Módulo generado de forma finita

En álgebra, módulo con un conjunto generador finito.

En matemáticas , un módulo finitamente generado es un módulo que tiene un conjunto generador finito . Un módulo finitamente generado sobre un anillo R también puede denominarse R -módulo finito , finito sobre R , ^[1] o módulo de tipo finito .

Los conceptos relacionados incluyen módulos finitamente cogenerados , módulos finitamente presentados , módulos finitamente relacionados y módulos coherentes, todos los cuales se definen a continuación. En un anillo noetheriano coinciden los conceptos de módulos finitamente generados, finitamente presentados y coherentes.

Un módulo finitamente generado sobre un campo es simplemente un espacio vectorial de dimensión finita , y un módulo finitamente generado sobre los números enteros es simplemente un grupo abeliano finitamente generado .

Definición

El módulo R izquierdo M se genera finitamente si existen un ₁ , un ₂ , ..., un _n en M tales que para cualquier x en M , existen r ₁ , r ₂ , ..., r _n en R con x = r ₁ a ₁ + r ₂ a ₂ + ... + r _n a _n .

En este caso, el conjunto { a ₁ , a ₂ , ..., a _n } se denomina conjunto generador de M. Un conjunto generador finito no necesita ser una base, ya que no necesita ser linealmente independiente sobre R . Lo que es cierto es: M es finitamente generado si y solo si existe una función sobreyectiva R -lineal :

${\displaystyle R^{n}\to M}$

para algún n ( M es un cociente de un módulo libre de rango finito).

Si un conjunto S genera un módulo que se genera finitamente, entonces hay un conjunto generador finito que está incluido en S , ya que solo se necesitan un número finito de elementos en S para expresar los generadores en cualquier conjunto generador finito, y estos elementos finitos forman un conjunto generador. Sin embargo, puede ocurrir que S no contenga ningún conjunto generador finito de cardinalidad mínima . Por ejemplo, el conjunto de los números primos es un conjunto generador de visto como -módulo, y un conjunto generador formado a partir de números primos tiene al menos dos elementos, mientras que el singleton {1} también es un conjunto generador. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

En el caso en que el módulo M es un espacio vectorial sobre un campo R , y el grupo electrógeno es linealmente independiente , n está bien definido y se denomina dimensión de M ( bien definido significa que cualquier grupo electrógeno linealmente independiente tiene n elementos: este es el teorema de la dimensión para espacios vectoriales ).

Cualquier módulo es la unión del conjunto dirigido de sus submódulos finitamente generados.

Un módulo M se genera finitamente si y solo si cualquier cadena creciente M _i de submódulos con unión M se estabiliza: es decir, hay algún i tal que M _i = M . Este hecho con el lema de Zorn implica que todo módulo generado finitamente distinto de cero admite submódulos máximos . Si cualquier cadena creciente de submódulos se estabiliza (es decir, cualquier submódulo se genera finitamente), entonces el módulo M se llama módulo noetheriano .

Ejemplos

• Si un módulo es generado por un elemento, se denomina módulo cíclico .
• Sea R un dominio integral con K como su campo de fracciones. Entonces, todo R -submódulo I de K finitamente generado es un ideal fraccionario : es decir, hay algún r distinto de cero en R tal que rI está contenido en R. De hecho, se puede tomar r como el producto de los denominadores de los generadores de I. Si R es noetheriano, entonces todo ideal fraccionario surge de esta manera.
• Los módulos finitamente generados sobre el anillo de números enteros Z coinciden con los grupos abelianos finitamente generados . Estos están completamente clasificados por el teorema de estructura , tomando a Z como dominio ideal principal.
• Los módulos generados finitamente (digamos a la izquierda) sobre un anillo de división son precisamente espacios vectoriales de dimensión finita (sobre el anillo de división).

Algunos datos

Toda imagen homomórfica de un módulo finitamente generado es finitamente generada. En general, los submódulos de módulos finitamente generados no necesitan ser finitamente generados. Como ejemplo, considere el anillo R  =  Z [ X ₁ , X ₂ , ...] de todos los polinomios en un número contable de variables. R en sí mismo es un R -módulo finitamente generado (con {1} como conjunto generador). Considere el submódulo K que consiste en todos aquellos polinomios con término constante cero. Dado que cada polinomio contiene solo un número finito de términos cuyos coeficientes no son cero, el R -módulo K no es finitamente generado.

