Entero finito

En matemáticas , un número entero profinito es un elemento del anillo (a veces pronunciado como zee-hat o zed-hat)

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$

donde el límite inverso

${\displaystyle \varprojlim \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

indica la terminación finita de , el índice recorre todos los números primos y es el anillo de los enteros p -ádicos . Este grupo es importante debido a su relación con la teoría de Galois , la teoría de la homotopía étale y el anillo de Adeles . Además, proporciona un ejemplo básico y manejable de un grupo lucrativo . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Construcción

Los enteros profinitos se pueden construir como el conjunto de secuencias de residuos representados como ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \upsilon }$

$${\displaystyle \upsilon =(\upsilon _{1}{\bmod {1}},~\upsilon _{2}{\bmod {2}},~\upsilon _{3}{\bmod {3}},~\ldots )}$$

${\displaystyle m\ |\ n\implies \upsilon _{m}\equiv \upsilon _{n}{\bmod {m}}}$

La suma y la multiplicación puntuales lo convierten en un anillo conmutativo.

El anillo de números enteros se incrusta en el anillo de números enteros profinitos mediante la inyección canónica:

$${\displaystyle \eta :\mathbb {Z} \hookrightarrow {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$

propiedad universal de los grupos profinitoscontinuo ${\displaystyle n\mapsto (n{\bmod {1}},n{\bmod {2}},\dots ).}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow H}$ ${\displaystyle g:{\widehat {\mathbb {Z} }}\rightarrow H}$ ${\displaystyle f=g\eta }$

Usando el sistema de números factoriales

Cada número entero tiene una representación única en el sistema numérico factorial como ${\displaystyle n\geq 0}$

$${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}i!\qquad {\text{with }}c_{i}\in \mathbb {Z} }$$

${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots }$

Su representación en número factorial se puede escribir como . ${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$

De la misma manera, un número entero finito se puede representar de forma única en el sistema numérico factorial como una cadena infinita , donde cada uno es un número entero que satisface . ^[1] ${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq c_{i}\leq i}$

Los dígitos determinan el valor del entero finito mod . Más específicamente, hay un homomorfismo de anillo que envía ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\ldots ,c_{k-1}}$ ${\displaystyle k!}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\to \mathbb {Z} /k!\,\mathbb {Z} }$

$${\displaystyle (\cdots c_{3}c_{2}c_{1})_{!}\mapsto \sum _{i=1}^{k-1}c_{i}i!\mod k!}$$

Usando el teorema del resto chino

Otra forma de entender la construcción de los enteros profinitos es utilizando el teorema chino del resto . Recuerde que para un número entero con factorización prima ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$$

isomorfismo de anillo

$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{k}^{a_{k}}}$$

sobrejetura

$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /m}$$

$${\displaystyle \mathbb {Z} /p_{i}^{a_{i}}\to \mathbb {Z} /p_{i}^{b_{i}}}$$

${\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}$

$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$$

p

Explícitamente, el isomorfismo es por ${\displaystyle \phi :\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}\to {\widehat {\mathbb {Z} }}}$

$${\displaystyle \phi ((n_{2},n_{3},n_{5},\cdots ))(k)=\prod _{q}n_{q}\mod k}$$

${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p_{i}^{d_{i}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=\prod _{i=1}^{l}p_{i}^{d_{i}}}$ ${\displaystyle p_{1},...,p_{l}}$

Relaciones

Propiedades topológicas

El conjunto de los enteros profinitos tiene una topología inducida en la que es un espacio compacto de Hausdorff , debido a que puede verse como un subconjunto cerrado del producto directo infinito.

$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\subset \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$$

topología de productoel teorema de Tychonofftopología discreta ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

La topología se puede definir mediante la métrica, ^[1] ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$

$${\displaystyle d(x,y)={\frac {1}{\min\{k\in \mathbb {Z} _{>0}:x\not \equiv y{\bmod {(k+1)!}}\}}}}$$

Dado que la suma de números enteros profinitos es continua, es un grupo abeliano compacto de Hausdorff y, por tanto, su dual de Pontryagin debe ser un grupo abeliano discreto. ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$

De hecho, el dual de Pontryagin es el grupo abeliano equipado con la topología discreta (tenga en cuenta que no es la topología de subconjunto heredada de , que no es discreta). El dual de Pontryagin se construye explícitamente mediante la función ^[2] ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times {\widehat {\mathbb {Z} }}\to U(1),\,(q,a)\mapsto \chi (qa)}$$

^[3] ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to U(1),\,\alpha \mapsto e^{2\pi i\alpha }}$

relación con adeles

El producto tensorial es el anillo de adeles finito. ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} ,f}={\prod _{p}}'\mathbb {Q} _{p}}$$

producto restringido^[4] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle '}$

$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {R} \times ({\hat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )}$$

Aplicaciones de la teoría de Galois y la teoría de la homotopía de Etale.

