En matemáticas , el paquete canónico de una variedad algebraica no singular de dimensión sobre un campo es el paquete de líneas , que es la enésima potencia exterior del paquete cotangente en .
Sobre los números complejos , es el paquete determinante del paquete cotangente holomorfo . De manera equivalente, es el paquete de líneas de n -formas holomorfas en . Este es el objeto dualizador de la dualidad de Serre en . También puede considerarse como una gavilla invertible .
La clase canónica es la clase divisoria de un divisor de Cartier al dar lugar al paquete canónico; es una clase de equivalencia para equivalencia lineal en , y cualquier divisor que contenga puede denominarse divisor canónico . Un divisor anticanónico es cualquier divisor - con canónico.
El paquete anticanónico es el paquete inverso correspondiente . Cuando el haz de anticanónicos es amplio , se llama variedad Fano .
Supongamos que X es una variedad suave y que D es un divisor suave de X. La fórmula adjunta relaciona los paquetes canónicos de X y D. Es un isomorfismo natural.
En términos de clases canónicas, es
Esta fórmula es una de las más poderosas de la geometría algebraica. Una herramienta importante de la geometría biracional moderna es la inversión de adjunción , que permite deducir resultados sobre las singularidades de X a partir de las singularidades de D.
Sobre una variedad singular , existen varias formas de definir el divisor canónico. Si la variedad es normal, es lisa en codimensión uno. En particular, podemos definir el divisor canónico en el lugar geométrico suave. Esto nos da una clase de divisor Weil única en . Es esta clase, denotada por, la que se conoce como divisor canónico en
Alternativamente, nuevamente en una variedad normal , se puede considerar la 'ésima cohomología del complejo dualizante normalizado de . Esta gavilla corresponde a una clase de divisor Weil , que es igual a la clase de divisor definida anteriormente. En ausencia de la hipótesis de normalidad, el mismo resultado es válido si S2 y Gorenstein están en la dimensión uno.
Si la clase canónica es efectiva , entonces determina una aplicación racional desde V al espacio proyectivo. Este mapa se llama mapa canónico . La aplicación racional determinada por el n- ésimo múltiplo de la clase canónica es la aplicación n -canónica . El mapa n -canónico envía V a un espacio proyectivo de dimensión uno menor que la dimensión de las secciones globales del n- ésimo múltiplo de la clase canónica. Los mapas n -canónicos pueden tener puntos base, lo que significa que no están definidos en todas partes (es decir, pueden no ser un morfismo de variedades). Pueden tener fibras de dimensiones positivas, e incluso si tienen fibras de dimensión cero, no es necesario que sean isomorfismos analíticos locales.
El caso mejor estudiado es el de las curvas. Aquí, el paquete canónico es el mismo que el paquete cotangente (holomórfico) . Por tanto, una sección global del paquete canónico es lo mismo que una forma diferencial regular en todas partes. Clásicamente se les llamaba diferenciales del primer tipo . El grado de la clase canónica es 2 g − 2 para una curva de género g . [1]
Supongamos que C es una curva algebraica suave de género g . Si g es cero, entonces C es P 1 y la clase canónica es la clase de −2 P , donde P es cualquier punto de C . Esto se desprende de la fórmula de cálculo d (1/ t ) = − dt / t 2 , por ejemplo, un diferencial meromórfico con doble polo en el origen en la esfera de Riemann . En particular, K C y sus múltiplos no son eficaces. Si g es uno, entonces C es una curva elíptica y K C es el paquete trivial. Las secciones globales del paquete trivial forman un espacio vectorial unidimensional, por lo que el mapa n -canónico para cualquier n es el mapa de un punto.
Si C tiene género dos o más, entonces la clase canónica es grande , por lo que la imagen de cualquier mapa n -canónico es una curva. La imagen del mapa 1-canónico se llama curva canónica . Una curva canónica de género g siempre se encuentra en un espacio proyectivo de dimensión g − 1 . [2] Cuando C es una curva hiperelíptica , la curva canónica es una curva normal racional , y C una doble cobertura de su curva canónica. Por ejemplo, si P es un polinomio de grado 6 (sin raíces repetidas), entonces
es una representación curva afín de una curva de género 2, necesariamente hiperelíptica, y una base de los diferenciales del primer tipo viene dada en la misma notación por
Esto significa que el mapa canónico está dado por coordenadas homogéneas [1: x ] como un morfismo de la línea proyectiva. La curva normal racional para curvas hiperelípticas de género superior surge de la misma manera con monomios de mayor potencia en x .
