Haz coherente

Generalización de fibrados vectoriales

En matemáticas, especialmente en geometría algebraica y en la teoría de variedades complejas , los haces coherentes son una clase de haces estrechamente ligados a las propiedades geométricas del espacio subyacente. La definición de haces coherentes se hace con referencia a un haz de anillos que codifica esta información geométrica.

Los haces coherentes pueden considerarse como una generalización de los fibrados vectoriales . A diferencia de estos, forman una categoría abeliana y, por lo tanto, están cerrados bajo operaciones como la toma de núcleos , imágenes y conúcleos . Los haces cuasi coherentes son una generalización de los haces coherentes e incluyen los haces localmente libres de rango infinito.

La cohomología de haces coherentes es una técnica poderosa, en particular para estudiar las secciones de un haz coherente dado.

Definiciones

Un haz cuasi coherente en un espacio anillado es un haz de módulos que tiene una presentación local, es decir, cada punto en tiene un vecindario abierto en el que hay una secuencia exacta ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

para algunos conjuntos (posiblemente infinitos) y . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

Un haz coherente en un espacio anillado es un haz de módulos que satisfacen las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es de tipo finito sobre , es decir, cada punto en tiene un vecindario abierto en tal que existe un morfismo sobreyectivo para algún número natural ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle n}$
2. para cualquier conjunto abierto , cualquier número natural y cualquier morfismo de -módulos, el núcleo de es de tipo finito. ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Los morfismos entre haces (cuasi-)coherentes son los mismos que los morfismos de haces de -módulos. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

El caso de los esquemas

Cuando es un esquema, las definiciones generales anteriores son equivalentes a otras más explícitas. Un haz de -módulos es cuasi-coherente si y solo si sobre cada subesquema afín abierto la restricción es isomorfa al haz asociado al módulo sobre . Cuando es un esquema localmente noetheriano, es coherente si y solo si es cuasi-coherente y los módulos anteriores pueden considerarse finitamente generados . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle M=\Gamma (U,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$

En un esquema afín , existe una equivalencia de categorías desde los módulos hasta los haces cuasi coherentes, tomando un módulo para el haz asociado . La equivalencia inversa toma un haz cuasi coherente sobre el módulo de las secciones globales de . ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

A continuación se presentan varias caracterizaciones adicionales de haces cuasi coherentes en un esquema. ^[1]

Teorema  :  Sea un esquema y un módulo sobre él. Entonces los siguientes son equivalentes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es cuasi-coherente.
• Para cada subesquema afín abierto de , es isomorfo como un -módulo al haz asociado a algún -módulo . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle M}$
• Existe una cubierta afín abierta de tal que para cada una de las cubiertas, es isomorfa al haz asociado a algún módulo. ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U_{\alpha }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U_{\alpha })}$
• Para cada par de subesquemas afines abiertos de , el homomorfismo natural ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle X}$

  ${\displaystyle {\mathcal {O}}(V)\otimes _{{\mathcal {O}}(U)}{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),\,f\otimes s\mapsto f\cdot s|_{V}}$

es un isomorfismo.

• Para cada subesquema afín abierto de y cada , escribiendo para el subesquema abierto de donde no es cero, el homomorfismo natural ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\in A}$ ${\displaystyle U_{f}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$

  ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U){\bigg [}{\frac {1}{f}}{\bigg ]}\to {\mathcal {F}}(U_{f})}$

es un isomorfismo. El homomorfismo proviene de la propiedad universal de localización .

Propiedades

En un espacio anillado arbitrario, los haces cuasi-coherentes no necesariamente forman una categoría abeliana. Por otra parte, los haces cuasi-coherentes en cualquier esquema forman una categoría abeliana y son extremadamente útiles en ese contexto. ^[2]

En cualquier espacio anillado , los haces coherentes forman una categoría abeliana, una subcategoría completa de la categoría de -módulos. ^[3] (De manera análoga, la categoría de módulos coherentes sobre cualquier anillo es una subcategoría abeliana completa de la categoría de todos los -módulos). Por lo tanto, el núcleo, la imagen y el conúcleo de cualquier mapa de haces coherentes son coherentes. La suma directa de dos haces coherentes es coherente; de ​​manera más general, un -módulo que es una extensión de dos haces coherentes es coherente. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Un submódulo de un haz coherente es coherente si es de tipo finito. Un haz coherente es siempre un -módulo de presentación finita , lo que significa que cada punto en tiene un entorno abierto tal que la restricción de a es isomorfa al conúcleo de un morfismo para algunos números naturales y . Si es coherente, entonces, a la inversa, todo haz de presentación finita sobre es coherente. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

