Carácter (matemáticas)

En matemáticas , un carácter es (más comúnmente) un tipo especial de función de un grupo a un campo (como los números complejos ). Hay al menos dos significados distintos, pero superpuestos. ^[1] Otros usos de la palabra "personaje" casi siempre están calificados.

Carácter multiplicativo

Un carácter multiplicativo (o carácter lineal , o simplemente carácter ) en un grupo G es un homomorfismo de grupo de G al grupo multiplicativo de un campo (Artin 1966), generalmente el campo de números complejos . Si G es cualquier grupo, entonces el conjunto Ch( G ) de estos morfismos forma un grupo abeliano bajo multiplicación puntual.

Este grupo se conoce como grupo de caracteres de G. A veces sólo se consideran caracteres unitarios (por lo que la imagen está en el círculo unitario ); otros homomorfismos similares se denominan cuasicaracteres . Los personajes de Dirichlet pueden verse como un caso especial de esta definición.

Los caracteres multiplicativos son linealmente independientes , es decir, si hay caracteres diferentes en un grupo G, entonces se deduce que . ${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}}$ ${\displaystyle a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\dots +a_{n}\chi _{n}=0}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0}$

Carácter de una representación

El carácter de una representación de un grupo G en un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un campo F es la traza de la representación (Serre 1977), es decir ${\displaystyle \chi :G\to F}$ ${\displaystyle \phi \colon G\to \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \chi _{\phi }(g)=\operatorname {Tr} (\phi (g))}$para ${\displaystyle g\in G}$

En general, la traza no es un homomorfismo de grupo, ni el conjunto de trazas forma un grupo. Los caracteres de las representaciones unidimensionales son idénticos a las representaciones unidimensionales, por lo que la noción anterior de carácter multiplicativo puede verse como un caso especial de caracteres de dimensiones superiores. El estudio de las representaciones mediante caracteres se denomina " teoría de los personajes " y los personajes unidimensionales también se denominan "caracteres lineales" en este contexto.

Definición alternativa

Si se restringe a un grupo abeliano finito con representación en (es decir ), la siguiente definición alternativa sería equivalente a la anterior (para grupos abelianos, cada representación matricial se descompone en una suma directa de representaciones. Para grupos no abelianos, la definición original sería más general que este): ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 1\times 1}$

Un carácter de grupo es un homomorfismo de grupo , es decir, para todos. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ${\displaystyle \chi :G\rightarrow \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \chi (x\cdot y)=\chi (x)\chi (y)}$ ${\displaystyle x,y\in G.}$

Si es un grupo abeliano finito, los personajes desempeñan el papel de armónicos. Para infinitos grupos abelianos, lo anterior se reemplazaría por ¿dónde está el grupo circular ? ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi :G\to \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Ver también

• grupo de personajes
• personaje dirichlet
• Personaje de Harish-Chandra
• personaje hecke
• Carácter infinitesimal
• Carácter alterno
• Caracterización (matemáticas)
• Dualidad de Pontryagin

Referencias

1. "personaje en nLab". ncatlab.org . Consultado el 31 de octubre de 2017 .

• Artin, Emil (1966), Teoría de Galois , Conferencias de matemáticas de Notre Dame, número 2, Arthur Norton Milgram (Publicaciones reimpresas de Dover, 1997), ISBN 978-0-486-62342-9 Conferencias impartidas en la Universidad de Notre Dame
• Serre, Jean-Pierre (1977), Representaciones lineales de grupos finitos , Textos de Licenciatura en Matemáticas , vol. 42, Traducido de la segunda edición francesa por Leonard L. Scott, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4684-9458-7, ISBN 0-387-90190-6, SEÑOR  0450380

enlaces externos

• "Carácter de un grupo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]