Homología relativa

En topología algebraica , una rama de las matemáticas , la homología (singular) de un espacio topológico con respecto a un subespacio es una construcción en homología singular , para pares de espacios . La homología relativa es útil e importante de varias maneras. Intuitivamente, ayuda a determinar qué parte de un grupo de homología absoluta proviene de qué subespacio.

Definición

Dado un subespacio , se puede formar la secuencia exacta corta ${\displaystyle A\subseteq X}$

${\displaystyle 0\to C_{\bullet }(A)\to C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)\to 0,}$

donde denota las cadenas singulares en el espacio X . La función límite en desciende ^a y por lo tanto induce una función límite en el cociente. Si denotamos este cociente por , entonces tenemos un complejo ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$ ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$ ${\displaystyle C_{\bullet }(A)}$ ${\displaystyle \partial '_{\bullet }}$ ${\displaystyle C_{n}(X,A):=C_{n}(X)/C_{n}(A)}$

${\displaystyle \cdots \longrightarrow C_{n}(X,A)\xrightarrow {\partial '_{n}} C_{n-1}(X,A)\longrightarrow \cdots .}$

Por definición, el n- ^ésimo grupo de homología relativa del par de espacios es ${\displaystyle (X,A)}$

${\displaystyle H_{n}(X,A):=\ker \partial '_{n}/\operatorname {im} \partial '_{n+1}.}$

Se dice que la homología relativa está dada por los ciclos relativos , cadenas cuyos límites son cadenas en A , módulo los límites relativos (cadenas que son homólogas a una cadena en A , es decir, cadenas que serían límites, módulo A nuevamente). ^[1]

Propiedades

Las secuencias cortas exactas anteriores que especifican los grupos de cadenas relativos dan lugar a un complejo de cadenas de secuencias cortas exactas. Una aplicación del lema de la serpiente produce entonces una secuencia larga exacta

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A){\stackrel {i_{*}}{\to }}H_{n}(X){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(X,A){\stackrel {\partial }{\to }}H_{n-1}(A)\to \cdots .}$

El mapa de conexión toma un ciclo relativo, que representa una clase de homología en , hasta su límite (que es un ciclo en A ). ^[2] ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$

De ello se deduce que , donde es un punto en X , es el n -ésimo grupo de homología reducido de X . En otras palabras, para todo . Cuando , es el módulo libre de un rango menor que . El componente conexo que contiene se vuelve trivial en homología relativa. ${\displaystyle H_{n}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle H_{i}(X,x_{0})=H_{i}(X)}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle i=0}$ ${\displaystyle H_{0}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle H_{0}(X)}$ ${\displaystyle x_{0}}$

El teorema de escisión dice que al eliminar un subconjunto suficientemente bueno, los grupos de homología relativa no cambian. Si tiene un vecindario en el que la deformación se retrae a , entonces, utilizando la secuencia larga exacta de pares y el teorema de escisión, se puede demostrar que es lo mismo que los n -ésimos grupos de homología reducidos del espacio cociente . ${\displaystyle Z\subset A}$ ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$ ${\displaystyle X/A}$

La homología relativa se extiende fácilmente al triple para . ${\displaystyle (X,Y,Z)}$ ${\displaystyle Z\subset Y\subset X}$

Se puede definir la característica de Euler para un par mediante ${\displaystyle Y\subset X}$

${\displaystyle \chi (X,Y)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {rank} H_{j}(X,Y).}$

La exactitud de la secuencia implica que la característica de Euler es aditiva , es decir, si se tiene ${\displaystyle Z\subset Y\subset X}$

${\displaystyle \chi (X,Z)=\chi (X,Y)+\chi (Y,Z).}$

Homología local

El -ésimo grupo de homología local de un espacio en un punto , denotado ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle H_{n,\{x_{0}\}}(X)}$

se define como el grupo de homología relativa . De manera informal, esta es la homología "local" de cerca de . ${\displaystyle H_{n}(X,X\setminus \{x_{0}\})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Homología local del cono CX en el origen

Un ejemplo sencillo de homología local es el cálculo de la homología local del cono (topología) de un espacio en el origen del cono. Recordemos que el cono se define como el espacio cociente

