Variedad afín

Variedad algebraica definida dentro de un espacio afín

Una curva plana cúbica dada por ${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x+1)}$

En geometría algebraica , un conjunto algebraico afín es el conjunto de los ceros comunes sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k de alguna familia de polinomios en el anillo polinomial. Una variedad afín o variedad algebraica afín , es un conjunto algebraico afín tal que el ideal generado por los polinomios definitorios es primo . ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}].}$

Algunos textos utilizan el término variedad para cualquier conjunto algebraico, y variedad irreducible para un conjunto algebraico cuyo ideal definitorio es primo (variedad afín en el sentido mencionado anteriormente).

En algunos contextos (véase, por ejemplo, el Nullstellensatz de Hilbert ), es útil distinguir el cuerpo k en el que se consideran los coeficientes, del cuerpo algebraicamente cerrado K (que contiene a k ) sobre el que se consideran los ceros comunes (es decir, los puntos del conjunto algebraico afín están en K ⁿ ). En este caso, se dice que la variedad está definida sobre k , y los puntos de la variedad que pertenecen a k ⁿ se dicen k -racionales o racionales sobre k . En el caso común donde k es el cuerpo de los números reales , un punto k -racional se llama punto real . ^[1] Cuando no se especifica el cuerpo k , un punto racional es un punto que es racional sobre los números racionales . Por ejemplo, el Último Teorema de Fermat afirma que la variedad algebraica afín (es una curva) definida por x ⁿ  +  y ⁿ  − 1 = 0 no tiene puntos racionales para ningún entero n mayor que dos.

Introducción

Un conjunto algebraico afín es el conjunto de soluciones en un cuerpo algebraicamente cerrado k de un sistema de ecuaciones polinómicas con coeficientes en k . Más precisamente, si son polinomios con coeficientes en k , definen un conjunto algebraico afín ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$

${\displaystyle V(f_{1},\ldots ,f_{m})=\left\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}\;|\;f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ldots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}.}$

Una variedad afín (algebraica) es un conjunto algebraico afín que no es la unión de dos subconjuntos algebraicos afines propios. Se dice a menudo que un conjunto algebraico afín de este tipo es irreducible .

Si X es un conjunto algebraico afín, e I es el ideal de todos los polinomios que son cero en X , entonces el anillo cociente se llama ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I}$anillo de coordenadas deX. SiXes una variedad afín, entoncesIes primo, por lo que el anillo de coordenadas es undominio integral. Los elementos del anillo de coordenadasRtambién se denominanfunciones regularesofunciones polinómicassobre la variedad. Forman elanillo de funciones regulares sobre la variedad o, simplemente, elanillo de la variedad; en otras palabras (véase #Haz de estructura), es el espacio de secciones globales del haz de estructura deX.

La dimensión de una variedad es un número entero asociado a toda variedad, e incluso a todo conjunto algebraico, cuya importancia reside en el gran número de sus definiciones equivalentes (ver Dimensión de una variedad algebraica ).

Ejemplos

• El complemento de una hipersuperficie en una variedad afín X (es decir, X \ { f = 0 } para algún polinomio f ) es afín. Sus ecuaciones definitorias se obtienen saturando por f el ideal definitorio de X . El anillo de coordenadas es, por tanto, la localización . ${\displaystyle k[X][f^{-1}]}$
• En particular, (la línea afín con el origen eliminado) es afín. ${\displaystyle \mathbb {C} -0}$
• Por otra parte, (el plano afín con el origen eliminado) no es una variedad afín; cf. Teorema de extensión de Hartogs . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}-0}$
• Las subvariedades de la codimensión uno en el espacio afín son exactamente las hipersuperficies, es decir, las variedades definidas por un solo polinomio. ${\displaystyle k^{n}}$
• La normalización de una variedad afín irreducible es afín; el anillo de coordenadas de la normalización es el cierre integral del anillo de coordenadas de la variedad. (De manera similar, la normalización de una variedad proyectiva es una variedad proyectiva).

