Transposición de un mapa lineal

Mapa inducido entre los espacios duales de los dos espacios vectoriales.

En álgebra lineal , la transpuesta de una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales, definida sobre el mismo campo , es una aplicación inducida entre los espacios duales de los dos espacios vectoriales. La transpuesta o adjunta algebraica de un mapa lineal se utiliza a menudo para estudiar el mapa lineal original. Este concepto se generaliza mediante funtores adjuntos .

Definición

Denotemos el espacio dual algebraico de un espacio vectorial Sea y espacios vectoriales sobre el mismo campo Si es un mapa lineal , entonces su adjunto algebraico o dual , ^[1] es el mapa definido por El funcional resultante se llama retroceso de por ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}.}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{\#}u:Y^{\#}\to X^{\#}}$ ${\displaystyle f\mapsto f\circ u.}$ ${\displaystyle {}^{\#}u(f):=f\circ u}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u.}$

El espacio dual continuo de un espacio vectorial topológico (TVS) se denota por Si y son TVS, entonces un mapa lineal es débilmente continuo si y solo si, en cuyo caso denotamos la restricción de a El mapa se llama transposición ^[2] o adjunto algebraico de La siguiente identidad caracteriza la transpuesta de : ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{\#}u\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime },}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle {}^{\#}u}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle u.}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle \left\langle {}^{t}u(f),x\right\rangle =\left\langle f,u(x)\right\rangle \quad {\text{ for all }}f\in Y^{\prime }{\text{ and }}x\in X,}$$

emparejamiento natural ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle z,h\right\rangle :=z(h).}$

Propiedades

La asignación produce un mapa lineal inyectivo entre el espacio de operadores lineales de a y el espacio de operadores lineales de a Si entonces el espacio de mapas lineales es un álgebra bajo composición de mapas , y la asignación es entonces un antihomomorfismo de álgebras, lo que significa que En el lenguaje de la teoría de categorías , tomar el dual de espacios vectoriales y la transpuesta de aplicaciones lineales es, por tanto, un functor contravariante de la categoría de espacios vectoriales hacia sí mismo. Uno puede identificarse con el uso de la inyección natural en el doble dual. ${\displaystyle u\mapsto {}^{t}u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle {}^{t}(uv)={}^{t}v{}^{t}u.}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {}^{t}\left({}^{t}u\right)}$ ${\displaystyle u}$

• Si y son mapas lineales entonces ^[4] ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle v:Y\to Z}$ ${\displaystyle {}^{t}(v\circ u)={}^{t}u\circ {}^{t}v}$
• Si es un isomorfismo del espacio vectorial ( sobreyectivo ) entonces también lo es la transpuesta ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }.}$
• Si y son espacios normados entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \|x\|=\sup _{\|x^{\prime }\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|\quad {\text{ for each }}x\in X}$$

norma del operador^{[5] [6]} ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle \|u\|=\left\|{}^{t}u\right\|,}$$

$${\displaystyle \|u\|=\sup \left\{\left|y^{\prime }(ux)\right|:\|x\|\leq 1,\left\|y^{*}\right\|\leq 1{\text{ where }}x\in X,y^{\prime }\in Y^{\prime }\right\}.}$$

polares

Supongamos ahora que es un operador lineal débilmente continuo entre espacios vectoriales topológicos y con espacios duales continuos y respectivamente. Denotemos el sistema dual canónico , definido por donde y se dice que son ortogonales si Para cualquier subconjunto y dejemos ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime },}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times X^{\prime }\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x=0.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle S^{\prime }\subseteq X^{\prime },}$

$${\displaystyle A^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}\qquad {\text{ and }}\qquad S^{\circ }=\left\{x\in X:\sup _{s^{\prime }\in S^{\prime }}\left|s^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}}$$

polar ( absolutode inde in ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

• Si y son conjuntos convexos y débilmente cerrados que contienen el origen, entonces implica ^[7] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }}$ ${\displaystyle u(A)\subseteq B.}$
• Si y entonces ^[4] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$

$${\displaystyle [u(A)]^{\circ }=\left({}^{t}u\right)^{-1}\left(A^{\circ }\right)}$$

$${\displaystyle u(A)\subseteq B\quad {\text{ implies }}\quad {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }.}$$

