En álgebra abstracta , un módulo se denomina módulo uniforme si la intersección de dos submódulos distintos de cero es distinta de cero. Esto equivale a decir que todo submódulo distinto de cero de M es un submódulo esencial . Un anillo puede denominarse anillo uniforme derecho (izquierdo) si es uniforme como módulo derecho (izquierdo) sobre sí mismo.
Alfred Goldie utilizó la noción de módulos uniformes para construir una medida de dimensión para módulos, ahora conocida como la dimensión uniforme (o dimensión de Goldie ) de un módulo. La dimensión uniforme generaliza algunos, pero no todos, los aspectos de la noción de dimensión de un espacio vectorial . La dimensión uniforme finita fue un supuesto clave para varios teoremas de Goldie, incluido el teorema de Goldie , que caracteriza qué anillos son órdenes rectos en un anillo semisimple . Los módulos de dimensión uniforme finita generalizan tanto los módulos artinianos como los módulos noetherianos .
En la literatura, la dimensión uniforme también se denomina simplemente dimensión de un módulo o rango de un módulo . La dimensión uniforme no debe confundirse con la noción relacionada, también debida a Goldie, de rango reducido de un módulo.
La uniformidad del módulo no suele preservarse mediante productos directos o módulos cocientes. La suma directa de dos módulos uniformes distintos de cero siempre contiene dos submódulos con intersección cero, es decir, los dos módulos sumando originales. Si N 1 y N 2 son submódulos propios de un módulo uniforme M y ninguno de los submódulos contiene al otro, entonces no es uniforme, ya que
Los módulos uniseriales son uniformes y los módulos uniformes son necesariamente directamente indescomponibles. Cualquier dominio conmutativo es un anillo uniforme, ya que si a y b son elementos distintos de cero de dos ideales, entonces el producto ab es un elemento distinto de cero en la intersección de los ideales.
El siguiente teorema permite definir una dimensión en módulos utilizando submódulos uniformes. Se trata de una versión modular de un teorema de espacio vectorial:
Teorema: Si U i y V j son miembros de una colección finita de submódulos uniformes de un módulo M tales que y son ambos submódulos esenciales de M , entonces n = m .
La dimensión uniforme de un módulo M , denotada u.dim( M ), se define como n si existe un conjunto finito de submódulos uniformes U i tales que es un submódulo esencial de M . El teorema precedente asegura que este n está bien definido. Si no existe tal conjunto finito de submódulos, entonces u.dim( M ) se define como ∞. Cuando se habla de la dimensión uniforme de un anillo, es necesario especificar si se está midiendo u.dim( R R ) o más bien u.dim( R R ). Es posible tener dos dimensiones uniformes diferentes en los lados opuestos de un anillo.
Si N es un submódulo de M , entonces u.dim( N ) ≤ u.dim( M ) con igualdad exactamente cuando N es un submódulo esencial de M . En particular, M y su envoltura inyectiva E ( M ) siempre tienen la misma dimensión uniforme. También es cierto que u.dim( M ) = n si y solo si E ( M ) es una suma directa de n módulos inyectivos indecomponibles .
Se puede demostrar que u.dim( M ) = ∞ si y sólo si M contiene una suma directa infinita de submódulos distintos de cero. Por lo tanto, si M es noetheriano o artiniano, M tiene dimensión uniforme finita. Si M tiene una longitud de composición finita k , entonces u.dim( M ) ≤ k con igualdad exactamente cuando M es un módulo semisimple . (Lam 1999)
Un resultado estándar es que un dominio noetheriano recto es un dominio ore recto . De hecho, podemos recuperar este resultado de otro teorema atribuido a Goldie, que establece que las tres condiciones siguientes son equivalentes para un dominio D :
La noción dual de módulo uniforme es la de módulo hueco : se dice que un módulo M es hueco si, cuando N 1 y N 2 son submódulos de M tales que , entonces N 1 = M o N 2 = M . De manera equivalente, también se podría decir que todo submódulo propio de M es un submódulo superfluo .
Estos módulos también admiten un análogo de dimensión uniforme, llamado dimensión co-uniforme , corank , dimensión hueca o dimensión dual de Goldie . Se realizaron estudios de módulos huecos y dimensión co-uniforme en (Fleury 1974), (Reiter 1981), (Takeuchi 1976), (Varadarajan 1979) y (Miyashita 1966). Se advierte al lector que Fleury exploró distintas formas de dualizar la dimensión de Goldie. Las versiones de dimensión hueca de Varadarajan, Takeuchi y Reiter son posiblemente las más naturales. Grzeszczuk y Puczylowski en (Grezeszcuk & Puczylowski 1984) dieron una definición de dimensión uniforme para redes modulares de modo que la dimensión hueca de un módulo era la dimensión uniforme de su red dual de submódulos.
Siempre es el caso de que un módulo finitamente cogenerado tiene dimensión uniforme finita. Esto plantea la pregunta: ¿un módulo finitamente generado tiene dimensión hueca finita? La respuesta resulta ser no: se demostró en (Sarath y Varadarajan 1979) que si un módulo M tiene dimensión hueca finita, entonces M / J ( M ) es un módulo semisimple , artiniano . Hay muchos anillos con unidad para los que R / J ( R ) no es artiniano semisimple, y dado un anillo R , R en sí mismo es finitamente generado pero tiene dimensión hueca infinita.
Sarath y Varadarajan demostraron más tarde que el hecho de que M / J ( M ) sea un artiniano semisimple también es suficiente para que M tenga una dimensión hueca finita siempre que J ( M ) sea un submódulo superfluo de M. [1] Esto demuestra que los anillos R con una dimensión hueca finita, ya sea como un módulo R izquierdo o derecho, son precisamente los anillos semilocales .
Un corolario adicional del resultado de Varadarajan es que R R tiene una dimensión hueca finita exactamente cuando R R la tiene. Esto contrasta con el caso de dimensión uniforme finita, ya que se sabe que un anillo puede tener una dimensión uniforme finita en un lado y una dimensión uniforme infinita en el otro.
