega )\right\}.}$

En otras palabras, para Ω acotado con el límite de Lipschitz, las funciones de traza cero pueden aproximarse mediante funciones suaves con soporte compacto. ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$

Espacios de Sobolev con k no entero

Espacios potenciales de Bessel

Para un número natural k y 1 < p < ∞ se puede demostrar (usando multiplicadores de Fourier ^{[3] [4]} ) que el espacio se puede definir de manera equivalente como ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})=H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}):={\Big \{}f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}){\Big \}},}$

con la norma

${\displaystyle \|f\|_{H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}:=\left\|{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\right\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}.}$

Esto motiva los espacios de Sobolev con orden no entero ya que en la definición anterior podemos reemplazar k por cualquier número real s . Los espacios resultantes

${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}\left[{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}{\mathcal {F}}f\right]\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\right\}}$

se denominan espacios potenciales de Bessel ^[5] (llamados así en honor a Friedrich Bessel ). Son espacios de Banach en general y espacios de Hilbert en el caso especial p = 2.

For es el conjunto de restricciones de funciones desde a Ω equipado con la norma ${\displaystyle s\geq 0,H^{s,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \|f\|_{H^{s,p}(\Omega )}:=\inf \left\{\|g\|_{H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}:g\in H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),g|_{\Omega }=f\right\}.}$

Nuevamente, H ^s,p (Ω) es un espacio de Banach y en el caso p = 2 un espacio de Hilbert.

Utilizando teoremas de extensión para espacios de Sobolev, se puede demostrar que también W ^k,p (Ω) = H ^k,p (Ω) se cumple en el sentido de normas equivalentes, si Ω es un dominio con frontera uniforme de C ^k , k es natural número y 1 < p < ∞ . por las incrustaciones

${\displaystyle H^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1}$

los espacios potenciales de Bessel forman una escala continua entre los espacios de Sobolev. Desde un punto de vista abstracto, los espacios potenciales de Bessel ocurren como espacios de interpolación complejos de espacios de Sobolev, es decir, en el sentido de normas equivalentes, se sostiene que ${\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle \left[W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),W^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\right]_{\theta }=H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

dónde:

${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty ,\ 0<\theta <1,\ s=(1-\theta )k+\theta (k+1)=k+\theta .}$

Espacios de Sobolev-Slobodeckij

Otro enfoque para definir espacios de Sobolev de orden fraccionario surge de la idea de generalizar la condición de Hölder al valor L ^p . ^[6] Porque y la seminorma de Slobodeckij (más o menos análoga a la seminorma de Hölder) se define por ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty ,\theta \in (0,1)}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\Omega ),}$

${\displaystyle [f]_{\theta ,p,\Omega }:=\left(\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{\theta p+n}}}\;dx\;dy\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Sea s > 0 un número entero y establezca . Utilizando la misma idea que para los espacios de Hölder , el espacio de Sobolev-Slobodeckij ^[7] se define como ${\displaystyle \theta =s-\lfloor s\rfloor \in (0,1)}$ ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega ):=\left\{f\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }<\infty \right\}.}$

Es un espacio de Banach para la norma.

${\displaystyle \|f\|_{W^{s,p}(\Omega )}:=\|f\|_{W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega )}+\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }.}$

Si es adecuadamente regular en el sentido de que existen ciertos operadores de extensión, entonces también los espacios de Sobolev-Slobodeckij forman una escala de espacios de Banach, es decir, uno tiene inyecciones o incrustaciones continuas ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle W^{k+1,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s',p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{k,p}(\Omega ),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1.}$

Hay ejemplos de Ω irregular tal que ni siquiera es un subespacio vectorial de para 0 < s < 1 (ver Ejemplo 9.1 de ^[8] ) ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

Desde un punto de vista abstracto, los espacios coinciden con los espacios reales de interpolación de los espacios de Sobolev, es decir, en el sentido de normas equivalentes se cumple lo siguiente: ${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W^{s,p}(\Omega )=\left(W^{k,p}(\Omega ),W^{k+1,p}(\Omega )\right)_{\theta ,p},\quad k\in \mathbb {N} ,s\in (k,k+1),\theta =s-\lfloor s\rfloor .}$

