operador de Laplace

Operador diferencial

En matemáticas , el operador de Laplace o laplaciano es un operador diferencial dado por la divergencia del gradiente de una función escalar en el espacio euclidiano . Generalmente se indica con los símbolos , (donde está el operador nabla ) o . En un sistema de coordenadas cartesiano , el laplaciano viene dado por la suma de las segundas derivadas parciales de la función con respecto a cada variable independiente . En otros sistemas de coordenadas , como las coordenadas cilíndricas y esféricas , el laplaciano también tiene una forma útil. Informalmente, el Δ f  ( p ) laplaciano de una función f en un punto p mide en qué medida se desvía de f  ( p ) el valor promedio de f sobre pequeñas esferas o bolas centradas en p . ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \Delta }$

El operador de Laplace lleva el nombre del matemático francés Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), quien fue el primero en aplicarlo al estudio de la mecánica celeste : el laplaciano del potencial gravitacional debido a una distribución de densidad de masa dada es un múltiplo constante de esa distribución de densidad. Las soluciones de la ecuación de Laplace Δ f = 0 se denominan funciones armónicas y representan los posibles potenciales gravitacionales en regiones de vacío .

El laplaciano aparece en muchas ecuaciones diferenciales que describen fenómenos físicos. La ecuación de Poisson describe los potenciales eléctrico y gravitacional ; la ecuación de difusión describe el flujo de calor y fluido ; la ecuación de onda describe la propagación de la onda ; y la ecuación de Schrödinger describe la función de onda en la mecánica cuántica . En el procesamiento de imágenes y la visión por computadora , el operador laplaciano se ha utilizado para diversas tareas, como la detección de manchas y bordes . El laplaciano es el operador elíptico más simple y está en el centro de la teoría de Hodge , así como de los resultados de la cohomología de De Rham .

Definición

El operador de Laplace es un operador diferencial de segundo orden en el espacio euclidiano de n dimensiones , definido como la divergencia ( ) del gradiente ( ). Por lo tanto, si es una función de valor real dos veces diferenciable , entonces el laplaciano de es la función de valor real definida por: ${\displaystyle \nabla \cdot }$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

donde las últimas notaciones derivan de la escritura formal:

$${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right).}$$

fderivadas parciales sin mezclarcoordenadas cartesianas x _i

Como operador diferencial de segundo orden, el operador de Laplace asigna funciones C k a funciones C ^{k −2} para k ≥ 2 . Es un operador lineal Δ : C ^k ( R ⁿ ) → C ^{k −2} ( R ⁿ ) , o más generalmente, un operador Δ : C ^k (Ω) → C ^{k −2} (Ω) para cualquier conjunto abierto Ω ⊆ R ⁿ .

Motivación

Difusión

En la teoría física de la difusión , el operador de Laplace surge naturalmente en la descripción matemática del equilibrio . ^[1] Específicamente, si u es la densidad en equilibrio de alguna cantidad, como una concentración química, entonces el flujo neto de u a través del límite ∂ V de cualquier región suave V es cero, siempre que no haya una fuente o un sumidero dentro de V :

$${\displaystyle \int _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,}$$

nalV.teorema de la divergencia

$${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.}$$

Dado que esto es válido para todas las regiones suaves V , se puede demostrar que implica:

$${\displaystyle \operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0.}$$

Δ u = 0ecuación de Laplace

El propio operador de Laplace tiene una interpretación física para la difusión fuera de equilibrio como la medida en que un punto representa una fuente o sumidero de concentración química, en un sentido preciso mediante la ecuación de difusión . Esta interpretación del laplaciano también se explica por el siguiente hecho sobre los promedios.

Promedios

Dados una función dos veces continuamente diferenciable y un punto . Entonces, el valor promedio de sobre la pelota con radio centrado en es: ^[2] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\overline {f}}_{B}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2(n+2)}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0}$$

De manera similar, el valor promedio de sobre la esfera (el límite de una bola) con radio centrado en es: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\overline {f}}_{S}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2n}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0.}$$

Densidad asociada a un potencial.