El haz de anillos se llama coherente si es coherente considerado como un haz de módulos sobre sí mismo. En particular, el teorema de coherencia de Oka establece que el haz de funciones holomorfas en un espacio analítico complejo es un haz coherente de anillos. La parte principal de la prueba es el caso . Del mismo modo, en un esquema localmente noetheriano , el haz de estructura es un haz coherente de anillos. ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbf {C} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Construcciones básicas de haces coherentes

• Un -módulo en un espacio anillado se denomina libre localmente de rango finito o fibrado vectorial si cada punto en tiene un entorno abierto tal que la restricción es isomorfa a una suma directa finita de copias de . Si es libre del mismo rango cerca de cada punto de , entonces se dice que el fibrado vectorial es de rango . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n}$

Los fibrados vectoriales en este sentido de teoría de haces sobre un esquema son equivalentes a fibrados vectoriales definidos de una manera más geométrica, como un esquema con un morfismo y con una cobertura de por conjuntos abiertos con isomorfismos dados sobre tales que los dos isomorfismos sobre una intersección difieren por un automorfismo lineal. ^[6] (La equivalencia análoga también es válida para espacios analíticos complejos). Por ejemplo, dado un fibrado vectorial en este sentido geométrico, el haz correspondiente está definido por: sobre un conjunto abierto de , el -módulo es el conjunto de secciones del morfismo . La interpretación de teoría de haces de fibrados vectoriales tiene la ventaja de que los fibrados vectoriales (en un esquema localmente noetheriano) están incluidos en la categoría abeliana de haces coherentes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha })\cong \mathbb {A} ^{n}\times U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)\to U}$

• Las poleas libres localmente vienen equipadas con las operaciones del módulo estándar, pero éstas devuelven poleas libres localmente. ^{[ vago ]} ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

• Sea , un anillo noetheriano. Entonces los fibrados vectoriales en son exactamente los haces asociados a módulos proyectivos finitamente generados sobre , o (equivalentemente) a módulos planos finitamente generados sobre . ^[7] ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$
• Sea , un anillo noetheriano -graduado, un esquema proyectivo sobre un anillo noetheriano . Entonces cada -módulo -graduado determina un haz cuasi-coherente en tal que es el haz asociado al -módulo , donde es un elemento homogéneo de de grado positivo y es el lugar geométrico donde no se anula. ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\{f\neq 0\}}}$ ${\displaystyle R[f^{-1}]_{0}}$ ${\displaystyle M[f^{-1}]_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} R[f^{-1}]_{0}}$ ${\displaystyle f}$
• Por ejemplo, para cada entero , sea el módulo graduado dado por . Entonces cada uno determina el haz cuasi coherente en . Si se genera como -álgebra por , entonces es un fibrado lineal (haz invertible) en y es la -ésima potencia tensorial de . En particular, se denomina fibrado lineal tautológico en el -espacio proyectivo . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(n)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R(n)_{l}=R_{n+l}}$ ${\displaystyle R(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}$ ${\displaystyle n}$
• Un ejemplo simple de un haz coherente que no es un fibrado vectorial lo da el cokernel en la siguiente secuencia ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(1){\xrightarrow {\cdot (x^{2}-yz,y^{3}+xy^{2}-xyz)}}{\mathcal {O}}(3)\oplus {\mathcal {O}}(4)\to {\mathcal {E}}\to 0}$

Esto se debe a que está restringido al lugar de desaparición de los dos polinomios que tiene fibras bidimensionales, y tiene fibras unidimensionales en el resto. ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

• Haces ideales : Si es un subesquema cerrado de un esquema localmente noetheriano , el haz de todas las funciones regulares que se desvanecen en es coherente. Asimismo, si es un subespacio analítico cerrado de un espacio analítico complejo , el haz ideal es coherente. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$
• El haz de estructura de un subesquema cerrado de un esquema localmente noetheriano puede verse como un haz coherente en . Para ser precisos, este es el haz de imagen directa , donde es la inclusión. Lo mismo ocurre con un subespacio analítico cerrado de un espacio analítico complejo. El haz tiene fibra (definida a continuación) de dimensión cero en los puntos del conjunto abierto , y fibra de dimensión 1 en los puntos de . Hay una secuencia corta y exacta de haces coherentes en : ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$ ${\displaystyle i:Z\to X}$ ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$ ${\displaystyle X-Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Z/X}\to {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}\to 0.}$