Para el cierre algebraico de un campo finito de orden q, el grupo de Galois se puede calcular explícitamente. Del hecho de que los automorfismos están dados por el endomorfismo de Frobenius , el grupo de Galois del cierre algebraico de está dado por el límite inverso de los grupos , por lo que su grupo de Galois es isomorfo al grupo de enteros profinitos ^[5] ${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{q}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle {\text{Gal}}(\mathbf {F} _{q^{n}}/\mathbf {F} _{q})\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

$${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbf {F} }}_{q}/\mathbf {F} _{q})\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$

grupo de Galois absoluto

Relación con los grupos fundamentales de Etale de tori algebraicos

Esta construcción puede reinterpretarse de muchas maneras. Uno de ellos proviene de la teoría de la homotopía de Etale , que define el grupo fundamental de Etale como la terminación finita de automorfismos. ${\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)}$

$${\displaystyle \pi _{1}^{et}(X)=\lim _{i\in I}{\text{Aut}}(X_{i}/X)}$$

portada de Etale ${\displaystyle X_{i}\to X}$

$${\displaystyle \pi _{1}^{et}({\text{Spec}}(\mathbf {F} _{q}))\cong {\hat {\mathbb {Z} }}}$$

toro algebraico.

$${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}\hookrightarrow \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m})}$$

mapas polinomiales

$${\displaystyle (\cdot )^{n}:\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {G} _{m}}$$

anillos conmutativos

$${\displaystyle f:\mathbb {Z} [x,x^{-1}]\to \mathbb {Z} [x,x^{-1}]}$$

secuencia exacta fundamental ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{et}(\mathbb {G} _{m}/{\text{Spec(k)}})}$ ${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {k}}/k)}$

Teoría de campos de clases y los enteros finitos

La teoría de campos de clases es una rama de la teoría algebraica de números que estudia las extensiones de campo abeliano de un campo. Dado el campo global , la abelianización de su grupo absoluto de Galois ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

$${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}$$

mapa de Artin ^[6] ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

$${\displaystyle \Psi _{\mathbb {Q} }:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }\to {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )^{ab}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }&\cong (\mathbb {R} \times {\hat {\mathbb {Z} }})/\mathbb {Z} \\&={\underset {\leftarrow }{\lim }}\mathbb {(} {\mathbb {R} }/m\mathbb {Z} )\\&={\underset {x\mapsto x^{m}}{\lim }}S^{1}\\&={\hat {\mathbb {Z} }}\end{aligned}}}$$

dando la relación deseada. Existe una afirmación análoga para la teoría de campos de clases locales, ya que cada extensión abeliana finita de es inducida a partir de una extensión de campo finita . ${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}}$

Ver también

• número p-ádico
• anillo de adeles
• numero sobrenatural

Notas

1. Lenstra, Hendrik. "Teoría de los números profinitos" (PDF) . Asociación Matemática de América . Consultado el 11 de agosto de 2022 .
2. Connes y Consani 2015, § 2.4.
3. K. Conrad, El grupo de personajes de Q
4. Preguntas sobre algunos mapas que involucran anillos de adeles finitos y sus grupos unitarios.
5. Milne 2013, cap. I Ejemplo A.5.
6. "Teoría de campos de clases - lccs". www.math.columbia.edu . Consultado el 25 de septiembre de 2020 .

Referencias

• Connes, Alain; Consani, Caterina (2015). "Geometría del sitio aritmético". arXiv : 1502.05580 [matemáticas.AG].
• Milne, JS (23 de marzo de 2013). "Teoría de campos de clases" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 19 de junio de 2013 . Consultado el 7 de junio de 2020 .

enlaces externos

• http://ncatlab.org/nlab/show/profinite+completion+of+the+enteros
• https://web.archive.org/web/20150401092904/http://www.noncommutative.org/supernatural-numbers-and-adeles/
• https://euro-math-soc.eu/system/files/news/Hendrik%20Lenstra_Profinite%20number%20theory.pdf