En general, se dice que un módulo es noetheriano si cada submódulo se genera finitamente. Un módulo generado finitamente sobre un anillo noetheriano es un módulo noetheriano (y de hecho esta propiedad caracteriza a los anillos noetherianos): Un módulo sobre un anillo noetheriano se genera finitamente si y solo si es un módulo noetheriano. Esto se parece, pero no es exactamente, al teorema de la base de Hilbert , que establece que el anillo polinómico R [ X ] sobre un anillo noetheriano R es noetheriano. Ambos hechos implican que un álgebra conmutativa generada finitamente sobre un anillo noetheriano es nuevamente un anillo noetheriano.

En términos más generales, un álgebra (por ejemplo, un anillo) que es un módulo finitamente generado es un álgebra finitamente generada . Por el contrario, si un álgebra finitamente generada es integral (sobre el anillo de coeficientes), entonces es un módulo finitamente generado. (Ver elemento integral para más información).

Sea 0 → M ′ → M → M ′′ → 0 una secuencia exacta de módulos. Entonces M es finitamente generado si M ′, M ′′ son finitamente generados. Hay algunas recíprocas parciales para esto. Si M es finitamente generado y M ′′ es finitamente presentado (lo cual es más fuerte que finitamente generado; ver abajo), entonces M ′ es finitamente generado. Además, M es noetheriano (resp. artiniano) si y solo si M ′, M ′′ son noetherianos (resp. artinianos).

Sea B un anillo y A su subanillo tal que B es un módulo A derecho fielmente plano . Entonces un módulo A izquierdo F es finitamente generado (o finitamente presentado) si y solo si el módulo B B ⊗ _A F es finitamente generado (o finitamente presentado). ^[2]

Módulos finitamente generados sobre un anillo conmutativo

Para módulos finitamente generados sobre un anillo conmutativo R , el lema de Nakayama es fundamental. A veces, el lema permite probar fenómenos de espacios vectoriales de dimensión finita para módulos finitamente generados. Por ejemplo, si f  : M → M es un R -endomorfismo sobreyectivo de un módulo finitamente generado M , entonces f también es inyectiva y, por lo tanto, es un automorfismo de M . ^[3] Esto dice simplemente que M es un módulo hopfiano . De manera similar, un módulo artiniano M es cohopfiano : cualquier endomorfismo inyectivo f es también un endomorfismo sobreyectivo. ^[4]

Cualquier módulo R es un límite inductivo de submódulos R generados finitamente . Esto es útil para debilitar una suposición en el caso finito (por ejemplo, la caracterización de planitud con el functor Tor ).

Un ejemplo de un vínculo entre la generación finita y los elementos integrales se puede encontrar en las álgebras conmutativas. Decir que un álgebra conmutativa A es un anillo finitamente generado sobre R significa que existe un conjunto de elementos G = { x ₁ , ..., x _n } de A tal que el subanillo más pequeño de A que contiene a G y R es el propio A. Debido a que el producto de anillos puede usarse para combinar elementos, se generan más que solo combinaciones R -lineales de elementos de G. Por ejemplo, un anillo polinómico R [ x ] es finitamente generado por {1, x } como un anillo, pero no como un módulo . Si A es un álgebra conmutativa (con unidad) sobre R , entonces las dos afirmaciones siguientes son equivalentes: ^[5]

• A es un módulo R generado finitamente .
• A es a la vez un anillo finitamente generado sobre R y una extensión integral de R.

Rango genérico

Sea M un módulo finitamente generado sobre un dominio integral A con el cuerpo de fracciones K . Entonces la dimensión se llama rango genérico de M sobre A . Este número es el mismo que el número de vectores A -linealmente independientes máximos en M o equivalentemente el rango de un submódulo libre máximo de M ( cf. Rango de un grupo abeliano ). Como , es un módulo de torsión . Cuando A es noetheriano, por libertad genérica , hay un elemento f (dependiente de M ) tal que es un -módulo libre . Entonces el rango de este módulo libre es el rango genérico de M . ${\displaystyle \operatorname {dim} _{K}(M\otimes _{A}K)}$ ${\displaystyle (M/F)_{(0)}=M_{(0)}/F_{(0)}=0}$ ${\displaystyle M/F}$ ${\displaystyle M[f^{-1}]}$ ${\displaystyle A[f^{-1}]}$