• Si y son localmente convexos entonces ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}u=\left(\operatorname {Im} u\right)^{\circ }.}$$

Aniquiladores

Supongamos que y son espacios vectoriales topológicos y es un operador lineal débilmente continuo (entonces ). Dados subconjuntos y definir sus aniquiladores (con respecto al sistema dual canónico) por ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle \left({}^{t}u\right)\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle N\subseteq X^{\prime },}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}M^{\bot }:&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}\\&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:x^{\prime }(M)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}x^{\prime }(M):=\left\{x^{\prime }(m):m\in M\right\}\end{alignedat}}}$

y

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{}^{\bot }N:&=\left\{x\in X:\left\langle x,n^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}n^{\prime }\in N\right\}\\&=\left\{x\in X:N(x)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}N(x):=\left\{n^{\prime }(x):n^{\prime }\in N\right\}\\\end{alignedat}}}$

• El núcleo de es el subespacio de ortogonal a la imagen de : ^[7] ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle \ker {}^{t}u=(\operatorname {Im} u)^{\bot }}$$

• El mapa lineal es inyectivo si y sólo si su imagen es un subconjunto débilmente denso de (es decir, la imagen de es densa cuando se le da la topología débil inducida por ). ^[7] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}u}$
• La transpuesta es continua cuando ambos y están dotados de la topología débil-* (resp. ambos dotados de la topología dual fuerte , ambos dotados de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos convexos compactos, ambos dotados de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos ). ^[8] ${\displaystyle {}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$
• ( Sobreyección de espacios de Fréchet ): Si y son espacios de Fréchet , entonces el operador lineal continuo es sobreyectivo si y sólo si (1) la transpuesta es inyectiva y (2) la imagen de la transpuesta de es débilmente cerrada (es decir , débil-* cerrado) subconjunto de ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Duales de espacios cocientes

Sea un subespacio vectorial cerrado de un espacio localmente convexo de Hausdorff y denotemos el mapa del cociente canónico por ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \pi :X\to X/M\quad {\text{ where }}\quad \pi (x):=x+M.}$$

topología del cociente ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/M.}$ ${\displaystyle M^{\bot }}$

$${\displaystyle {}^{t}\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }\subseteq X^{\prime }}$$

isometría^[6] ${\displaystyle M^{\bot }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{t}\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M^{\bot }}$ ${\displaystyle M.}$

Duales de subespacios vectoriales

Sea un subespacio vectorial cerrado de un espacio localmente convexo de Hausdorff. Si y si es una extensión lineal continua de to entonces la asignación induce un isomorfismo en el espacio vectorial ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle m^{\prime }\in M^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle m^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m^{\prime }\mapsto x^{\prime }+M^{\bot }}$

$${\displaystyle M^{\prime }\to X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right),}$$

^[6] ${\displaystyle X}$

Denota el mapa de inclusión por

$${\displaystyle \operatorname {In} :M\to X\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {In} (m):=m\quad {\text{ for all }}m\in M.}$$

$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :X^{\prime }\to M^{\prime }}$$

teorema de Hahn-Banach ${\displaystyle M^{\bot }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}}$

$${\displaystyle X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right)\to M^{\prime }.}$$

Representación como matriz

Si el mapa lineal está representado por la matriz con respecto a dos bases de y luego está representado por la matriz transpuesta con respecto a las bases duales de y de ahí el nombre. Alternativamente, como se representa actuando hacia la derecha sobre los vectores columna, se representa mediante la misma matriz actuando hacia la izquierda sobre los vectores fila. Estos puntos de vista están relacionados por el producto interno canónico en el que se identifica el espacio de los vectores columna con el espacio dual de los vectores fila. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle A^{T}}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Relación con el adjunto hermitiano

