En teoría de números , una serie de Poincaré es una serie matemática que generaliza la serie theta clásica y que está asociada a cualquier grupo discreto de simetrías de un dominio complejo , posiblemente de varias variables complejas . En particular, generalizan las series clásicas de Eisenstein . Llevan el nombre de Henri Poincaré .
Si Γ es un grupo finito que actúa sobre un dominio D y H ( z ) es cualquier función meromorfa en D , entonces se obtiene una función automórfica promediando sobre Γ:
Sin embargo, si Γ es un grupo discreto , entonces se deben introducir factores adicionales para asegurar la convergencia de dicha serie. Para este fin, una serie de Poincaré es una serie de la forma
donde J γ es el determinante jacobiano del elemento del grupo γ, [1] y el asterisco indica que la suma tiene lugar sólo sobre representantes de clases laterales que producen términos distintos en la serie.
La serie clásica de Poincaré de peso 2 k de un grupo fucsiano Γ está definida por la serie
la suma que se extiende sobre clases de congruencia de transformaciones lineales fraccionarias
perteneciente a Γ. Eligiendo H como un carácter del grupo cíclico de orden n , se obtiene la llamada serie de Poincaré de orden n :
La última serie de Poincaré converge absoluta y uniformemente en conjuntos compactos (en el semiplano superior) y es una forma modular de peso 2 k para Γ. Tenga en cuenta que, cuando Γ es el grupo modular completo y n = 0, se obtiene la serie de Eisenstein de peso 2 k . En general, la serie de Poincaré es, para n ≥ 1, una forma cúspide .
