Sea X un espacio topológico y sea una cubierta abierta de X . Sea el nervio de la cubierta. La idea de la cohomología de Čech es que, para una cubierta abierta que consiste en conjuntos abiertos suficientemente pequeños, el complejo simplicial resultante debería ser un buen modelo combinatorio para el espacio X . Para tal cubierta, la cohomología de Čech de X se define como la cohomología simplicial del nervio. Esta idea se puede formalizar mediante la noción de una buena cubierta . Sin embargo, un enfoque más general es tomar el límite directo de los grupos de cohomología del nervio sobre el sistema de todas las cubiertas abiertas posibles de X , ordenadas por refinamiento . Este es el enfoque adoptado a continuación.
Un q - símplex σ de es una colección ordenada de q +1 conjuntos elegidos entre , de modo que la intersección de todos estos conjuntos no está vacía. Esta intersección se denomina soporte de σ y se denota |σ|.
Sea ahora un q -símplex de este tipo. El j-ésimo límite parcial de σ se define como el ( q −1)-símplex obtenido al eliminar el j -ésimo conjunto de σ, es decir:
El límite de σ se define como la suma alternada de los límites parciales:
Una q - cocadena de con coeficientes en es un mapa que asocia con cada q -símplex σ un elemento de , y denotamos el conjunto de todas las q -cocadenas de con coeficientes en por . es un grupo abeliano por adición puntual.
Diferencial
Los grupos de cocadenas se pueden transformar en un complejo de cocadenas definiendo el operador de colímite mediante:
Una q -cocadena se denomina q -cociclo si está en el núcleo de , por lo tanto es el conjunto de todos los q -cociclos.
Por lo tanto, una ( q −1)-cocadena es un cociclo si para todos los q -simplifica la condición de cociclo
sostiene.
Un 0-cociclo es una colección de secciones locales que satisfacen una relación de compatibilidad en cada intersección.
Un 1-cociclo satisface para cada no vacío con
Colimitación
Una q -cocadena se denomina q -colímite si está en la imagen de y es el conjunto de todos los q -colímites.
Por ejemplo, una cocadena 1 es un colímite 1 si existe una cocadena 0 tal que para cada intersección
Cohomología
La cohomología de Čech de con valores en se define como la cohomología del complejo de cocadena . Por lo tanto, la cohomología de Čech q -ésima viene dada por
.
La cohomología de Čech de X se define considerando refinamientos de cubiertas abiertas. Si es un refinamiento de entonces hay una función en la cohomología Las cubiertas abiertas de X forman un conjunto dirigido bajo refinamiento, por lo que la función anterior conduce a un sistema directo de grupos abelianos. La cohomología de Čech de X con valores en se define como el límite directo de este sistema.
La cohomología de Čech de X con coeficientes en un grupo abeliano fijo A , denotado , se define como donde es el haz constante en X determinado por A .
Una variante de la cohomología de Čech, llamada cohomología de Čech numerable , se define como se indica más arriba, excepto que se requiere que todas las cubiertas abiertas consideradas sean numerables : es decir, existe una partición de unidad {ρ i } tal que cada soporte está contenido en algún elemento de la cubierta. Si X es paracompacto y Hausdorff , entonces la cohomología de Čech numerable concuerda con la cohomología de Čech habitual.
Si X es una variedad diferenciable y la cubierta de X es una "buena cubierta" ( es decir , todos los conjuntos U α son contráctiles hasta un punto, y todas las intersecciones finitas de conjuntos en son vacías o contráctiles hasta un punto), entonces es isomorfo a la cohomología de De Rham.
Si X es Hausdorff compacto, entonces la cohomología de Čech (con coeficientes en un grupo discreto) es isomorfa a la cohomología de Alexander-Spanier .