Si φ denota el potencial electrostático asociado a una distribución de carga q , entonces la distribución de carga en sí misma viene dada por el negativo del Laplaciano de φ :

$${\displaystyle q=-\varepsilon _{0}\Delta \varphi ,}$$

ε ₀constante eléctrica

Esto es una consecuencia de la ley de Gauss . De hecho, si V es una región suave con límite ∂ V , entonces, según la ley de Gauss, el flujo del campo electrostático E a través del límite es proporcional a la carga encerrada:

$${\displaystyle \int _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E} \,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$

teorema de la divergencia

$${\displaystyle -\int _{V}\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )\,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$

Dado que esto es válido para todas las regiones V , debemos tener

$${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}q}$$

El mismo enfoque implica que el negativo del laplaciano del potencial gravitacional es la distribución de masa . A menudo se da la distribución de carga (o masa) y se desconoce el potencial asociado. Encontrar la función potencial sujeta a condiciones de contorno adecuadas equivale a resolver la ecuación de Poisson .

Minimización de energía

Otra motivación para que el laplaciano aparezca en física es que las soluciones a Δ f = 0 en una región U son funciones que hacen que la energía de Dirichlet sea funcional y estacionaria :

$${\displaystyle E(f)={\frac {1}{2}}\int _{U}\lVert \nabla f\rVert ^{2}\,dx.}$$

Para ver esto, supongamos que f  : U → R es una función y u  : U → R es una función que desaparece en el límite de U . Entonces:

$${\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\,\Delta f\,dx}$$

donde la última igualdad sigue usando la primera identidad de Green . Este cálculo muestra que si Δ f = 0 , entonces E es estacionario alrededor de f . Por el contrario, si E es estacionario alrededor de f , entonces Δ f = 0 según el lema fundamental del cálculo de variaciones .

Expresiones de coordenadas

Dos dimensiones

El operador de Laplace en dos dimensiones viene dado por:

En coordenadas cartesianas ,

$${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$$

xeylas coordenadas cartesianasxy

En coordenadas polares ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}},\end{aligned}}}$$

rθ

Tres dimensiones

En tres dimensiones, es común trabajar con el laplaciano en una variedad de sistemas de coordenadas diferentes.

En coordenadas cartesianas ,

$${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

En coordenadas cilíndricas ,

$${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},}$$

φla ${\displaystyle \rho }$

En coordenadas esféricas :

$${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$

$${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(rf)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$

$${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$

φángulo azimutalθángulo cenitalco-latitud

En coordenadas curvilíneas generales ( ξ ¹ , ξ ² , ξ ³ ):

$${\displaystyle \Delta =\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{m}}}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}\right),}$$

donde está implícita la suma de los índices repetidos , g ^mn es el tensor métrico inverso y Γ ^l _mn son los símbolos de Christoffel para las coordenadas seleccionadas.

N dimensiones

En coordenadas curvilíneas arbitrarias en N dimensiones ( ξ ¹ , ..., ξ ^N ), podemos escribir el laplaciano en términos del tensor métrico inverso ,: ${\displaystyle g^{ij}}$

$${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\left({\sqrt {\det g}}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\right),}$$

Weyl ^[3]divergencia

En coordenadas esféricas en N dimensiones , con la parametrización x = rθ ∈ R ^N donde r representa un radio real positivo y θ un elemento de la esfera unitaria S ^{N −1} ,

$${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}$$

Δ _{S ^{N −1}}operador de Laplace-Beltrami( N − 1)

$${\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right).}$$

Como consecuencia, el laplaciano esférico de una función definida en S ^{N −1} ⊂ R ^N puede calcularse como el laplaciano ordinario de la función extendida a R ^N ∖{0} de modo que sea constante a lo largo de los rayos, es decir, homogéneo de grado. cero.

invariancia euclidiana

El laplaciano es invariante ante todas las transformaciones euclidianas : rotaciones y traslaciones . En dos dimensiones, por ejemplo, esto significa que:

$${\displaystyle \Delta (f(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b))=(\Delta f)(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b)}$$

θab

$${\displaystyle \Delta (f\circ \rho )=(\Delta f)\circ \rho }$$

ρ

$${\displaystyle \Delta (f\circ \tau )=(\Delta f)\circ \tau }$$

τρtransformación ortogonalreflexión

De hecho, el álgebra de todos los operadores diferenciales lineales escalares, con coeficientes constantes, que conmutan con todas las transformaciones euclidianas, es el álgebra polinomial generada por el operador de Laplace.

Teoría espectral

El espectro del operador de Laplace consta de todos los valores propios λ para los cuales existe una función propia f correspondiente con:

$${\displaystyle -\Delta f=\lambda f.}$$

Esto se conoce como ecuación de Helmholtz .