• La mayoría de las operaciones de álgebra lineal preservan haces coherentes. En particular, para haces coherentes y en un espacio anillado , el haz de productos tensoriales y el haz de homomorfismos son coherentes. ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$
• Un ejemplo simple de un haz cuasi coherente lo da la extensión por el funtor cero. Por ejemplo, considere ${\displaystyle i_{!}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,x^{-1}]){\xrightarrow {i}}\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])=Y}$^[9]

Dado que este haz tiene tallos no triviales, pero cero secciones globales, no puede ser un haz cuasi coherente. Esto se debe a que los haces cuasi coherentes en un esquema afín son equivalentes a la categoría de módulos sobre el anillo subyacente, y la adjunción proviene de tomar secciones globales.

Funcionalidad

Sea un morfismo de espacios anillados (por ejemplo, un morfismo de esquemas ). Si es un haz cuasi-coherente en , entonces el módulo de imagen inversa (o pullback ) es cuasi-coherente en . ^[10] Para un morfismo de esquemas y un haz coherente en , el pullback no es coherente en generalidad completa (por ejemplo, , que podría no ser coherente), pero los pullbacks de haces coherentes son coherentes si es localmente noetheriano. Un caso especial importante es el pullback de un fibrado vectorial, que es un fibrado vectorial. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$

Si es un morfismo cuasi-compacto cuasi-separado de esquemas y es un haz cuasi-coherente en , entonces el haz de imagen directa (o pushforward ) es cuasi-coherente en . ^[2] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$

La imagen directa de un haz coherente a menudo no es coherente. Por ejemplo, para un cuerpo , sea la recta afín sobre , y considere el morfismo ; entonces la imagen directa es el haz sobre asociado al anillo de polinomios , que no es coherente porque tiene dimensión infinita como un espacio vectorial -. Por otro lado, la imagen directa de un haz coherente bajo un morfismo propio es coherente, por resultados de Grauert y Grothendieck . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle k[x]}$ ${\displaystyle k[x]}$ ${\displaystyle k}$

Comportamiento local de haces coherentes

Una característica importante de los haces coherentes es que las propiedades de en un punto controlan el comportamiento de en un entorno de , más de lo que sería cierto para un haz arbitrario. Por ejemplo, el lema de Nakayama dice (en lenguaje geométrico) que si es un haz coherente en un esquema , entonces la fibra de en un punto (un espacio vectorial sobre el cuerpo de residuos ) es cero si y solo si el haz es cero en algún entorno abierto de . Un hecho relacionado es que la dimensión de las fibras de un haz coherente es semicontinua superior . ^[11] Por lo tanto, un haz coherente tiene rango constante en un conjunto abierto, mientras que el rango puede saltar hacia arriba en un subconjunto cerrado de dimensión inferior. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,x}}k(x)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$

En el mismo espíritu: un haz coherente en un esquema es un fibrado vectorial si y sólo si su tallo es un módulo libre sobre el anillo local para cada punto en . ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

En un esquema general, no se puede determinar si un haz coherente es un fibrado vectorial sólo a partir de sus fibras (en contraposición a sus tallos). Sin embargo, en un esquema localmente noetheriano reducido , un haz coherente es un fibrado vectorial si y sólo si su rango es localmente constante. ^[13]

Ejemplos de paquetes vectoriales

Para un morfismo de esquemas , sea el morfismo diagonal , que es una inmersión cerrada si está separado sobre . Sea el haz ideal de en . Entonces el haz de diferenciales puede definirse como el pullback de a . Las secciones de este haz se denominan 1-formas sobre sobre , y pueden escribirse localmente en como sumas finitas para funciones regulares y . Si es localmente de tipo finito sobre un cuerpo , entonces es un haz coherente sobre . ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle \Delta :X\to X\times _{Y}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times _{Y}X}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{1}}$ ${\displaystyle \Delta ^{*}{\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \sum f_{j}\,dg_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle g_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$ ${\displaystyle X}$