Puntos racionales

Un dibujo de los puntos reales de la curva y ²  =  x ³  −  x ²  − 16 x .

Para una variedad afín sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K , y un subcuerpo k de K , un punto k - racional de V es un punto Es decir, un punto de V cuyas coordenadas son elementos de k . La colección de puntos k - racionales de una variedad afín V se denota a menudo como A menudo, si el cuerpo base son los números complejos C , los puntos que son R - racionales (donde R son los números reales ) se denominan puntos reales de la variedad, y los puntos Q - racionales ( Q los números racionales ) a menudo se denominan simplemente puntos racionales . ${\displaystyle V\subseteq K^{n}}$ ${\displaystyle p\in V\cap k^{n}.}$ ${\displaystyle V(k).}$

Por ejemplo, (1, 0) es un punto Q -racional y un punto R -racional de la variedad tal como está en V y todas sus coordenadas son números enteros. El punto ( √ 2 /2, √ 2 /2) es un punto real de V que no es Q -racional, y es un punto de V que no es R -racional. Esta variedad se llama círculo , porque el conjunto de sus puntos R -racionales es el círculo unitario . Tiene infinitos puntos Q -racionales que son los puntos ${\displaystyle V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq \mathbf {C} ^{2},}$ ${\displaystyle (i,{\sqrt {2}})}$

${\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$

donde t es un número racional.

El círculo es un ejemplo de curva algebraica de grado dos que no tiene ningún punto Q -racional. Esto se puede deducir del hecho de que, módulo 4 , la suma de dos cuadrados no puede ser 3 . ${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}-3)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$

Se puede demostrar que una curva algebraica de grado dos con un punto Q -racional tiene infinitos otros puntos Q -racionales; cada uno de estos puntos es el segundo punto de intersección de la curva y una línea con pendiente racional que pasa por el punto racional.

La variedad compleja no tiene puntos R -racionales, pero tiene muchos puntos complejos. ${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}+1)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$

Si V es una variedad afín en C ² definida sobre los números complejos C , los puntos R -racionales de V se pueden dibujar en una hoja de papel o mediante un software de gráficos. La figura de la derecha muestra los puntos R -racionales de ${\displaystyle V(y^{2}-x^{3}+x^{2}+16x)\subseteq \mathbf {C} ^{2}.}$

Puntos singulares y espacio tangente

Sea V una variedad afín definida por los polinomios y un punto de V. ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}],}$ ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

La matriz jacobiana J _V ( a ) de V en a es la matriz de las derivadas parciales

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}$

El punto a es regular si el rango de J _V ( a ) es igual a la codimensión de V , y singular en caso contrario.

Si a es regular, el espacio tangente a V en a es el subespacio afín de definido por las ecuaciones lineales ^[2] ${\displaystyle k^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n})(x_{i}-a_{i})=0,\quad j=1,\dots ,r.}$

Si el punto es singular, el subespacio afín definido por estas ecuaciones también es llamado espacio tangente por algunos autores, mientras que otros autores dicen que no existe espacio tangente en un punto singular. ^[3] Una definición más intrínseca, que no utiliza coordenadas, la da el espacio tangente de Zariski .

La topología de Zariski

Los conjuntos algebraicos afines de k ⁿ forman los conjuntos cerrados de una topología en k ⁿ , llamada topología de Zariski . Esto se deduce del hecho de que y (de hecho, una intersección numerable de conjuntos algebraicos afines es un conjunto algebraico afín). ${\displaystyle V(0)=k^{n},}$ ${\displaystyle V(1)=\emptyset ,}$ ${\displaystyle V(S)\cup V(T)=V(ST),}$ ${\displaystyle V(S)\cap V(T)=V(S,T)}$

La topología de Zariski también se puede describir por medio de conjuntos abiertos básicos , donde los conjuntos abiertos de Zariski son uniones contables de conjuntos de la forma para Estos conjuntos abiertos básicos son los complementos en k ⁿ de los conjuntos cerrados lugares geométricos cero de un único polinomio. Si k es noetheriano (por ejemplo, si k es un cuerpo o un dominio ideal principal ), entonces cada ideal de k es finitamente generado, por lo que cada conjunto abierto es una unión finita de conjuntos abiertos básicos. ${\displaystyle U_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)\neq 0\}}$ ${\displaystyle f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$ ${\displaystyle V(f)=D_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)=0\},}$

Si V es una subvariedad afín de k ^n, la topología de Zariski en V es simplemente la topología del subespacio heredada de la topología de Zariski en k ⁿ .

