Teoría de Brill-Noether

En geometría algebraica , la teoría de Brill-Noether , introducida por Alexander von Brill y Max Noether (1874), es el estudio de los divisores especiales , ciertos divisores en una curva $C que determinan funciones más compatibles de lo que se podría predecir. En lenguaje clásico, los divisores especiales se mueven en la curva en un$ sistema lineal de divisores "más grande de lo esperado" .

En este artículo, consideramos una curva suave proyectiva sobre los números complejos (o sobre algún otro campo algebraicamente cerrado ).

La condición para ser un divisor especial $D$ puede formularse en términos de cohomología de haces , como la no desaparición de la cohomología $H 1$ del haz de secciones del haz invertible o fibrado lineal asociado a $D$ . Esto significa que, por el teorema de Riemann-Roch , la cohomología $H$ $0$ o espacio de secciones holomorfas es mayor de lo esperado.

Alternativamente, por la dualidad de Serre , la condición es que existan diferenciales holomorfos con divisor $\geq - D$ en la curva.

Principales teoremas de la teoría de Brill-Noether

Para un género $g$ dado , el espacio de módulos para las curvas $C$ del género $g$ debería contener un subconjunto denso que parametrice esas curvas con el mínimo en forma de divisores especiales. Un objetivo de la teoría es "contar constantes" para esas curvas: predecir la dimensión del espacio de divisores especiales (hasta equivalencia lineal ) de un grado dado $d$ , como función de $g$ , que deben estar presentes en una curva de ese género.

El enunciado básico puede formularse en términos de la variedad de Picard $Pic(C)$ de una curva suave $C$ , y el subconjunto de $Pic(C)$ correspondiente a las clases divisorias de divisores $D$ , con valores dados $d$ de $deg(D)$ y $r$ de $l (D) - 1$ en la notación del teorema de Riemann-Roch . Existe un límite inferior $ρ$ para la dimensión $dim(d, r, g)$ de este subesquema en $Pic(C)$ :

\dim(d,r,g)\geq \rho =g-(r+1)(g-d+r)

Se denomina número de Brill-Noether . La fórmula se puede memorizar mediante la mnemotecnia (utilizando el número deseado y el de Riemann-Roch). $estilo de visualización h^{0}(D)=r+1}$

g-(r+1)(g-d+r)=gh^{0}(D)h^{1}(D)

Para curvas suaves $C$ y para $d \geq 1$ , $r \geq 0$ los resultados básicos sobre el espacio ⁠ ⁠ $Estilo de visualización G_{d}^{r}}$ de sistemas lineales en $C$ de grado $d$ y dimensión $r$ son los siguientes.

George Kempf demostró que si $ρ \geq 0$ entonces ⁠ ⁠ $Estilo de visualización G_{d}^{r}}$ no está vacío y cada componente tiene una dimensión al menos $ρ$ .
William Fulton y Robert Lazarsfeld demostraron que si $ρ \geq 1$ entonces ⁠ ⁠ $Estilo de visualización G_{d}^{r}}$ está conexo.
Griffiths y Harris (1980) demostraron que si $C$ es genérico entonces ⁠ ⁠ $Estilo de visualización G_{d}^{r}}$ se reduce y todos los componentes tienen dimensión exactamente $ρ$ (por lo que en particular ⁠ ⁠ $Estilo de visualización G_{d}^{r}}$ está vacío si $ρ < 0$ ).
David Gieseker demostró que si $C$ es genérico entonces ⁠ ⁠ $Estilo de visualización G_{d}^{r}}$ es suave. Por el resultado de conexidad esto implica que es irreducible si $ρ > 0$ .

Otros resultados más recientes no necesariamente en términos espaciales de sistemas lineales $Estilo de visualización G_{d}^{r}}$ son:

Eric Larson (2017) demostró que si $ρ \geq 0$ , $r \geq 3$ y $n \geq 1$ , los mapas de restricción son de rango máximo, también conocido como conjetura de rango máximo. ^[1]^[2] $H^{0}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(n))\rightarrow H^{0}({\mathcal {O}}_{C }(norte))$

Eric Larson e Isabel Vogt (2022) demostraron que si $ρ \geq 0$ entonces existe una curva $C$ que interpola a través de $n$ puntos generales en ⁠ ⁠ $\mathbb {P} ^{r}$ si y solo si excepto en 4 casos excepcionales: $($ $d$ $,$ $g$ $,$ $r$ $) \in {(5,2,3),(6,4,3),(7,2,5),(10,6,5)}.$ ^[3]^[4] $(r-1)n\leq (r+1)d-(r-3)(g-1),$

Referencias

Barbon, Andrea (2014). Teoría algebraica de Brill-Noether (PDF) (Tesis de maestría). Universidad Radboud de Nijmegen.
Arbarello, Enrico; Cornalba, Mauricio; Griffiths, Philip A.; Harris, Joe (1985). "Los resultados básicos de la teoría de Brill-Noether". Geometría de Curvas Algebraicas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 267. vol. Yo págs. 203-224. doi :10.1007/978-1-4757-5323-3_5. ISBN 0-387-90997-4.
von Brill, Alejandro; Noether, Max (1874). "Ueber die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie". Annalen Matemáticas . 7 (2): 269–316. doi :10.1007/BF02104804. JFM 06.0251.01. S2CID 120777748 . Consultado el 22 de agosto de 2009 .
Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1980). "Sobre la variedad de sistemas lineales especiales en una curva algebraica general". Duke Mathematical Journal . 47 (1): 233–272. doi :10.1215/s0012-7094-80-04717-1. MR 0563378.
Eduardo Casas-Alvero (2019). Curvas algebraicas, al estilo de Brill y Noether . Universitext. Springer. ISBN 9783030290153.
Philip A. Griffiths y Joe Harris (1994). Principios de geometría algebraica . Biblioteca Wiley Classics. Wiley Interscience. pág. 245. ISBN 978-0-471-05059-9.

Notas

^ Larson, Eric (18 de septiembre de 2018). "La conjetura del rango máximo". arXiv : 1711.04906 [math.AG].
^ Hartnett, Kevin (5 de septiembre de 2018). "Los modelos Tinkertoy producen nuevos conocimientos geométricos". Revista Quanta . Consultado el 28 de agosto de 2022 .
^ Larson, Eric; Vogt, Isabel (5 de mayo de 2022). "Interpolación para curvas de Brill-Noether". arXiv : 2201.09445 [math.AG].
^ "El viejo problema de las curvas algebraicas recae en manos de jóvenes matemáticos". Quanta Magazine . 2022-08-25 . Consultado el 2022-08-28 .