Si es suave sobre , entonces (que significa ) es un fibrado vectorial sobre , llamado fibrado cotangente de . Entonces, el fibrado tangente se define como el fibrado dual . Para una superficie suave de dimensión en todas partes, el fibrado tangente tiene rango . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle (\Omega ^{1})^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Si es un subesquema suave cerrado de un esquema suave sobre , entonces hay una secuencia corta y exacta de fibrados vectoriales en : ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle 0\to TY\to TX|_{Y}\to N_{Y/X}\to 0,}$

que puede usarse como definición del fibrado normal en . ${\displaystyle N_{Y/X}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Para un esquema suave sobre un cuerpo y un número natural , el fibrado vectorial de i -formas en se define como la -ésima potencia exterior del fibrado cotangente, . Para una variedad suave de dimensión sobre , el fibrado canónico significa el fibrado lineal . Por lo tanto, las secciones del fibrado canónico son análogos algebro-geométricos de las formas de volumen en . Por ejemplo, una sección del fibrado canónico del espacio afín sobre se puede escribir como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Omega ^{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Omega ^{i}=\Lambda ^{i}\Omega ^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle \Omega ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n},}$

donde es un polinomio con coeficientes en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$

Sea un anillo conmutativo y un número natural. Para cada entero , existe un ejemplo importante de fibrado lineal en el espacio proyectivo sobre , llamado . Para definirlo, considere el morfismo de los esquemas - ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \pi :\mathbb {A} ^{n+1}-0\to \mathbb {P} ^{n}}$

dada en coordenadas por . (Es decir, pensando en el espacio proyectivo como el espacio de subespacios lineales unidimensionales del espacio afín, envíe un punto distinto de cero en el espacio afín a la línea que abarca). Entonces, una sección de sobre un subconjunto abierto de se define como una función regular en que es homogénea de grado , lo que significa que ${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle f(ax)=a^{j}f(x)}$

como funciones regulares en ( . Para todos los números enteros y , existe un isomorfismo de fibrados de líneas en . ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-0)\times \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(i)\otimes {\mathcal {O}}(j)\cong {\mathcal {O}}(i+j)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

En particular, cada polinomio homogéneo en de grado sobre puede verse como una sección global de sobre . Nótese que cada subesquema cerrado del espacio proyectivo puede definirse como el conjunto cero de alguna colección de polinomios homogéneos, por lo tanto como el conjunto cero de algunas secciones de los fibrados de líneas . ^[14] Esto contrasta con el caso más simple del espacio afín, donde un subesquema cerrado es simplemente el conjunto cero de alguna colección de funciones regulares. Las funciones regulares en el espacio proyectivo sobre son solo las "constantes" (el anillo ), y por lo tanto es esencial trabajar con los fibrados de líneas . ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$

Serre dio una descripción algebraica de todos los haces coherentes en el espacio proyectivo, más sutil que lo que ocurre para el espacio afín. Es decir, sea un anillo noetheriano (por ejemplo, un cuerpo), y considere el anillo polinómico como un anillo graduado con cada uno de grado 1. Entonces cada módulo graduado finitamente generado tiene un haz coherente asociado en sobre . Cada haz coherente en surge de esta manera a partir de un módulo graduado finitamente generado . (Por ejemplo, el fibrado de líneas es el haz asociado al módulo con su graduación reducida en .) Pero el módulo que produce un haz coherente dado en no es único; solo es único hasta cambiar por módulos graduados que son distintos de cero en solo un número finito de grados. Más precisamente, la categoría abeliana de haces coherentes es el cociente de la categoría de módulos graduados finitamente generados por la subcategoría de Serre de módulos que son distintos de cero solo en un número finito de grados. ^[15] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S=R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S}$

El fibrado tangente del espacio proyectivo sobre un cuerpo puede describirse en términos del fibrado lineal . Es decir, existe una sucesión exacta corta, la sucesión de Euler : ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus \;n+1}\to T\mathbb {P} ^{n}\to 0.}$

