Incorporación de Cocompact

En matemáticas, las incrustaciones cocompactas son incrustaciones de espacios vectoriales normados que poseen una cierta propiedad similar a la compacidad pero más débil que ella . La cocompactitud se ha utilizado en el análisis matemático desde la década de 1980, sin que se la haya mencionado con ningún nombre ^[1] (Lema 6), ^[2] (Lema 2.5), ^[3] (Teorema 1), o con apodos ad hoc como lema de desaparición o incrustación inversa . ^[4]

La propiedad de cocompactitud permite verificar la convergencia de secuencias, basándose en la invariancia traslacional o de escala en el problema, y ​​se considera habitualmente en el contexto de los espacios de Sobolev . El término incrustación cocompacta se inspira en la noción de espacio topológico cocompacto .

Definiciones

Sea un grupo de isometrías en un espacio vectorial normado . Se dice que una sucesión converge a -débilmente, si para cada sucesión , la sucesión es débilmente convergente a cero. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{k})\subset X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (g_{k})\subset G}$ ${\displaystyle g_{k}(x_{k}-x)}$

Una incrustación continua de dos espacios vectoriales normados se denomina cocompacta en relación con un grupo de isometrías en si cada secuencia -débilmente convergente es convergente en . ^[5] ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (x_{k})\subset X}$ ${\displaystyle Y}$

Un ejemplo elemental: la cocompacto para ℓ ∞ ↪ ℓ ∞ {\displaystyle \ell ^{\infty }\hookrightarrow \ell ^{\infty }}

La incrustación del espacio en sí mismo es cocompacta en relación con el grupo de desplazamientos . De hecho, si , , es una secuencia -débilmente convergente a cero, entonces para cualquier elección de . En particular, se puede elegir tal que , lo que implica que en . ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (x_{n})\mapsto (x_{n-j}),j\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (x_{n})^{(k)}}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x_{n_{k}}^{(k)}\to 0}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle 2|x_{n_{k}}^{(k)}|\geq \sup _{n}|x_{n}^{(k)}|=\|(x_{n})^{(k)}\|_{\infty }}$ ${\displaystyle (x_{n})^{(k)}\to 0}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Algunas incrustaciones conocidas que son cocompactas pero no compactas

• ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} )\hookrightarrow \ell ^{q}(\mathbb {Z} )}$, , relativo a la acción de las traducciones sobre : ^[6] . ${\displaystyle q<p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (x_{n})\mapsto (x_{n-j}),j\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle H^{1,p}(\mathbb {R} ^{N})\hookrightarrow L^{q}(\mathbb {R} ^{N})}$, , , relativo a las acciones de las traducciones en . ^[1] ${\displaystyle p<q<{\frac {pN}{N-p}}}$ ${\displaystyle N>p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$
• ${\displaystyle {\dot {H}}^{1,p}(\mathbb {R} ^{N})\hookrightarrow L^{\frac {pN}{N-p}}(\mathbb {R} ^{N})}$, , relativo al grupo de productos de acciones de dilataciones y traslaciones en . ^{[2] [3] [6]} ${\displaystyle N>p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$
• Incrustaciones del espacio de Sobolev en el caso de Moser-Trudinger en el espacio de Orlicz correspondiente . ^[7]
• Incrustaciones de espacios de Besov y Triebel-Lizorkin. ^[8]
• Incrustaciones de espacios de Strichartz . ^[4]

Referencias

1. E. Lieb, Sobre el valor propio más bajo del laplaciano para la intersección de dos dominios. Invent. Math. 74 (1983), 441–448.
2. V. Benci, G. Cerami, Existencia de soluciones positivas de la ecuación −Δu+a(x)u=u( ^N+2)/(N−2) en R ^N , J. Funct. Anal. 88 (1990), no. 1, 90–117.
3. S. Solimini, Una nota sobre propiedades de tipo compacidad con respecto a las normas de Lorentz de subconjuntos acotados de un espacio de Sobolev. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 12 (1995), 319–337.
4. Terence Tao, Una compactificación pseudoconforme de la ecuación no lineal de Schrödinger y aplicaciones, New York J. Math. 15 (2009), 265–282.
5. C. Tintarev, Análisis de concentración y compacidad, en: Adimuri, K. Sandeep, I. Schindler, C. Tintarev, editores, Análisis de concentración y aplicaciones al taller ICTS de PDE, Bangalore, enero de 2012, ISBN  978-3-0348-0372-4 , Birkhäuser, Tendencias en matemáticas (2013), 117–141.
6. S. Jaffard, Análisis de la falta de compacidad en las incrustaciones críticas de Sobolev. J. Funct. Anal. 161 (1999).
7. Adimurthi, C. Tintarev, Sobre la compacidad en la desigualdad Trudinger-Moser, Annali SNS Pisa Cl. Ciencia. (5) vol. XIII (2014), 1–18.
8. H. Bahouri, A. Cohen, G. Koch, Una descomposición de perfil general basada en wavelets en la incrustación crítica de espacios funcionales, Confluentes Matematicae 3 (2011), 387–411.