${\displaystyle CX=(X\times I)/(X\times \{0\}),}$

donde tiene la topología del subespacio. Entonces, el origen es la clase de equivalencia de puntos . Usando la intuición de que el grupo de homología local de en captura la homología de "cerca" del origen, deberíamos esperar que esta sea la homología de ya que tiene una retracción de homotopía a . El cálculo de la homología local se puede hacer usando la secuencia exacta larga en homología ${\displaystyle X\times \{0\}}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle [X\times 0]}$ ${\displaystyle H_{*,\{x_{0}\}}(CX)}$ ${\displaystyle CX}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle CX}$ ${\displaystyle H_{*}(X)}$ ${\displaystyle CX\setminus \{x_{0}\}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\to &H_{n}(CX\setminus \{x_{0}\})\to H_{n}(CX)\to H_{n,\{x_{0}\}}(CX)\\\to &H_{n-1}(CX\setminus \{x_{0}\})\to H_{n-1}(CX)\to H_{n-1,\{x_{0}\}}(CX).\end{aligned}}}$

Como el cono de un espacio es contráctil , los grupos de homología intermedios son todos cero, lo que da el isomorfismo

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n,\{x_{0}\}}(CX)&\cong H_{n-1}(CX\setminus \{x_{0}\})\\&\cong H_{n-1}(X),\end{aligned}}}$

ya que es contráctil a . ${\displaystyle CX\setminus \{x_{0}\}}$ ${\displaystyle X}$

En geometría algebraica

Nótese que la construcción anterior se puede demostrar en geometría algebraica utilizando el cono afín de una variedad proyectiva usando cohomología local . ${\displaystyle X}$

Homología local de un punto en una variedad suave

Otro cálculo para la homología local se puede realizar en un punto de una variedad . Entonces, sea un entorno compacto de isomorfo a un disco cerrado y sea . Usando el teorema de escisión, existe un isomorfismo de grupos de homología relativa ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {D} ^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|\leq 1\}}$ ${\displaystyle U=M\setminus K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(M,M\setminus \{p\})&\cong H_{n}(M\setminus U,M\setminus (U\cup \{p\}))\\&=H_{n}(K,K\setminus \{p\}),\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la homología local de un punto se reduce a la homología local de un punto en una bola cerrada . Debido a la equivalencia de homotopía ${\displaystyle \mathbb {D} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{n}\setminus \{0\}\simeq S^{n-1}}$

Y el hecho

${\displaystyle H_{k}(\mathbb {D} ^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\0&k\neq 0,\end{cases}}}$

La única parte no trivial de la secuencia larga y exacta del par es ${\displaystyle (\mathbb {D} ,\mathbb {D} \setminus \{0\})}$

${\displaystyle 0\to H_{n,\{0\}}(\mathbb {D} ^{n})\to H_{n-1}(S^{n-1})\to 0,}$

Por lo tanto, el único grupo de homología local distinto de cero es . ${\displaystyle H_{n,\{0\}}(\mathbb {D} ^{n})}$

Funcionalidad

Al igual que en la homología absoluta, las funciones continuas entre espacios inducen homomorfismos entre grupos de homología relativa. De hecho, esta función es exactamente la función inducida en los grupos de homología, pero desciende al cociente.

Sean y pares de espacios tales que y , y sea una función continua. Entonces existe una función inducida en los grupos de cadenas (absolutas). Si , entonces . Sea ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle (Y,B)}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f_{\#}\colon C_{n}(X)\to C_{n}(Y)}$ ${\displaystyle f(A)\subseteq B}$ ${\displaystyle f_{\#}(C_{n}(A))\subseteq C_{n}(B)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{X}&:C_{n}(X)\longrightarrow C_{n}(X)/C_{n}(A)\\\pi _{Y}&:C_{n}(Y)\longrightarrow C_{n}(Y)/C_{n}(B)\\\end{aligned}}}$

sean las proyecciones naturales que llevan los elementos a sus clases de equivalencia en los grupos cocientes . Entonces la función es un homomorfismo de grupo. Como , esta función desciende al cociente, induciendo una función bien definida tal que el siguiente diagrama conmuta: ^[3] ${\displaystyle \pi _{Y}\circ f_{\#}\colon C_{n}(X)\to C_{n}(Y)/C_{n}(B)}$ ${\displaystyle f_{\#}(C_{n}(A))\subseteq C_{n}(B)=\ker \pi _{Y}}$ ${\displaystyle \varphi \colon C_{n}(X)/C_{n}(A)\to C_{n}(Y)/C_{n}(B)}$