De ello se deduce que el fibrado canónico (el dual del fibrado lineal determinante del fibrado tangente) es isomorfo a . Este es un cálculo fundamental para la geometría algebraica. Por ejemplo, el hecho de que el fibrado canónico sea un múltiplo negativo del fibrado lineal amplio significa que el espacio proyectivo es una variedad de Fano . Sobre los números complejos, esto significa que el espacio proyectivo tiene una métrica de Kähler con curvatura de Ricci positiva . ${\displaystyle K_{\mathbb {P} ^{n}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Paquetes vectoriales en una hipersuperficie

Consideremos una hipersuperficie de grado suave definida por el polinomio homogéneo de grado . Entonces, existe una secuencia exacta ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-d)\to i^{*}\Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to \Omega _{X}\to 0}$

donde el segundo mapa es el retroceso de las formas diferenciales, y el primer mapa envía

${\displaystyle \phi \mapsto d(f\cdot \phi )}$

Nótese que esta secuencia nos dice que es el haz conormal de en . Al dualizar esto obtenemos la secuencia exacta ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle 0\to T_{X}\to i^{*}T_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(d)\to 0}$

por lo tanto es el fibrado normal de en . Si usamos el hecho de que dada una secuencia exacta ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{2}\to {\mathcal {E}}_{3}\to 0}$

de fibrados vectoriales con rangos , , , existe un isomorfismo ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$

${\displaystyle \Lambda ^{r_{2}}{\mathcal {E}}_{2}\cong \Lambda ^{r_{1}}{\mathcal {E}}_{1}\otimes \Lambda ^{r_{3}}{\mathcal {E}}_{3}}$

de haces de líneas, entonces vemos que existe el isomorfismo

${\displaystyle i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\cong \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-d)}$

demostrando que

${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}(d-n-1)}$

Construcción de Serre y paquetes vectoriales

Una técnica útil para construir fibrados vectoriales de rango 2 es la construcción de Serre ^{[16] [17] pg 3} que establece una correspondencia entre fibrados vectoriales de rango 2 en una variedad proyectiva suave y subvariedades de codimensión 2 utilizando un cierto grupo calculado en . Esto se da por una condición cohomológica en el fibrado lineal (ver abajo). ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wedge ^{2}{\mathcal {E}}}$

La correspondencia en una dirección se da de la siguiente manera: para una sección podemos asociar el lugar de desaparición . Si es una subvariedad de codimensión 2, entonces ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle V(s)\subseteq X}$ ${\displaystyle V(s)}$

1. Es una intersección completa local, es decir, si tomamos un gráfico afín , entonces se puede representar como una función , donde y ${\displaystyle U_{i}\subseteq X}$ ${\displaystyle s|_{U_{i}}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle s_{i}:U_{i}\to \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle s_{i}(p)=(s_{i}^{1}(p),s_{i}^{2}(p))}$ ${\displaystyle V(s)\cap U_{i}=V(s_{i}^{1},s_{i}^{2})}$
2. El fibrado lineal es isomorfo al fibrado canónico en ${\displaystyle \omega _{X}\otimes \wedge ^{2}{\mathcal {E}}|_{V(s)}}$ ${\displaystyle \omega _{V(s)}}$ ${\displaystyle V(s)}$

En la otra dirección, ^[18] para una subvariedad de codimensión 2 y un fibrado de líneas tal que ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}$

1. ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})=H^{2}(X,{\mathcal {L}})=0}$
2. ${\displaystyle \omega _{Y}\cong (\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y}}$

Hay un isomorfismo canónico

${\displaystyle {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X})}$,

que es funcional con respecto a la inclusión de subvariedades de codimensión. Además, cualquier isomorfismo dado a la izquierda corresponde a un haz localmente libre en el medio de la extensión a la derecha. Es decir, para que sea un isomorfismo hay un haz localmente libre correspondiente de rango 2 que encaja en una secuencia exacta corta ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle s\in {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}}\to 0}$

Este fibrado vectorial puede estudiarse más a fondo utilizando invariantes cohomológicos para determinar si es estable o no. Esto constituye la base para estudiar los módulos de fibrados vectoriales estables en muchos casos específicos, como en variedades abelianas principalmente polarizadas ^[17] y superficies K3 . ^[19]

