Teorema de Bertini

En matemáticas , el teorema de Bertini es un teorema de existencia y genericidad para secciones de hiperplanos suaves y conexos para variedades proyectivas suaves sobre cuerpos algebraicamente cerrados , introducido por Eugenio Bertini . Este es el más simple y amplio de los "teoremas de Bertini" que se aplican a un sistema lineal de divisores ; el más simple porque no hay restricción en la característica del cuerpo subyacente, mientras que las extensiones requieren una característica 0. ^{[1] [2]}

Declaración para secciones de hiperplanos de variedades suaves

Sea X una variedad cuasi-proyectiva suave sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, embebida en un espacio proyectivo . Sea X el sistema completo de divisores de hiperplanos en . Recordemos que es el espacio dual de y es isomorfo a . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle |H|}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbf {P} ^{n})^{\star }}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$

El teorema de Bertini establece que el conjunto de hiperplanos que no contienen a X y que tienen una intersección suave con X contiene un subconjunto denso abierto del sistema total de divisores . El conjunto en sí es abierto si X es proyectivo. Si , entonces estas intersecciones (llamadas secciones de hiperplano de X ) son conexas, por lo tanto irreducibles. ${\displaystyle |H|}$ ${\displaystyle \dim(X)\geq 2}$

El teorema afirma entonces que una sección de hiperplano general no igual a X es suave, es decir: la propiedad de suavidad es genérica.

Sobre un cuerpo arbitrario k , existe un subconjunto denso abierto del espacio dual cuyos puntos racionales definen hiperplanos (secciones de hiperplanos suaves) de X . Cuando k es infinito, este subconjunto abierto tiene entonces infinitos puntos racionales y hay infinitas secciones de hiperplanos suaves en X . ${\displaystyle (\mathbf {P} ^{n})^{\star }}$

En un cuerpo finito, el subconjunto abierto anterior no puede contener puntos racionales y, en general, no existen hiperplanos con intersección suave con X. Sin embargo, si tomamos hipersuperficies de grados suficientemente grandes, entonces se cumple el teorema de Bertini. ^[3]

Esquema de una prueba

Consideramos la subfibración de la variedad de producto con fibra por encima del sistema lineal de hiperplanos que intersecan X de manera no transversal en x . ${\displaystyle X\times |H|}$ ${\displaystyle x\in X}$

El rango de la fibración en el producto es uno menos que la codimensión de , de modo que el espacio total tiene menor dimensión que y por lo tanto su proyección está contenida en un divisor del sistema completo . ${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |H|}$

Declaración general

Sobre cualquier cuerpo infinito de característica 0, si X es una variedad cuasi-proyectiva suave , un miembro general de un sistema lineal de divisores en X es suave fuera del lugar geométrico base del sistema. Para mayor claridad, esto significa que dado un sistema lineal , la preimagen de un hiperplano H es suave --fuera del lugar geométrico base de f-- para todos los hiperplanos H en algún subconjunto denso y abierto del espacio proyectivo dual . Este teorema también se cumple en la característica p>0 cuando el sistema lineal f no está ramificado. ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{-1}(H)}$ ${\displaystyle (\mathbf {P} ^{n})^{\star }}$

Generalizaciones

El teorema de Bertini se ha generalizado de varias maneras. Por ejemplo, un resultado debido a Steven Kleiman afirma lo siguiente (cf. Teorema de Kleiman ): para un grupo algebraico conexo G , y cualquier variedad G homogénea X , y dos variedades Y y Z que se aplican a X , sea Y ^σ la variedad obtenida al dejar que σ ∈ G actúe sobre Y . Entonces, hay un subesquema denso abierto H de G tal que para σ ∈ H , está vacío o es puramente de la dimensión (esperada) dim Y + dim Z − dim X . Si, además, Y y Z son suaves y el cuerpo base tiene característica cero, entonces H puede tomarse tal que sea suave para todo , también. El teorema de Bertini anterior es el caso especial donde se expresa como el cociente de SL _n por el subgrupo de Borel de matrices triangulares superiores, Z es una subvariedad e Y es un hiperplano. ^[5] ${\displaystyle Y^{\sigma }\times _{X}Z}$ ${\displaystyle Y^{\sigma }\times _{X}Z}$ ${\displaystyle \sigma \in H}$ ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}}$

El teorema de Bertini también se ha generalizado a dominios de valoración discretos o campos finitos, o para recubrimientos étales de X.

El teorema se utiliza a menudo para pasos de inducción.

Véase también

• Teorema de conectividad de Grothendieck

Notas

1. "Teoremas de Bertini", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
2. Hartshorne, Cap. III.10.
3. Poonen, Bjorn (2004). "Teoremas de Bertini sobre cuerpos finitos". Anales de Matemáticas . 160 (3): 1099–1127. arXiv : math/0204002 . doi : 10.4007/annals.2004.160.1099 .
4. Jouanolou, Jean-Pierre (1983). Teoremas de Bertini y aplicaciones . Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. p. 89.ISBN​ 0-8176-3164-X.
5. Kleiman, Steven L. (1974), "La transversalidad de una traducción general", Compositio Mathematica , 28 : 287–297, ISSN  0010-437X

Referencias

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Bertini y sus dos teoremas fundamentales por Steven L. Kleiman, sobre la vida y obra de Eugenio Bertini