Homotetia

Operación de escala generalizada en geometría.

Homotetia: Ejemplo con Para uno se obtiene la identidad (no se mueve ningún punto), para una ampliación para una reducción ${\displaystyle k>0}$
${\displaystyle k=1}$
${\displaystyle k>1}$
${\displaystyle k<1}$

Ejemplo con Para uno se obtiene un punto de reflexión en el punto ${\displaystyle k<0}$
${\displaystyle k=-1}$ ${\displaystyle S}$

Homotetia de una pirámide

En matemáticas , una homotecia (u homotecia , u dilatación homogénea ) es una transformación de un espacio afín determinado por un punto S llamado su centro y un número distinto de cero llamado su razón , que envía punto a punto por la regla ^[1] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$

${\displaystyle {\overrightarrow {SX'}}=k{\overrightarrow {SX}}}$por un número fijo . ${\displaystyle k\neq 0}$

Usando vectores de posición:

${\displaystyle \mathbf {x} '=\mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$.

En el caso de (Origen): ${\displaystyle S=O}$

${\displaystyle \mathbf {x} '=k\mathbf {x} }$,

que es una escala uniforme y muestra el significado de opciones especiales para : ${\displaystyle k}$

para uno se obtiene el mapeo de identidad , ${\displaystyle k=1}$

porque uno obtiene el reflejo en el centro, ${\displaystyle k=-1}$

Para uno se obtiene el mapeo inverso definido por . ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle k}$

En la geometría euclidiana, las homotecias son las similitudes que fijan un punto y preservan (si ) o invierten (si ) la dirección de todos los vectores. Junto con las traslaciones , todas las homotecias de un espacio afín (o euclidiano) forman un grupo , el grupo de las dilataciones u homotetas-traslaciones . Estas son precisamente las transformaciones afines con la propiedad de que la imagen de toda recta g es una recta paralela a g . ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle k<0}$

En geometría proyectiva , una transformación homotética es una transformación de similitud (es decir, fija una involución elíptica dada) que deja la línea en el infinito invariante puntualmente . ^[2]

En geometría euclidiana, una homotecia de razón multiplica las distancias entre puntos por , las áreas por y los volúmenes por . Aquí está la relación del factor de ampliación o dilatación o el factor de escala o la relación de similitud . Tal transformación puede denominarse ampliación si el factor de escala excede 1. El punto fijo S antes mencionado se llama centro homotético o centro de similitud o centro de similitud . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle |k|}$ ${\displaystyle k^{2}}$ ${\displaystyle |k|^{3}}$ ${\displaystyle k}$

El término, acuñado por el matemático francés Michel Chasles , se deriva de dos elementos griegos: el prefijo homo- ( όμο ), que significa "similar", y tesis ( Θέσις ), que significa "posición". Describe la relación entre dos figuras de la misma forma y orientación. Por ejemplo, dos muñecas rusas que miran en la misma dirección pueden considerarse homotéticas.

Las homotetas se utilizan para escalar el contenido de las pantallas de computadora; por ejemplo, teléfonos inteligentes, portátiles y portátiles.

Propiedades

Las siguientes propiedades son válidas en cualquier dimensión.

Mapeo de líneas, segmentos de línea y ángulos.

Una homotecia tiene las siguientes propiedades:

• Una línea se traza sobre una línea paralela. Por tanto: los ángulos permanecen sin cambios.
• Se conserva la proporción de dos segmentos de línea .

Ambas propiedades muestran:

• Una homotecia es una semejanza .

Derivación de las propiedades: Para facilitar los cálculos se supone que el centro es el origen: . Una línea con representación paramétrica se asigna al punto establecido con la ecuación , que es una línea paralela a . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {v} }$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =k(\mathbf {p} +t\mathbf {v} )=k\mathbf {p} +tk\mathbf {v} }$ ${\displaystyle g}$

La distancia de dos puntos es y la distancia entre sus imágenes. Por lo tanto, la razón (cociente) de dos segmentos de recta permanece sin cambios. ${\displaystyle P:\mathbf {p} ,\;Q:\mathbf {q} }$ ${\displaystyle |\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$ ${\displaystyle |k\mathbf {p} -k\mathbf {q} |=|k||\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$

En el caso del cálculo es análogo pero un poco extenso. ${\displaystyle S\neq O}$

Consecuencias: Un triángulo se traza sobre otro similar . La imagen homotética de un círculo es un círculo. La imagen de una elipse es similar. es decir, la relación de los dos ejes no cambia.

Con teorema de intersección

Construcciones gráficas

usando el teorema de la intersección

Si para una homotecia con centro se da la imagen de un punto (ver diagrama), entonces la imagen de un segundo punto , que no está en la línea, se puede construir gráficamente usando el teorema de la intersección: es el punto común a dos líneas y . La imagen de un punto colineal con se puede determinar usando . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle SP_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {SP_{2}}}}$ ${\displaystyle P_{1},Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{2},Q_{2}}$

Pantógrafo

Fondo geométrico

Representación 3d del pantógrafo

usando un pantógrafo

Antes de que las computadoras se volvieran omnipresentes, las escalas de los dibujos se realizaban utilizando un pantógrafo , una herramienta similar a una brújula .