Si Ω es un dominio acotado en R ⁿ , entonces las funciones propias del laplaciano son una base ortonormal para el espacio de Hilbert L ² (Ω) . Este resultado se deriva esencialmente del teorema espectral sobre operadores compactos autoadjuntos , aplicado a la inversa del laplaciano (que es compacto, por la desigualdad de Poincaré y el teorema de Rellich-Kondrachov ). ^[4] También se puede demostrar que las funciones propias son funciones infinitamente diferenciables . ^[5] De manera más general, estos resultados son válidos para el operador de Laplace-Beltrami en cualquier variedad riemanniana compacta con frontera, o incluso para el problema de valores propios de Dirichlet de cualquier operador elíptico con coeficientes suaves en un dominio acotado. Cuando Ω es la n -esfera , las funciones propias del laplaciano son los armónicos esféricos .

Vector laplaciano

El operador vectorial de Laplace , también indicado por , es un operador diferencial definido sobre un campo vectorial . ^[6] El vector laplaciano es similar al escalar laplaciano; mientras que el escalar laplaciano se aplica a un campo escalar y devuelve una cantidad escalar, el vector laplaciano se aplica a un campo vectorial y devuelve una cantidad vectorial. Cuando se calcula en coordenadas cartesianas ortonormales , el campo vectorial devuelto es igual al campo vectorial del escalar laplaciano aplicado a cada componente vectorial. ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

El vector laplaciano de un campo vectorial se define como ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ).}$$

En coordenadas cartesianas , esto se reduce a una forma mucho más simple como

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z}),}$$

Producto triple vectorial ${\displaystyle A_{x}}$ ${\displaystyle A_{y}}$ ${\displaystyle A_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Para expresiones del vector laplaciano en otros sistemas de coordenadas, consulte Del en coordenadas cilíndricas y esféricas .

Generalización

El laplaciano de cualquier campo tensorial ("tensor" incluye escalar y vector) se define como la divergencia del gradiente del tensor: ${\displaystyle \mathbf {T} }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} .}$$

Para el caso especial en el que es un escalar (un tensor de grado cero), el laplaciano adopta la forma familiar. ${\displaystyle \mathbf {T} }$

Si es un vector (un tensor de primer grado), el gradiente es una derivada covariante que da como resultado un tensor de segundo grado, y la divergencia de este vuelve a ser un vector. La fórmula para el vector laplaciano anterior se puede usar para evitar la matemática tensorial y se puede demostrar que es equivalente a la divergencia de la matriz jacobiana que se muestra a continuación para el gradiente de un vector: ${\displaystyle \mathbf {T} }$

$${\displaystyle \nabla \mathbf {T} =(\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z})={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}},{\text{ where }}T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{u}}{\partial v}}.}$$

Y, de la misma manera, un producto escalar , que se evalúa como un vector, de un vector por el gradiente de otro vector (un tensor de segundo grado) puede verse como un producto de matrices:

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}.}$$

Uso en física

Un ejemplo del uso del vector laplaciano son las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo incompresible newtoniano :

$${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right),}$$

de velocidadestensiones viscosas ${\displaystyle \mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right)}$

Otro ejemplo es la ecuación de onda del campo eléctrico que se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell en ausencia de cargas y corrientes:

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0.}$$

Esta ecuación también se puede escribir como:

$${\displaystyle \Box \,\mathbf {E} =0,}$$

$${\displaystyle \Box \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2},}$$

d'alembertianoecuación de Klein-Gordon

Generalizaciones

Se puede definir una versión del laplaciano siempre que la energía funcional de Dirichlet tenga sentido, que es la teoría de las formas de Dirichlet . Para espacios con estructura adicional, se pueden dar descripciones más explícitas del laplaciano, como sigue.