La identidad que caracteriza a la transpuesta, es decir, es formalmente similar a la definición del adjunto hermitiano , sin embargo, la transpuesta y el adjunto hermitiano no son el mismo mapa. La transpuesta es un mapa y está definida para mapas lineales entre cualquier espacio vectorial y sin requerir ninguna estructura adicional. El adjunto hermitiano se asigna y solo se define para aplicaciones lineales entre espacios de Hilbert, ya que se define en términos del producto interno en el espacio de Hilbert. Por lo tanto, el adjunto hermitiano requiere más estructura matemática que la transpuesta. ${\displaystyle \left[u^{*}(f),x\right]=[f,u(x)],}$ ${\displaystyle Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y\to X}$

Sin embargo, la transpuesta se usa a menudo en contextos donde los espacios vectoriales están equipados con una forma bilineal no degenerada, como el producto escalar euclidiano u otro producto interno real . En este caso, la forma bilineal no degenerada a menudo se usa implícitamente para mapear entre los espacios vectoriales y sus duales, para expresar el mapeo transpuesto como un mapeo. Para un espacio de Hilbert complejo, el producto interno es sesquilineal y no bilineal, y estas conversiones cambian el transponer al mapa adjunto. ${\displaystyle Y\to X.}$

Más precisamente: si y son espacios de Hilbert y es un mapa lineal, entonces la transpuesta de y el adjunto hermitiano denotaremos respectivamente por y están relacionados. Denota por y las isometrías antilineales canónicas de los espacios de Hilbert y sobre sus duales. Entonces queda la siguiente composición de mapas: ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle u^{*},}$ ${\displaystyle I:X\to X^{*}}$ ${\displaystyle J:Y\to Y^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u^{*}}$

${\displaystyle Y{\overset {J}{\longrightarrow }}Y^{*}{\overset {{}^{\text{t}}u}{\longrightarrow }}X^{*}{\overset {I^{-1}}{\longrightarrow }}X}$

Aplicaciones al análisis funcional.

Supongamos que y son espacios vectoriales topológicos y que es un mapa lineal, entonces muchas de las propiedades de se reflejan en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {}^{t}u.}$

• Si y son conjuntos convexos débilmente cerrados que contienen el origen, entonces implica ^[4] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }}$ ${\displaystyle u(A)\subseteq B.}$
• El espacio nulo de es el subespacio de ortogonal al rango de ^[4] ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle u(X)}$ ${\displaystyle u.}$
• ${\displaystyle {}^{t}u}$es inyectivo si y sólo si el rango de está débilmente cerrado. ^[4] ${\displaystyle u(X)}$ ${\displaystyle u}$

Ver también

• Funtores adjuntos  : relación entre dos funtores que abstraen muchas construcciones comunes
• Operador de composición  : operador lineal en matemáticas
• Adjunto hermitiano  : transposición conjugada de un operador en dimensiones infinitas
• Teorema de representación de Riesz  - Teorema sobre el dual de un espacio de Hilbert
• Espacio dual § Transposición de un mapa lineal
• Transponer § Transponer un mapa lineal

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, pág. 128.
2. Tréves 2006, pag. 240.
3. Halmos (1974, §44)
4. Schaefer y Wolff 1999, págs. 129-130
5. Trèves 2006, págs. 240-252.
6. Rudin 1991, págs. 92-115.
7. Schaefer y Wolff 1999, págs.
8. Trèves 2006, págs. 199-200.
9. Trèves 2006, págs. 382–383.
10. Tréves 2006, pag. 488.

Bibliografía

• Halmos, Paul (1974), Espacios vectoriales de dimensión finita , Springer, ISBN 0-387-90093-4
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.