De lo contrario, para C no hiperelíptico, lo que significa que g es al menos 3, el morfismo es un isomorfismo de C con su imagen, que tiene grado 2 g − 2. Así, para g = 3, las curvas canónicas (caso no hiperelíptico) son cuárticas. curvas planas . Todas las cuárticas planas no singulares surgen de esta manera. Hay información explícita para el caso g = 4, cuando una curva canónica es una intersección de una superficie cuádrica y una cúbica ; y para g = 5 cuando es una intersección de tres cuádricas. [2] Existe lo contrario, que es un corolario del teorema de Riemann-Roch : una curva no singular C de género g incrustada en un espacio proyectivo de dimensión g − 1 como una curva linealmente normal de grado 2 g − 2 es una curva canónica, siempre que su tramo lineal sea todo el espacio. De hecho, la relación entre las curvas canónicas C (en el caso no hiperelíptico de g al menos 3), Riemann-Roch y la teoría de divisores especiales es bastante estrecha. Los divisores efectivos D sobre C que constan de puntos distintos tienen un tramo lineal en la incrustación canónica con dimensión directamente relacionada con la del sistema lineal en el que se mueven; y con un poco más de discusión esto se aplica también al caso de puntos con multiplicidades. [3] [4]
Hay disponible información más refinada para valores mayores de g , pero en estos casos las curvas canónicas generalmente no son intersecciones completas y la descripción requiere más consideración del álgebra conmutativa . El campo comenzó con el teorema de Max Noether : la dimensión del espacio de cuádricas que pasa por C incrustado como curva canónica es ( g − 2)( g − 3)/2. [5] El teorema de Petri , frecuentemente citado con este nombre y publicado en 1923 por Karl Petri (1881-1955), establece que para g al menos 4 el ideal homogéneo que define la curva canónica es generado por sus elementos de grado 2, excepto el casos de (a) curvas trigonales y (b) quinticas planas no singulares cuando g = 6. En los casos excepcionales, el ideal es generado por los elementos de grados 2 y 3. Históricamente hablando, este resultado se conocía en gran medida antes de Petri, y ha sido llamado teorema de Babbage-Chisini-Enriques (por Dennis Babbage que completó la demostración, Oscar Chisini y Federigo Enriques ). La terminología es confusa, ya que el resultado también se denomina teorema de Noether-Enriques . Fuera de los casos hiperelípticos, Noether demostró que (en lenguaje moderno) el paquete canónico se genera normalmente : las potencias simétricas del espacio de secciones del paquete canónico se asignan a las secciones de sus potencias tensoriales. [6] [7] Esto implica, por ejemplo, la generación de diferenciales cuadráticos en tales curvas mediante los diferenciales del primer tipo; y esto tiene consecuencias para el teorema local de Torelli. [8] El trabajo de Petri en realidad proporcionó generadores explícitos cuadráticos y cúbicos del ideal, mostrando que, salvo excepciones, los cúbicos podían expresarse en términos de cuadráticas. En los casos excepcionales, la intersección de las cuádricas a través de la curva canónica es respectivamente una superficie reglada y una superficie veronesa .
Estos resultados clásicos se demostraron en números complejos, pero la discusión moderna muestra que las técnicas funcionan en campos de cualquier característica. [9]
El anillo canónico de V es el anillo graduado.
Si la clase canónica de V es un paquete de líneas amplio , entonces el anillo canónico es el anillo de coordenadas homogéneo de la imagen del mapa canónico. Esto puede ser cierto incluso cuando la clase canónica de V no es amplia. Por ejemplo, si V es una curva hiperelíptica, entonces el anillo canónico es nuevamente el anillo de coordenadas homogéneo de la imagen del mapa canónico. En general, si el anillo anterior se genera de forma finita, entonces es elemental ver que es el anillo de coordenadas homogéneo de la imagen de un k -mapa canónico, donde k es cualquier entero positivo suficientemente divisible.
El programa del modelo mínimo proponía que el anillo canónico de cada variedad proyectiva suave o ligeramente singular se generara de forma finita. En particular, se sabía que esto implicaba la existencia de un modelo canónico , un modelo biracional particular de V con singularidades leves que podría construirse derribando V. Cuando el anillo canónico se genera de forma finita, el modelo canónico es Proj del anillo canónico. Si el anillo canónico no se genera de forma finita, entonces Proj R no es una variedad y, por tanto, no puede ser birracional con V ; en particular, V no admite ningún modelo canónico.
Un teorema fundamental de Birkar-Cascini-Hacon-McKernan de 2006 [10] es que el anillo canónico de una variedad algebraica proyectiva suave o ligeramente singular se genera de forma finita.
La dimensión Kodaira de V es la dimensión del anillo canónico menos uno. Aquí la dimensión del anillo canónico puede entenderse como dimensión de Krull o grado de trascendencia .