Los espacios de Sobolev-Slobodeckij juegan un papel importante en el estudio de las trazas de las funciones de Sobolev. Son casos especiales de espacios de Besov . ^[4]

Operadores de extensión

Si es un dominio cuyo límite no se comporta demasiado mal (por ejemplo, si su límite es una variedad o satisface la " condición de cono " más permisiva), entonces hay un operador A que asigna funciones de a funciones de tal que: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

1. Au ( x ) = u ( x ) para casi todos los x en y ${\displaystyle \Omega }$
2. ${\displaystyle A:W^{k,p}(\Omega )\to W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}$es continuo para cualquier 1 ≤ p ≤ ∞ y entero k .

Llamaremos a dicho operador A operador de extensión para ${\displaystyle \Omega .}$

Caso de p = 2

Los operadores de extensión son la forma más natural de definir números no enteros (no podemos trabajar directamente ya que tomar la transformada de Fourier es una operación global). Definimos diciendo que si y sólo si De manera equivalente, la interpolación compleja produce los mismos espacios siempre que tenga un operador de extensión. Si no tiene un operador de extensión, la interpolación compleja es la única forma de obtener los espacios. ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle u\in H^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle Au\in H^{s}(\mathbb {R} ^{n}).}$ ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$

Como resultado, la desigualdad de interpolación aún se mantiene.

Ampliación por cero

Como arriba, definimos como el cierre del espacio de funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto. Dada la definición de rastro anterior, podemos afirmar lo siguiente ${\displaystyle H_{0}^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$

Teorema  :  Sea uniformemente C ^m regular, m ≥ s y sea P el mapa lineal que envía u a ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H^{s}(\Omega )}$

$${\displaystyle \left.\left(u,{\frac {du}{dn}},\dots ,{\frac {d^{k}u}{dn^{k}}}\right)\right|_{G}}$$

donde d/dn es la derivada normal a G y k es el entero más grande menor que s . Entonces es precisamente el núcleo de P . ${\displaystyle H_{0}^{s}}$

Si podemos definir su extensión por cero de la forma natural, es decir ${\displaystyle u\in H_{0}^{s}(\Omega )}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)={\begin{cases}u(x)&x\in \Omega \\0&{\text{else}}\end{cases}}}$

Teorema  :  Sea El mapa es continuo si y solo si s no tiene la forma de n un número entero. ${\displaystyle s>{\tfrac {1}{2}}.}$ ${\displaystyle u\mapsto {\tilde {u}}}$ ${\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle n+{\tfrac {1}{2}}}$

Para f ∈ L ^p (Ω) su extensión por cero,

${\displaystyle Ef:={\begin{cases}f&{\textrm {on}}\ \Omega ,\\0&{\textrm {otherwise}}\end{cases}}}$

es un elemento de Además, ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle \|Ef\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}=\|f\|_{L^{p}(\Omega )}.}$

En el caso del espacio de Sobolev W ^1,p (Ω) para 1 ≤ p ≤ ∞ , extender una función u por cero no necesariamente producirá un elemento de Pero si Ω está acotado con el límite de Lipschitz (por ejemplo, ∂Ω es C ¹ ) , entonces para cualquier conjunto abierto acotado O tal que Ω⊂⊂O (es decir, Ω está contenido de forma compacta en O), existe un operador lineal acotado ^[2] ${\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle E:W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}),}$

tal que para cada ae en Ω, Eu tiene soporte compacto dentro de O, y existe una C constante que depende sólo de p , Ω, O y la dimensión n , tal que ${\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega ):Eu=u}$

${\displaystyle \|Eu\|_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}\leqslant C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}.}$

Llamamos a una extensión de a ${\displaystyle Eu}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Incrustaciones de Sobolev

Es natural preguntarse si una función de Sobolev es continua o incluso continuamente diferenciable. En términos generales, un número suficiente de derivadas débiles (es decir, k grande ) dan como resultado una derivada clásica. Esta idea se generaliza y se precisa en el teorema de incorporación de Sobolev .