Los mapas de cadena inducen homomorfismos entre grupos de homología, por lo que inducen un mapa en los grupos de homología relativos. ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}(X,A)\to H_{n}(Y,B)}$

Ejemplos

Un uso importante de la homología relativa es el cálculo de los grupos de homología de espacios cocientes . En el caso de que sea un subespacio de que cumpla la condición de regularidad leve de que exista un entorno de que tenga como retracción de deformación , entonces el grupo es isomorfo a . Podemos utilizar inmediatamente este hecho para calcular la homología de una esfera. Podemos realizar como el cociente de un n-disco por su borde, es decir . Aplicando la secuencia exacta de homología relativa obtenemos lo siguiente: ${\displaystyle X/A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X/A)}$ ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}=D^{n}/S^{n-1}}$
${\displaystyle \cdots \to {\tilde {H}}_{n}(D^{n})\rightarrow H_{n}(D^{n},S^{n-1})\rightarrow {\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})\rightarrow {\tilde {H}}_{n-1}(D^{n})\to \cdots .}$

Como el disco es contráctil, sabemos que sus grupos de homología reducidos se desvanecen en todas las dimensiones, por lo que la secuencia anterior colapsa en la secuencia exacta corta:

${\displaystyle 0\rightarrow H_{n}(D^{n},S^{n-1})\rightarrow {\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})\rightarrow 0.}$

Por lo tanto, obtenemos isomorfismos . Ahora podemos proceder por inducción para demostrar que . Ahora, como es la retracción de deformación de un entorno adecuado de sí mismo en , obtenemos que . ${\displaystyle H_{n}(D^{n},S^{n-1})\cong {\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})}$ ${\displaystyle H_{n}(D^{n},S^{n-1})\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle H_{n}(D^{n},S^{n-1})\cong {\tilde {H}}_{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z} }$

Otro ejemplo geométrico revelador lo da la homología relativa de donde . Entonces podemos usar la secuencia exacta larga ${\displaystyle (X=\mathbb {C} ^{*},D=\{1,\alpha \})}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0,1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H_{1}(D)\to H_{1}(X)\to H_{1}(X,D)\\&\to H_{0}(D)\to H_{0}(X)\to H_{0}(X,D)\end{aligned}}={\begin{aligned}0&\to 0\to \mathbb {Z} \to H_{1}(X,D)\\&\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to \mathbb {Z} \to 0\end{aligned}}}$

Usando la exactitud de la secuencia podemos ver que contiene un bucle en sentido antihorario alrededor del origen. Dado que el co-núcleo de encaja en la secuencia exacta ${\displaystyle H_{1}(X,D)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \phi \colon \mathbb {Z} \to H_{1}(X,D)}$

${\displaystyle 0\to \operatorname {coker} (\phi )\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to \mathbb {Z} \to 0}$

Debe ser isomorfo a . Un generador para el co-núcleo es la cadena ya que su mapa de límites es ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [1,\alpha ]}$

${\displaystyle \partial ([1,\alpha ])=[\alpha ]-[1]}$

Véase también

• Teorema de escisión
• Secuencia de Mayer-Vietoris

Notas

^ es decir, el límitese asignaa ${\displaystyle \partial \colon C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}(A)}$ ${\displaystyle C_{n-1}(A)}$

Referencias

• "Grupos de homología relativa". PlanetMath .
• Joseph J. Rotman , Introducción a la topología algebraica , Springer-Verlag , ISBN 0-387-96678-1 

Específico

1. Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press . ISBN. 9780521795401.OCLC 45420394  .
2. Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge: Cambridge University Press. págs. 118-119. ISBN 9780521795401.OCLC 45420394  .
3. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. ISBN 9780471452348.OCLC 248917264  .