Correspondencia entre geometría y álgebra

La estructura geométrica de una variedad afín está vinculada de manera profunda a la estructura algebraica de su anillo de coordenadas. Sean I y J ideales de k[V] , el anillo de coordenadas de una variedad afín V . Sea I(V) el conjunto de todos los polinomios en que se anulan en V , y sea denotado el radical del ideal I , el conjunto de polinomios f para los cuales alguna potencia de f está en I . La razón por la que se requiere que el cuerpo base sea algebraicamente cerrado es que las variedades afines satisfacen automáticamente el nullstellensatz de Hilbert : para un ideal J en donde k es un cuerpo algebraicamente cerrado, ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$ ${\displaystyle I(V(J))={\sqrt {J}}.}$

Los ideales radicales (ideales que son su propio radical) de k[V] corresponden a subconjuntos algebraicos de V . De hecho, para los ideales radicales I y J , si y solo si Por lo tanto V(I)=V(J) si y solo si I=J . Además, la función que toma un conjunto algebraico afín W y devuelve I(W) , el conjunto de todas las funciones que también se anulan en todos los puntos de W , es la inversa de la función que asigna un conjunto algebraico a un ideal radical, por el nullstellensatz. Por lo tanto, la correspondencia entre conjuntos algebraicos afines e ideales radicales es una biyección. El anillo de coordenadas de un conjunto algebraico afín se reduce (nilpotente-libre), ya que un ideal I en un anillo R es radical si y solo si el anillo cociente R/I se reduce. ${\displaystyle I\subseteq J}$ ${\displaystyle V(J)\subseteq V(I).}$

Los ideales primos del anillo de coordenadas corresponden a subvariedades afines. Un conjunto algebraico afín V(I) puede escribirse como la unión de otros dos conjuntos algebraicos si y solo si I=JK para ideales propios J y K no iguales a I (en cuyo caso ). Este es el caso si y solo si I no es primo. Las subvariedades afines son precisamente aquellas cuyo anillo de coordenadas es un dominio integral. Esto se debe a que un ideal es primo si y solo si el cociente del anillo por el ideal es un dominio integral. ${\displaystyle V(I)=V(J)\cup V(K)}$

Los ideales máximos de k[V] corresponden a puntos de V . Si I y J son ideales radicales, entonces si y solo si Como los ideales máximos son radicales, los ideales máximos corresponden a conjuntos algebraicos minimales (aquellos que no contienen subconjuntos algebraicos propios), que son puntos en V . Si V es una variedad afín con anillo de coordenadas esta correspondencia se hace explícita a través de la función donde denota la imagen en el álgebra de cocientes R del polinomio Un subconjunto algebraico es un punto si y solo si el anillo de coordenadas del subconjunto es un cuerpo, como el cociente de un anillo por un ideal máximo es un cuerpo. ${\displaystyle V(J)\subseteq V(I)}$ ${\displaystyle I\subseteq J.}$ ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle ,}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto \langle {\overline {x_{1}-a_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}-a_{n}}}\rangle ,}$ ${\displaystyle {\overline {x_{i}-a_{i}}}}$ ${\displaystyle x_{i}-a_{i}.}$

La siguiente tabla resume esta correspondencia, para subconjuntos algebraicos de una variedad afín e ideales del anillo de coordenadas correspondiente:

Productos de variedades afines

Un producto de variedades afines puede definirse usando el isomorfismo A ⁿ  ×  A ^m  =  A ^{n + m} , y luego incrustando el producto en este nuevo espacio afín. Sean A ⁿ y A ^m que tienen anillos de coordenadas k [ x ₁ ,...,  x _n ] y k [ y ₁ ,...,  y _m ] respectivamente, de modo que su producto A ^{n + m} tiene anillo de coordenadas k [ x ₁ ,...,  x _n ,  y ₁ ,...,  y _m ] . Sea V  =  V (  f ₁ ,...,  f _N ) un subconjunto algebraico de A ⁿ , y W  =  V (  g ₁ ,...,  g _M ) un subconjunto algebraico de A ^m . Entonces cada f _i es un polinomio en k [ x ₁ ,...,  x _n ] , y cada g _j está en k [ y ₁ ,...,  y _m ] . El producto de V y W se define como el conjunto algebraico V  ×  W  =  V (  f ₁ ,...,  f _N ,  g ₁ ,...,  g _M ) en A ^{n + m} . El producto es irreducible si cada V , W es irreducible. ^[4]

La topología de Zariski en A ⁿ  ×  A ^m  no es el producto topológico de las topologías de Zariski en los dos espacios. De hecho, la topología del producto se genera por productos de los conjuntos abiertos básicos U _f  =  A ⁿ  −  V (  f  ) y T _g  =  A ^m  −  V (  g  ). Por lo tanto, los polinomios que están en k [ x ₁ ,...,  x _n ,  y ₁ ,...,  y _m ] pero que no se pueden obtener como un producto de un polinomio en k [ x ₁ ,...,  x _n ] con un polinomio en k [ y ₁ ,...,  y _m ] definirán conjuntos algebraicos que están en la topología de Zariski en A ⁿ  ×  A ^m  , pero no en la topología del producto.

Morfismos de variedades afines

Un morfismo, o aplicación regular, de variedades afines es una función entre variedades afines que es polinómica en cada coordenada: más precisamente, para las variedades afines V ⊆ k ⁿ y W ⊆ k ^m , un morfismo de V a W es una función φ  : V → W de la forma φ ( a ₁ , ..., a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., a _n )), donde f _i ∈ k [ X ₁ , ..., X _n ] para cada i = 1, ..., m . Estos son los morfismos en la categoría de variedades afines.

Existe una correspondencia biunívoca entre morfismos de variedades afines sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k y homomorfismos de anillos de coordenadas de variedades afines sobre k que van en la dirección opuesta. Debido a esto, junto con el hecho de que existe una correspondencia biunívoca entre variedades afines sobre k y sus anillos de coordenadas, la categoría de variedades afines sobre k es dual a la categoría de anillos de coordenadas de variedades afines sobre k . La categoría de anillos de coordenadas de variedades afines sobre k es precisamente la categoría de álgebras libres nilpotentes y finitamente generadas sobre k .

Más precisamente, para cada morfismo φ  : V → W de variedades afines, hay un homomorfismo φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] entre los anillos de coordenadas (que van en la dirección opuesta), y para cada uno de estos homomorfismos, hay un morfismo de las variedades asociadas a los anillos de coordenadas. Esto se puede demostrar explícitamente: sean V ⊆ k ⁿ y W ⊆ k ^m variedades afines con anillos de coordenadas k [ V ] = k [ X ₁ , ..., X _n ] / I y k [ W ] = k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J respectivamente. Sea φ  : V → W un morfismo. De hecho, un homomorfismo entre anillos polinómicos θ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] / I se factoriza de forma única a través del anillo k [ X ₁ , ..., X _n ], y un homomorfismo ψ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] está determinado de forma única por las imágenes de Y ₁ , ..., Y _m . Por lo tanto, cada homomorfismo φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] corresponde de forma única a una elección de imagen para cada Y _i . Entonces, dado cualquier morfismo φ = ( f ₁ , ..., f _m ) de V a W , se puede construir un homomorfismo φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] que envía Y _i a donde es la clase de equivalencia de f _i en k [ V ]. ${\displaystyle {\overline {f_{i}}},}$ ${\displaystyle {\overline {f_{i}}}}$

De manera similar, para cada homomorfismo de los anillos de coordenadas, se puede construir un morfismo de las variedades afines en la dirección opuesta. Reflejando el párrafo anterior, un homomorfismo φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] envía Y _i a un polinomio en k [ V ] . Esto corresponde al morfismo de variedades φ  : V → W definido por φ ( a ₁ , ... , a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., a _n )). ${\displaystyle f_{i}(X_{1},\dots ,X_{n})}$

Estructura de la gavilla

Dotada de la estructura de haz que se describe a continuación, una variedad afín es un espacio anillado localmente .