Clases de Chern y algebraicasK-teoría

Un fibrado vectorial sobre una variedad suave sobre un cuerpo tiene clases de Chern en el anillo de Chow de , en para . ^[20] Estas satisfacen las mismas propiedades formales que las clases de Chern en topología. Por ejemplo, para cualquier secuencia exacta corta ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{i}(E)}$ ${\displaystyle CH^{i}(X)}$ ${\displaystyle i\geq 0}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

de fibrados vectoriales en , las clases de Chern de están dadas por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle c_{i}(B)=c_{i}(A)+c_{1}(A)c_{i-1}(C)+\cdots +c_{i-1}(A)c_{1}(C)+c_{i}(C).}$

De ello se deduce que las clases de Chern de un fibrado vectorial dependen únicamente de la clase de en el grupo de Grothendieck . Por definición, para un esquema , es el cociente del grupo abeliano libre en el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales en por la relación que para cualquier secuencia exacta corta como la anterior. Aunque es difícil de calcular en general, la K-teoría algebraica proporciona muchas herramientas para estudiarla, incluida una secuencia de grupos relacionados para números enteros . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle K_{i}(X)}$ ${\displaystyle i>0}$

Una variante es el grupo (o ), el grupo de Grothendieck de haces coherentes en . (En términos topológicos, la teoría G tiene las propiedades formales de una teoría de homología de Borel-Moore para esquemas, mientras que la teoría K es la teoría de cohomología correspondiente ). El homomorfismo natural es un isomorfismo si es un esquema noetheriano separado regular , usando que cada haz coherente tiene una resolución finita por fibrados vectoriales en ese caso. ^[21] Por ejemplo, eso da una definición de las clases de Chern de un haz coherente en una variedad suave sobre un cuerpo. ${\displaystyle G_{0}(X)}$ ${\displaystyle K_{0}'(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{0}(X)\to G_{0}(X)}$ ${\displaystyle X}$

En términos más generales, se dice que un esquema noetheriano tiene la propiedad de resolución si cada haz coherente en tiene una sobreyección de algún fibrado vectorial en . Por ejemplo, cada esquema cuasiproyectivo sobre un anillo noetheriano tiene la propiedad de resolución. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Aplicaciones de la propiedad de resolución

Dado que la propiedad de resolución establece que un haz coherente en un esquema noetheriano es cuasi-isomorfo en la categoría derivada del complejo de fibrados vectoriales: podemos calcular la clase total de Chern de con ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{k}\to \cdots \to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}_{0})c({\mathcal {E}}_{1})^{-1}\cdots c({\mathcal {E}}_{k})^{(-1)^{k}}}$

Por ejemplo, esta fórmula es útil para encontrar las clases de Chern del haz que representa un subesquema de . Si tomamos el esquema proyectivo asociado al ideal , entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (xy,xz)\subseteq \mathbb {C} [x,y,z,w]}$

${\displaystyle c({\mathcal {O}}_{Z})={\frac {c({\mathcal {O}})c({\mathcal {O}}(-3))}{c({\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2))}}}$

ya que existe la resolución

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-3)\to {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0}$

encima . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$

Homomorfismo de haces vs. homomorfismo de haces

Cuando se utilizan indistintamente fibrados vectoriales y haces localmente libres de rango constante finito, se debe tener cuidado de distinguir entre homomorfismos de fibrado y homomorfismos de haces. Específicamente, dados fibrados vectoriales , por definición, un homomorfismo de fibrado es un morfismo de esquema sobre (es decir, ) tal que, para cada punto geométrico en , es una función lineal de rango independiente de . Por lo tanto, induce el homomorfismo de haces de rango constante entre los correspondientes -módulos localmente libres (haces de secciones duales). Pero puede haber un homomorfismo de -módulo que no surja de esta manera; a saber, aquellos que no tienen rango constante. ${\displaystyle p:E\to X,\,q:F\to X}$ ${\displaystyle \varphi :E\to F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p=q\circ \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{x}:p^{-1}(x)\to q^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\widetilde {\varphi }}:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

En particular, un subconjunto es un subconjunto (es decir, es un subconjunto de ). Pero la inversa puede fallar; por ejemplo, para un divisor de Cartier efectivo en , es un subconjunto pero, por lo general, no es un subconjunto (ya que cualquier conjunto de líneas tiene solo dos subconjuntos). ${\displaystyle E\subseteq F}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-D)\subseteq {\mathcal {O}}_{X}}$