Escriba para el espacio de Sobolev de alguna variedad de Riemann compacta de dimensión n . Aquí k puede ser cualquier número real y 1 ≤  p  ≤ ∞. (Para p  = ∞ el espacio de Sobolev se define como el espacio de Hölder C ^{n ,α} donde k  =  n  + α y 0 < α ≤ 1.) El teorema de incrustación de Sobolev establece que si y entonces ${\displaystyle W^{k,p}}$ ${\displaystyle W^{k,\infty }}$ ${\displaystyle k\geqslant m}$ ${\displaystyle k-{\tfrac {n}{p}}\geqslant m-{\tfrac {n}{q}}}$

${\displaystyle W^{k,p}\subseteq W^{m,q}}$

y la incrustación es continua. Además, si y entonces, la incrustación es completamente continua (esto a veces se denomina teorema de Kondrachov o teorema de Rellich-Kondrachov ). Las funciones en tienen todas las derivadas de orden menor que m continuas, por lo que, en particular, esto da condiciones en los espacios de Sobolev para que varias derivadas sean continuas. Informalmente, estas incorporaciones dicen que convertir una estimación de L ^p en una estimación de acotación cuesta 1/ p de derivadas por dimensión. ${\displaystyle k>m}$ ${\displaystyle k-{\tfrac {n}{p}}>m-{\tfrac {n}{q}}}$ ${\displaystyle W^{m,\infty }}$

Existen variaciones similares del teorema de incrustación para variedades no compactas como (Stein 1970). Las incrustaciones de Sobolev que no son compactas a menudo tienen una propiedad relacionada, pero más débil, de cocopacidad . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Ver también

• mapeo de sobolev
• Espacio Souček
• espacio de besov

Notas

1. Evans 2010, Capítulo 5.2
2. Adams y Fournier 2003
3. Bergh y Löfström 1976
4. Triebel 1995
5. Almeida y Samko han introducido de forma independiente los espacios potenciales de Bessel con integrabilidad variable (A. Almeida y S. Samko, "Caracterización de los potenciales de Riesz y Bessel en espacios variables de Lebesgue ", J. Function Spaces Appl. 4 (2006), no. 2, 113–144) y Gurka, Harjulehto & Nekvinda (P. Gurka, P. Harjulehto y A. Nekvinda: "Bessel potenciales espacios con exponente variable", Math. Inequal. Appl. 10 (2007), no. 3, 661 –676).
6. Lunardi 1995
7. En la literatura, los espacios fraccionarios de tipo Sobolev también se denominan espacios de Aronszajn , espacios de Gagliardo o espacios de Slobodeckij , por los nombres de los matemáticos que los introdujeron en la década de 1950: N. Aronszajn ("Valores límite de funciones con integral finita de Dirichlet ", Techn. Report of Univ. of Kansas 14 (1955), 77–94), E. Gagliardo ("Proprietà di alcune classi di funzioni in più variabili", Ricerche Mat. 7 (1958), 102–137) y LN Slobodeckij. ("Espacios generalizados de Sobolev y sus aplicaciones a problemas de valores en la frontera de ecuaciones diferenciales parciales", Leningrado. Gos. Ped. Inst. Učep. Zap. 197 (1958), 54-112).
8. Di Nezza, Eleonora; Palatucci, Giampiero; Valdinoci, Enrico (1 de julio de 2012). "Guía del autoestopista de los espacios fraccionarios de Sobolev". Boletín de Ciencias Matemáticas . 136 (5): 521–573. arXiv : 1104.4345 . doi : 10.1016/j.bulsci.2011.12.004 . ISSN  0007-4497.

Referencias

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enlaces externos

• Eleonora Di Nezza, Giampiero Palatucci, Enrico Valdinoci (2011). "Guía del autoestopista de los espacios fraccionarios de Sobolev".