Dada una variedad afín X con anillo de coordenadas A , el haz de k -álgebras se define dejando ser el anillo de funciones regulares en U . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$

Sea D ( f ) = { x | f ( x ) ≠ 0 } para cada f en A . Forman una base para la topología de X y por lo tanto está determinada por sus valores en los conjuntos abiertos D ( f ). (Véase también: haz de módulos#Haz asociado a un módulo .) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

El hecho clave, en el que se apoya de manera esencial la teoría nullstellensatz de Hilbert , es el siguiente:

Reclamación  —  para cualquier f en A . ${\displaystyle \Gamma (D(f),{\mathcal {O}}_{X})=A[f^{-1}]}$

Demostración: ^[5] La inclusión ⊃ es clara. Para lo opuesto, sea g en el lado izquierdo y , que es un ideal. Si x está en D ( f ), entonces, como g es regular cerca de x , existe algún entorno afín abierto D ( h ) de x tal que ; es decir, h ^m g está en A y, por lo tanto, x no está en V ( J ). En otras palabras, y, por lo tanto, el nullstellensatz de Hilbert implica que f está en el radical de J ; es decir, . ${\displaystyle J=\{h\in A|hg\in A\}}$ ${\displaystyle g\in k[D(h)]=A[h^{-1}]}$ ${\displaystyle V(J)\subset \{x|f(x)=0\}}$ ${\displaystyle f^{n}g\in A}$ ${\displaystyle \square }$

La afirmación, en primer lugar, implica que X es un espacio "localmente anillado" ya que

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}=\varinjlim _{f(x)\neq 0}A[f^{-1}]=A_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$

donde . En segundo lugar, la afirmación implica que es un haz; de hecho, dice que si una función es regular (puntual) en D ( f ), entonces debe estar en el anillo de coordenadas de D ( f ); es decir, la "regularidad" se puede remendar. ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{f\in A|f(x)=0\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Se trata , por tanto, de un espacio anillado local. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Teorema de Serre sobre la afinidad

Un teorema de Serre da una caracterización cohomológica de una variedad afín; dice que una variedad algebraica es afín si y sólo si para cualquier haz cuasi coherente F en X (cf. el teorema B de Cartan ). Esto hace que el estudio cohomológico de una variedad afín sea inexistente, en marcado contraste con el caso proyectivo en el que los grupos de cohomología de fibrados de líneas son de interés central. ${\displaystyle H^{i}(X,F)=0}$ ${\displaystyle i>0}$

Grupos algebraicos afines

Una variedad afín G sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k se denomina grupo algebraico afín si tiene:

• Una multiplicación μ :  G  ×  G  →  G , que es un morfismo regular que sigue el axioma de asociatividad , es decir, tal que μ ( μ ( f ,  g ),  h ) =  μ ( f ,  μ ( g ,  h )) para todos los puntos f , g y h en G ;
• Un elemento identidad e tal que μ ( e ,  g ) =  μ ( g ,  e ) =  g para cada g en G ;
• Un morfismo inverso , una biyección regular ι :  G  →  G tal que μ ( ι ( g ),  g ) =  μ ( g ,  ι ( g )) =  e para cada g en G .

Juntos, estos definen una estructura de grupo en la variedad. Los morfismos anteriores se escriben a menudo utilizando la notación de grupo ordinaria: μ ( f ,  g ) se puede escribir como f  +  g , f ⋅ g o fg ; la inversa ι ( g ) se puede escribir como − g o g ⁻¹ . Usando la notación multiplicativa, las leyes de asociatividad, identidad e inversa se pueden reescribir como: f ( gh ) = ( fg ) h , ge  =  eg  =  g y gg ⁻¹  =  g ⁻¹ g  =  e .