Supongamos ahora que el dominio integral A se genera como álgebra sobre un cuerpo k mediante un número finito de elementos homogéneos de grados . Supongamos que M también está graduado y sea la serie de Poincaré de M . Por el teorema de Hilbert-Serre , existe un polinomio F tal que . Entonces es el rango genérico de M . ^[6] ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle P_{M}(t)=\sum (\operatorname {dim} _{k}M_{n})t^{n}}$ ${\displaystyle P_{M}(t)=F(t)\prod (1-t^{d_{i}})^{-1}}$ ${\displaystyle F(1)}$

Un módulo finitamente generado sobre un dominio ideal principal es libre de torsión si y solo si es libre. Esto es una consecuencia del teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal , cuya forma básica dice que un módulo finitamente generado sobre un PID es una suma directa de un módulo de torsión y un módulo libre. Pero también se puede demostrar directamente de la siguiente manera: sea M un módulo finitamente generado libre de torsión sobre un PID A y F un submódulo libre maximal. Sea f en A tal que . Entonces es libre ya que es un submódulo de un módulo libre y A es un PID. Pero ahora es un isomorfismo ya que M es libre de torsión. ${\displaystyle fM\subset F}$ ${\displaystyle fM}$ ${\displaystyle f:M\to fM}$

Por el mismo argumento que el anterior, un módulo finitamente generado sobre un dominio de Dedekind A (o más generalmente un anillo semihereditario ) está libre de torsión si y solo si es proyectivo ; en consecuencia, un módulo finitamente generado sobre A es una suma directa de un módulo de torsión y un módulo proyectivo. Un módulo proyectivo finitamente generado sobre un dominio integral noetheriano tiene rango constante y, por lo tanto, el rango genérico de un módulo finitamente generado sobre A es el rango de su parte proyectiva.

Definiciones equivalentes y módulos finitamente cogenerados

Las siguientes condiciones son equivalentes a que M sea finitamente generado (fg):

• Para cualquier familia de submódulos { N _i | i ∈ I } en M , si , entonces para algún subconjunto finito F de I . ${\displaystyle \sum _{i\in I}N_{i}=M\,}$ ${\displaystyle \sum _{i\in F}N_{i}=M\,}$
• Para cualquier cadena de submódulos { N _i | i ∈ I } en M , si , entonces N _i = M para algún i en I . ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}N_{i}=M\,}$
• Si es un epimorfismo , entonces la restricción es un epimorfismo para algún subconjunto finito F de I. ${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in I}R\to M\,}$ ${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in F}R\to M\,}$

A partir de estas condiciones es fácil ver que la generación finita es una propiedad preservada por la equivalencia de Morita . Las condiciones también son convenientes para definir una noción dual de un módulo M cogenerado finitamente . Las siguientes condiciones son equivalentes a que un módulo sea cogenerado finitamente (f.cog.):

• Para cualquier familia de submódulos { N _i | i ∈ I } en M , si , entonces para algún subconjunto finito F de I . ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in F}N_{i}=\{0\}\,}$
• Para cualquier cadena de submódulos { N _i | i ∈ I } en M , si , entonces N _i = {0} para algún i en I . ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$
• Si es un monomorfismo , donde cada uno es un módulo R , entonces es un monomorfismo para algún subconjunto finito F de I. ${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in I}N_{i}\,}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in F}N_{i}\,}$

Tanto los módulos fg como los módulos f.cog. tienen relaciones interesantes con los módulos noetherianos y artinianos, y con el radical de Jacobson J ( M ) y el zócalo soc( M ) de un módulo. Los siguientes hechos ilustran la dualidad entre las dos condiciones. Para un módulo M :

• M es noetheriano si y sólo si cada submódulo N de M es fg
• M es artiniano si y sólo si cada módulo cociente M / N es f.cog.
• M es fg si y sólo si J ( M ) es un submódulo superfluo de M , y M / J ( M ) es fg
• M es f.cog. si y sólo si soc( M ) es un submódulo esencial de M , y soc( M ) es fg
• Si M es un módulo semisimple (como soc( N ) para cualquier módulo N ), es fg si y sólo si f.cog.
• Si M es fg y distinto de cero, entonces M tiene un submódulo máximo y cualquier módulo cociente M / N es fg
• Si M es f.cog. y distinto de cero, entonces M tiene un submódulo mínimo y cualquier submódulo N de M es f.cog.
• Si N y M / N son fg entonces también lo es M. Lo mismo es cierto si "fg" se reemplaza por "f.cog".