Construcción y fondo geométrico:

1. Tome 4 varillas y monte un paralelogramo móvil con vértices de modo que las dos varillas que se encuentran se prolonguen en el otro extremo como se muestra en el diagrama. Elige la proporción . ${\displaystyle P_{0},Q_{0},H,P}$ ${\displaystyle Q_{0}}$ ${\displaystyle k}$
2. En las varillas prolongadas marque los dos puntos tales que y . Este es el caso si (En lugar de indicar la ubicación del centro . En este caso la proporción es .) ${\displaystyle S,Q}$ ${\displaystyle |SQ_{0}|=k|SP_{0}|}$ ${\displaystyle |QQ_{0}|=k|HQ_{0}|}$ ${\displaystyle |SQ_{0}|={\tfrac {k}{k-1}}|P_{0}Q_{0}|.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k=|SQ_{0}|/|SP_{0}|}$
3. Coloque las varillas móviles giratorias en el punto . ${\displaystyle S}$
4. Varíe la ubicación del punto y la marca en cada momento . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Debido a (ver diagrama), del teorema de la intersección se obtiene que los puntos son colineales (se encuentran en una línea) y la ecuación se cumple. Eso muestra: el mapeo es una homotecia con centro y razón . ${\displaystyle |SQ_{0}|/|SP_{0}|=|Q_{0}Q|/|PP_{0}|}$ ${\displaystyle S,P,Q}$ ${\displaystyle |SQ|=k|SP|}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$

Composición

La composición de dos homotetas con centros y mapeo de razones es nuevamente una homotecia con su centro alineado con la razón . ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle k_{1}=2,k_{2}=0{.}3}$ ${\displaystyle P_{i}\to Q_{i}\to R_{i}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle k\cdot l=0{.}6}$

• La composición de dos homotecias con el mismo centro vuelve a ser una homotecia con centro . Las homotecias con centro forman un grupo . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
• La composición de dos homotecias con centros diferentes y sus proporciones es ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$

en el caso de una homotecia con su centro en la recta y la razón o ${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$

en caso de una traducción en dirección . Especialmente, si ( puntos de reflexión ). ${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle k_{1}=k_{2}=-1}$

Derivación:

Para la composición de las dos homotecias con centros con ${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle \sigma _{1}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1}),}$

${\displaystyle \sigma _{2}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{2}+k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{2})\ }$

se obtiene mediante cálculo la imagen del punto : ${\displaystyle X:\mathbf {x} }$

${\displaystyle (\sigma _{2}\sigma _{1})(\mathbf {x} )=\mathbf {s} _{2}+k_{2}{\big (}\mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1})-\mathbf {s} _{2}{\big )}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \ =(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}+k_{1}k_{2}\mathbf {x} }$.

Por tanto, la composición es

en caso de una traslación en dirección por vector . ${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle \ (1-k_{2})(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$

en caso de punto ${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$

${\displaystyle S_{3}:\mathbf {s} _{3}={\frac {(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}}{1-k_{1}k_{2}}}=\mathbf {s} _{1}+{\frac {1-k_{2}}{1-k_{1}k_{2}}}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$

es un punto fijo (no se mueve) y la composición

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}:\ \mathbf {x} \to \mathbf {s} _{3}+k_{1}k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{3})\quad }$.

es una homotecia con centro y razón . mentiras en línea . ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$

Composición con traducción.

• La composición de una homotecia y una traducción es una homotecia.

Derivación:

La composición de la homotecia.

${\displaystyle \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} ),\;k\neq 1,\;}$y la traducción

${\displaystyle \tau :\mathbf {x} \to \mathbf {x} +\mathbf {v} }$es

${\displaystyle \tau \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +\mathbf {v} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$

${\displaystyle =\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}+k\left(\mathbf {x} -(\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}})\right)}$

que es una homotecia con centro y razón . ${\displaystyle \mathbf {s} '=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}}$ ${\displaystyle k}$

En coordenadas homogéneas

La homotecia con centro se puede escribir como la composición de una homotecia con centro y una traslación: ${\displaystyle \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$ ${\displaystyle S=(u,v)}$ ${\displaystyle O}$

${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} +(1-k)\mathbf {s} }$.

Por tanto se puede representar en coordenadas homogéneas mediante la matriz: ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}k&0&(1-k)u\\0&k&(1-k)v\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Una transformación lineal de homotecia pura también es conforme porque se compone de traslación y escala uniforme.

Ver también

• Escalar (geometría) una noción similar en espacios vectoriales
• Centro homotético , el centro de una transformación homotética que toma una de un par de formas en la otra.
• La conjetura de Hadwiger sobre el número de copias homotéticas estrictamente más pequeñas de un cuerpo convexo que pueden ser necesarias para cubrirlo.
• Función homotética (economía) , una función de la forma f ( U ( y )) en la que U es una función homogénea y f es una función monótonamente creciente .

Notas

1. Hadamard, pág. 145)
2. Tuller (1967, pág.119)

Referencias

• HSM Coxeter, "Introducción a la geometría", Wiley (1961), p. 94
• Hadamard, J. , Lecciones de geometría plana.
• Meserve, Bruce E. (1955), "Transformaciones homotéticas", Conceptos fundamentales de geometría , Addison-Wesley , págs. 166-169
• Tuller, Annita (1967), Una introducción moderna a las geometrías , Serie universitaria de matemáticas de pregrado, Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Co.

enlaces externos

• Homothety, subprograma interactivo de Cut-the-Knot .