En física y matemáticas , un pseudotensor suele ser una cantidad que se transforma como un tensor bajo una transformación de coordenadas que conserva la orientación (por ejemplo, una rotación adecuada ), pero además cambia de signo bajo una transformación de coordenadas que invierte la orientación (por ejemplo, una rotación impropia ), que es una transformación que se puede expresar como una rotación propia seguida de una reflexión . Esta es una generalización de un pseudovector . Para evaluar un signo tensorial o pseudotensor hay que contraerlo con unos vectores, tantos como su rango , pertenecientes al espacio donde se realiza la rotación manteniendo inalteradas las coordenadas del tensor (a diferencia de lo que se hace en el caso de un cambio de base). Bajo rotación impropia, un pseudotensor y un tensor propio del mismo rango tendrán signo diferente, lo que depende de que el rango sea par o impar . A veces, la inversión de los ejes se utiliza como ejemplo de rotación impropia para ver el comportamiento de un pseudotensor, pero solo funciona si las dimensiones del espacio vectorial son impares; de lo contrario, la inversión es una rotación adecuada sin una reflexión adicional.
Existe un segundo significado para pseudotensor (y también para pseudovector ), restringido a la relatividad general . Los tensores obedecen estrictas leyes de transformación, pero los pseudotensores en este sentido no están tan restringidos. En consecuencia, la forma de un pseudotensor cambiará, en general, a medida que se altere el marco de referencia . Una ecuación que contiene pseudotensores que se cumple en un marco no necesariamente se cumplirá en un marco diferente. Esto hace que los pseudotensores tengan una relevancia limitada porque las ecuaciones en las que aparecen no tienen forma invariante .
Dos objetos matemáticos bastante diferentes se denominan pseudotensor en contextos diferentes.
El primer contexto es esencialmente un tensor multiplicado por un factor de signo adicional, de modo que el pseudotensor cambia de signo bajo reflexiones cuando un tensor normal no lo hace. Según una definición, un pseudotensor del tipo P es un objeto geométrico cuyos componentes de forma arbitraria se enumeran mediante índices y obedecen la regla de transformación.
Aquí están los componentes del pseudotensor en las bases nueva y antigua, respectivamente, es la matriz de transición para los índices contravariantes , es la matriz de transición para los índices covariantes , y esta regla de transformación difiere de la regla para un tensor ordinario solo por la presencia del factor
El segundo contexto donde se utiliza la palabra “pseudotensor” es la relatividad general . En esa teoría, no se puede describir la energía y el momento del campo gravitacional mediante un tensor de energía-momento. En cambio, se introducen objetos que se comportan como tensores sólo con respecto a transformaciones de coordenadas restringidas. Estrictamente hablando, estos objetos no son tensores en absoluto. Un ejemplo famoso de este tipo de pseudotensor es el pseudotensor de Landau-Lifshitz .
En variedades no orientables , no se puede definir una forma de volumen globalmente debido a la no orientabilidad, pero se puede definir un elemento de volumen , que es formalmente una densidad , y también puede denominarse forma de pseudovolumen , debido al signo adicional. giro (tensor con el haz de signos). El elemento de volumen es una densidad pseudotensor según la primera definición.
Se puede lograr un cambio de variables en la integración multidimensional mediante la incorporación de un factor del valor absoluto del determinante de la matriz jacobiana . El uso del valor absoluto introduce un cambio de signo para transformaciones de coordenadas inadecuadas para compensar la convención de mantener positivo el elemento de integración (volumen); como tal, un integrando es un ejemplo de densidad pseudotensor según la primera definición.
Los símbolos de Christoffel de una conexión afín en una variedad pueden considerarse como los términos de corrección de las derivadas parciales de una expresión de coordenadas de un campo vectorial con respecto a las coordenadas para convertirla en la derivada covariante del campo vectorial. Si bien la conexión afín en sí no depende de la elección de las coordenadas, sus símbolos de Christoffel sí lo hacen, lo que los convierte en una cantidad pseudotensor según la segunda definición.