Los módulos finitamente cogenerados deben tener dimensión finita uniforme . Esto se ve fácilmente aplicando la caracterización usando el zócalo esencial finitamente generado. De manera algo asimétrica, los módulos finitamente generados no necesariamente tienen dimensión finita uniforme. Por ejemplo, un producto directo infinito de anillos distintos de cero es un módulo finitamente generado (¡cíclico!) sobre sí mismo, sin embargo claramente contiene una suma directa infinita de submódulos distintos de cero. Los módulos finitamente generados tampoco necesariamente tienen dimensión co-uniforme finita : cualquier anillo R con unidad tal que R / J ( R ) no sea un anillo semisimple es un contraejemplo.

Módulos finitamente presentados, finitamente relacionados y coherentes

Otra formulación es ésta: un módulo M finitamente generado es aquel para el cual existe un epimorfismo que mapea R ^k sobre M  :

f : R ^k → M .

Supongamos ahora que hay un epimorfismo,

φ  : F → M .

para un módulo M y módulo libre F .

• Si el núcleo de φ se genera finitamente, entonces M se denomina módulo finitamente relacionado . Dado que M es isomorfo a F /ker( φ ), esto básicamente expresa que M se obtiene tomando un módulo libre e introduciendo un número finito de relaciones dentro de F (los generadores de ker( φ )).
• Si el núcleo de φ se genera finitamente y F tiene rango finito (es decir, F = R ^k ), entonces se dice que M es un módulo finitamente presentado . Aquí, M se especifica utilizando un número finito de generadores (las imágenes de los k generadores de F = R ^k ) y un número finito de relaciones (los generadores de ker( φ )). Véase también: presentación libre . Los módulos finitamente presentados se pueden caracterizar por una propiedad abstracta dentro de la categoría de R -módulos : son precisamente los objetos compactos en esta categoría.
• Un módulo coherente M es un módulo generado finitamente cuyos submódulos generados finitamente se presentan finitamente.

En cualquier anillo R , los módulos coherentes se presentan finitamente, y los módulos presentados finitamente se generan finitamente y se relacionan finitamente. Para un anillo noetheriano R , finitamente generado, finitamente presentado y coherente son condiciones equivalentes en un módulo.

Se produce algún cruce entre módulos proyectivos o planos. Un módulo proyectivo finitamente generado se presenta finitamente y un módulo plano finitamente relacionado es proyectivo.

Es cierto también que las siguientes condiciones son equivalentes para un anillo R :

1. R es un anillo coherente recto .
2. El módulo R _R es un módulo coherente.
3. Todo módulo R finitamente presentado es coherente.

Aunque la coherencia parece una condición más engorrosa que la de generación finita o presentación finita, es mejor que ellas ya que la categoría de módulos coherentes es una categoría abeliana , mientras que, en general, ni los módulos generados finitamente ni los presentados finitamente forman una categoría abeliana.

Véase también

• Elemento integral
• Lema de Artin-Rees
• Módulo generado de forma contable
• Álgebra finita

Referencias

1. Por ejemplo, Matsumura utiliza esta terminología.
2. Bourbaki 1998, capítulo 1, §3, núm. 6, Proposición 11.
3. Matsumura 1989, Teorema 2.4.
4. Atiyah y Macdonald 1969, ejercicio 6.1.
5. Kaplansky 1970, pág. 11, Teorema 17.
6. Springer 1977, Teorema 2.5.6.

Libros de texto

• Atiyah, MF; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., págs. ix+128, MR  0242802
• Bourbaki, Nicolas (1998), Álgebra conmutativa. Capítulos 1-7 Traducido del francés. Reimpresión de la traducción al inglés de 1989 , Elements of Mathematics, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64239-0
• Kaplansky, Irving (1970), Anillos conmutativos , Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., págs. x+180, MR  0254021
• Lam, TY (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.º 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5
• Lang, Serge (1997), Álgebra (3.ª ed.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-55540-0
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría de anillos conmutativos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8, Traducido del japonés por M. Reid (2.ª ed.), Cambridge: Cambridge University Press, pp. xiv+320, ISBN 0-521-36764-6, Sr.  1011461
• Springer, Tonny A. (1977), Teoría invariante , Lecture Notes in Mathematics, vol. 585, Springer, doi :10.1007/BFb0095644, ISBN 978-3-540-08242-2.