Para un prehaz en X , denotemos su gavillación . Entonces tenemos una función de comparación natural
de la cohomología de Čech a la cohomología de haces . Si X es Hausdorff paracompacto, entonces es un isomorfismo. De manera más general, es un isomorfismo siempre que la cohomología de Čech de todos los prehaces en X con gavillamiento cero se anule. [2]
En geometría algebraica
La cohomología de Čech se puede definir de manera más general para objetos en un sitio C dotado de una topología. Esto se aplica, por ejemplo, al sitio de Zariski o al sitio de etale de un esquema X . La cohomología de Čech con valores en algún haz se define como
donde el colimite recorre todos los recubrimientos (con respecto a la topología elegida) de X. Aquí se define como arriba, excepto que las intersecciones de r -fold de subconjuntos abiertos dentro del espacio topológico ambiental se reemplazan por el producto de fibra de r -fold
Como en la situación clásica de los espacios topológicos, siempre hay una función
de la cohomología de Čech a la cohomología de haces. Siempre es un isomorfismo en los grados n = 0 y 1, pero puede no serlo en general. Para la topología de Zariski en un esquema separado noetheriano , la cohomología de Čech y de haces concuerda para cualquier haz cuasi-coherente . Para la topología étale , las dos cohomologías concuerdan para cualquier haz étale en X , siempre que cualquier conjunto finito de puntos de X esté contenido en algún subesquema afín abierto. Esto se satisface, por ejemplo, si X es cuasi-proyectivo sobre un esquema afín . [3]
La posible diferencia entre la cohomología de Čech y la cohomología de haces es una motivación para el uso de hipercoberturas : estos son objetos más generales que el nervio de Čech.
Un hipercubrimiento K ∗ de X es un cierto objeto simplicial en C , es decir, una colección de objetos K n junto con funciones de contorno y de degeneración. Aplicando un haz a K ∗ se obtiene un grupo abeliano simplicial cuyo n -ésimo grupo de cohomología se denota . (Este grupo es el mismo que en el caso de que K ∗ sea igual a ). Entonces, se puede demostrar que existe un isomorfismo canónico
donde el colimite ahora recorre todas las hipercoberturas. [4]
Ejemplos
El ejemplo más básico de cohomología de Čech se da en el caso en el que el prehaz es un haz constante , p . ej . En tales casos, cada -cocadena es simplemente una función que asigna cada -símplex a . Por ejemplo, calculamos la primera cohomología de Čech con valores en del círculo unitario . Dividiendo en tres arcos y eligiendo vecindarios abiertos suficientemente pequeños, obtenemos una cobertura abierta donde pero .
Dado cualquier 1-cociclo , es una 2-cocadena que toma entradas de la forma donde (ya que y por lo tanto no es un 2-símplex para ninguna permutación ). Las primeras tres entradas dan ; la cuarta da
Una función de este tipo está completamente determinada por los valores de . Por lo tanto,
Por otra parte, dado cualquier 1-colímite , tenemos
Sin embargo, si lo analizamos más de cerca, veremos que y, por lo tanto, cada colímite 1 está determinado de forma única por y . Esto nos da el conjunto de colímites 1:
También podemos calcular la cohomología del haz coherente de en la línea proyectiva utilizando el complejo de Čech. Utilizando la cobertura
Tenemos los siguientes módulos del haz cotangente
Si tomamos las convenciones entonces obtenemos el complejo Čech
Dado que es inyectiva y el único elemento que no está en la imagen de es obtenemos que
Referencias
Notas al pie de cita
^ Penrose, Roger (1992), "Sobre la cohomología de figuras imposibles", Leonardo , 25 (3/4): 245–247, doi :10.2307/1575844, JSTOR 1575844, S2CID 125905129. Reimpreso de Penrose, Roger (1991), "On the Cohomology of Impossible Figures / La Cohomologie des Figures Impossibles", Structural Topology , 17 : 11–16 , consultado el 16 de enero de 2014
^ Brady, Zarathustra. "Notas sobre cohomología de haces" (PDF) . pág. 11. Archivado (PDF) desde el original el 17 de junio de 2022.
^ Milne, James S. (1980), "Sección III.2, Teorema 2.17", Étale cohomology, Princeton Mathematical Series, vol. 33, Princeton University Press , ISBN978-0-691-08238-7, Sr. 0559531
Wells, Raymond (1980). "2. Teoría de haces: Apéndice A. Cohomología de Cech con coeficientes en un haces". Análisis diferencial en variedades complejas . Springer. págs. 63–64. doi :10.1007/978-1-4757-3946-6_2. ISBN 978-3-540-90419-9.