El ejemplo más destacado de un grupo algebraico afín es GL _n ( k ), el grupo lineal general de grado n . Este es el grupo de transformaciones lineales del espacio vectorial k ⁿ ; si una base de k ⁿ , es fija, esto es equivalente al grupo de matrices invertibles n × n con entradas en k . Se puede demostrar que cualquier grupo algebraico afín es isomorfo a un subgrupo de GL _n ( k ) . Por esta razón, los grupos algebraicos afines a menudo se denominan grupos algebraicos lineales .

Los grupos algebraicos afines juegan un papel importante en la clasificación de grupos simples finitos , ya que los grupos de tipo Lie son todos conjuntos de puntos F _q -racionales de un grupo algebraico afín, donde F _q es un cuerpo finito.

Generalizaciones

• Si un autor requiere que el cuerpo base de una variedad afín sea algebraicamente cerrado (como lo hace este artículo), entonces los conjuntos algebraicos afines irreducibles sobre cuerpos no algebraicamente cerrados son una generalización de las variedades afines. Esta generalización incluye notablemente las variedades afines sobre los números reales .

• Una variedad afín cumple la función de carta local para las variedades algebraicas ; es decir, las variedades algebraicas generales, como las variedades proyectivas, se obtienen mediante la unión de variedades afines. Las estructuras lineales que se unen a las variedades también son variedades afines (trivialmente); por ejemplo, los espacios tangentes, las fibras de los fibrados vectoriales algebraicos .

• Una variedad afín es un caso especial de un esquema afín , un espacio anillado localmente que es isomorfo al espectro de un anillo conmutativo (hasta una equivalencia de categorías ). Cada variedad afín tiene un esquema afín asociado a ella: si V(I) es una variedad afín en k ⁿ con anillo de coordenadas R = k [ x ₁ , ..., x _n ] / I , entonces el esquema correspondiente a V(I) es Spec( R ), el conjunto de ideales primos de R . El esquema afín tiene "puntos clásicos", que corresponden a puntos de la variedad (y por lo tanto ideales máximos del anillo de coordenadas de la variedad), y también un punto para cada subvariedad cerrada de la variedad (estos puntos corresponden a ideales primos, no máximos del anillo de coordenadas). Esto crea una noción mejor definida del "punto genérico" de una variedad afín, al asignar a cada subvariedad cerrada un punto abierto que es denso en la subvariedad. De manera más general, un esquema afín es una variedad afín si es reducido , irreducible y de tipo finito sobre un campo algebraicamente cerrado k .

Notas

1. Reid (1988)
2. Milne (2017), cap. 5
3. Reid (1988), pág. 94.
4. Esto se debe a que, sobre un campo algebraicamente cerrado, el producto tensorial de dominios integrales es un dominio integral; véase dominio integral#Propiedades .
5. Mumford 1999, Cap. I, § 4. Proposición 1.

Véase también

• Variedad algebraica
• Esquema afín
• Representaciones en anillos de coordenadas

Referencias

El artículo original fue escrito como una traducción humana parcial del artículo francés correspondiente.

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Fulton, William (1969). Curvas algebraicas (PDF) . Addison-Wesley. ISBN 0-201-510103.
• Milne, James S. (2017). "Geometría algebraica" (PDF) . www.jmilne.org . Consultado el 16 de julio de 2021 .
• Milne, James S. Conferencias sobre cohomología de Étale
• Mumford, David (1999). El libro rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre curvas y sus jacobianos . Apuntes de clase sobre matemáticas. Vol. 1358 (2.ª ed.). Springer-Verlag . doi :10.1007/b62130. ISBN. 354063293X.
• Reid, Miles (1988). Geometría algebraica de pregrado . Cambridge University Press. ISBN 0-521-35662-8.