La categoría de haces cuasi-coherentes

Los haces cuasi-coherentes en cualquier esquema fijo forman una categoría abeliana. Gabber demostró que, de hecho, los haces cuasi-coherentes en cualquier esquema forman una categoría abeliana particularmente bien comportada, una categoría de Grothendieck . ^[22] Un esquema cuasi-compacto cuasi-separado (tal como una variedad algebraica sobre un cuerpo) está determinado hasta el isomorfismo por la categoría abeliana de haces cuasi-coherentes en , por Rosenberg, generalizando un resultado de Gabriel . ^[23] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Cohomología coherente

La herramienta técnica fundamental en geometría algebraica es la teoría de cohomología de haces coherentes. Aunque se introdujo recién en la década de 1950, muchas técnicas anteriores de geometría algebraica se clarifican con el lenguaje de la cohomología de haces aplicado a haces coherentes. En términos generales, la cohomología de haces coherentes puede considerarse como una herramienta para producir funciones con propiedades específicas; las secciones de haces de líneas o de haces más generales pueden considerarse funciones generalizadas. En geometría analítica compleja, la cohomología de haces coherentes también desempeña un papel fundamental.

Entre los resultados principales de la cohomología de haces coherentes se encuentran resultados sobre la dimensionalidad finita de la cohomología, resultados sobre la desaparición de la cohomología en varios casos, teoremas de dualidad como la dualidad de Serre , relaciones entre la topología y la geometría algebraica como la teoría de Hodge , y fórmulas para las características de Euler de los haces coherentes como el teorema de Riemann-Roch .

Véase también

• Grupo Picard
• Divisor (geometría algebraica)
• Haz reflexivo
• Sistema de cuotas
• Gavilla retorcida
• Fibra vectorial esencialmente finita
• Conjunto de partes principales
• Teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg
• Haz pseudocoherente
• Haz cuasi-coherente en una pila algebraica

Notas

1. Mumford 1999, Cap. III, § 1, Teorema-Definición 3.
2. Proyecto ab Stacks, Etiqueta 01LA.
3. Proyecto Stacks, Etiqueta 01BU.
4. Serre 1955, §13
5. Grothendieck y Dieudonné 1960, Corolaire 1.5.2
6. Hartshorne 1977, Ejercicio II.5.18
7. Proyecto Stacks, etiqueta 00NV.
8. Serre 1955, §14
9. Hartshorne 1977
10. Proyecto Stacks, Etiqueta 01BG.
11. Hartshorne 1977, Ejemplo III.12.7.2
12. Grothendieck y Dieudonné 1960, cap. 0, 5.2.7
13. Eisenbud 1995, ejercicio 20.13
14. Hartshorne 1977, Corolario II.5.16
15. Proyecto Stacks, Etiqueta 01YR.
16. Serre, Jean-Pierre (1960-1961). "Sobre los módulos proyectados". Seminario Dubreil. Algèbre et théorie des nombres (en francés). 14 (1): 1–16.
17. Gulbrandsen, Martin G. (20 de mayo de 2013). "Fertilizadores vectoriales y mónadas en tripletas abelianas" (PDF) . Communications in Algebra . 41 (5): 1964–1988. arXiv : 0907.3597 . doi :10.1080/00927872.2011.645977. ISSN  0092-7872.
18. Hartshorne, Robin (1978). "Paquetes de vectores estables de rango 2 en P3". Annalen Matemáticas . 238 : 229–280.
19. Huybrechts, Daniel; Lehn, Manfred (2010). La geometría de los espacios de módulos de haces. Cambridge Mathematical Library (2.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. págs. 123-128, 238-243. doi :10.1017/cbo9780511711985. ISBN . 978-0-521-13420-0.
20. Fulton 1998, §3.2 y Ejemplo 8.3.3
21. Fulton 1998, B.8.3
22. Proyecto Stacks, etiqueta 077K.
23. Antieau 2016, Corolario 4.2

Referencias

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• Mumford, David (1999). El libro rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre curvas y sus jacobianos (2.ª ed.). Springer-Verlag . doi :10.1007/b62130. ISBN 354063293X.Señor 1748380  .
• Onishchik, AL (2001) [1994], "Haz analítico coherente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Onishchik, AL (2001) [1994], "Haz coherente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics , 61 : 197–278, doi :10.2307/1969915, SEÑOR  0068874

Enlaces externos

• Autores del Proyecto Stacks, Proyecto Stacks
• Parte V de Vakil, Ravi , El mar en ascenso