Operador de Laplace-Betrami

El laplaciano también se puede generalizar a un operador elíptico llamado operador de Laplace-Beltrami definido en una variedad de Riemann . El operador de Laplace-Beltrami, cuando se aplica a una función, es la traza ( tr ) del hessiano de la función :

$${\displaystyle \Delta f=\operatorname {tr} {\big (}H(f){\big )}}$$

tensor métricocampos tensoriales

Otra generalización del operador de Laplace que está disponible en variedades pseudo-riemannianas utiliza la derivada exterior , en términos de la cual el "laplaciano del geómetra" se expresa como

$${\displaystyle \Delta f=\delta df.}$$

Aquí δ es el codiferencial , que también se puede expresar en términos de la estrella de Hodge y la derivada exterior. Este operador difiere en signo del "laplaciano del analista" definido anteriormente. De manera más general, el laplaciano "Hodge" se define en formas diferenciales α por

$${\displaystyle \Delta \alpha =\delta d\alpha +d\delta \alpha .}$$

Esto se conoce como operador de Laplace-de Rham , que está relacionado con el operador de Laplace-Beltrami por la identidad Weitzenböck .

d'alembertiano

El laplaciano puede generalizarse de ciertas maneras a espacios no euclidianos , donde puede ser elíptico , hiperbólico o ultrahiperbólico .

En el espacio de Minkowski, el operador de Laplace-Beltrami se convierte en operador D'Alembert o D'Alembertian: ${\displaystyle \Box }$

$${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$

Es la generalización del operador de Laplace en el sentido de que es el operador diferencial que es invariante bajo el grupo de isometría del espacio subyacente y se reduce al operador de Laplace si se restringe a funciones independientes del tiempo. El signo general de la métrica se elige aquí de manera que las partes espaciales del operador admitan un signo negativo, lo cual es la convención habitual en la física de partículas de alta energía . El operador de D'Alembert también se conoce como operador de onda porque es el operador diferencial que aparece en las ecuaciones de onda , y también forma parte de la ecuación de Klein-Gordon , que se reduce a la ecuación de onda en el caso sin masa.

El factor adicional de c en la métrica es necesario en física si el espacio y el tiempo se miden en unidades diferentes; Se requeriría un factor similar si, por ejemplo, la dirección x se midiera en metros mientras que la dirección y se midiera en centímetros. De hecho, los físicos teóricos suelen trabajar en unidades tales que c = 1 para simplificar la ecuación.

El operador d'Alembert se generaliza a un operador hiperbólico en variedades pseudo-riemannianas .

Ver también

• Operador de Laplace-Beltrami , generalización a subvariedades en el espacio euclidiano y variedades riemannianas y pseudoriemannianas.
• El operador vectorial laplaciano , una generalización del laplaciano a campos vectoriales .
• El laplaciano en geometría diferencial .
• El operador discreto de Laplace es un análogo en diferencias finitas del laplaciano continuo, definido en gráficos y cuadrículas.
• El laplaciano es un operador común en el procesamiento de imágenes y la visión por computadora (ver el laplaciano de Gauss , detector de manchas y espacio de escala ).
• La lista de fórmulas en geometría de Riemann contiene expresiones para el laplaciano en términos de símbolos de Christoffel.
• Lema de Weyl (ecuación de Laplace) .
• El teorema de Earnshaw que muestra que la suspensión estática gravitacional, electrostática o magnética es imposible.
• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas .
• Otras situaciones en las que se define un laplaciano son: análisis sobre fractales , cálculo de escalas de tiempo y cálculo exterior discreto .

Notas

1. Evans 1998, §2.2
2. Ovall, Jeffrey S. (1 de marzo de 2016). «El laplaciano y los valores medios y extremos» (PDF) . El Mensual Matemático Estadounidense . 123 (3): 287–291. doi : 10.4169/amer.math.monthly.123.3.287. S2CID  124943537.
3. Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: Grinfeld, Pavel. "La fórmula Voss-Weyl". YouTube . Consultado el 9 de enero de 2018 .
4. Gilbarg y Trudinger 2001, teorema 8.6
5. Gilbarg y Trudinger 2001, Corolario 8.11
6. Mundo matemático. "Vector laplaciano".

Referencias

• Evans, L. (1998), Ecuaciones diferenciales parciales , Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-0772-9
• Las conferencias Feynman sobre física vol. II Cap. 12: Análogos electrostáticos
• Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Springer, ISBN 978-3-540-41160-4.
• Schey, HM (1996), Div, Grad, Curl y todo eso , WW Norton, ISBN 978-0-393-96997-9.

Otras lecturas

• El laplaciano - Richard Fitzpatrick 2006

enlaces externos

• "Operador de Laplace", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Laplaciano". MundoMatemático .
• Laplaciano en derivación de coordenadas polares
• Ecuaciones de Laplace sobre los cubos fractales y efecto Casimir