Derivador

En matemáticas , los derivadores son un marco propuesto ^{[1] [2] pág. 190-195} para el álgebra homológica que proporciona una base tanto para el álgebra homológica abeliana como para la no abeliana y varias generalizaciones de esta. Se introdujeron para abordar las deficiencias de las categorías derivadas (como la no funcionalidad de la construcción del cono) y proporcionar al mismo tiempo un lenguaje para el álgebra homotópica .

Los derivadores fueron introducidos por primera vez por Alexander Grothendieck en su manuscrito inédito de 1983 Pursuing Stacks . Luego fueron desarrollados por él en el enorme manuscrito inédito de 1991 Les Dérivateurs de casi 2000 páginas. Esencialmente, el mismo concepto fue introducido (aparentemente de forma independiente) por Alex Heller. ^[3]

El manuscrito ha sido editado para su publicación en línea por Georges Maltsiniotis. La teoría ha sido desarrollada posteriormente por otras personas, entre ellas Heller, Franke , Keller y Groth.

Motivaciones

Una de las razones que motivan la consideración de los derivadores es la falta de funcionalidad en la construcción de conos con categorías trianguladas . Los derivadores son capaces de resolver este problema, y ​​resolver la inclusión de colimites de homotopía general , al realizar un seguimiento de todos los diagramas posibles en una categoría con equivalencias débiles y sus relaciones entre sí. Heurísticamente, dado el diagrama

${\displaystyle \bullet \to \bullet }$

que es una categoría con dos objetos y una flecha no identidad, y un funtor

${\displaystyle F:(\bullet \to \bullet )\to A}$

a una categoría con una clase de equivalencias débiles (y que satisface las hipótesis correctas), deberíamos tener un funtor asociado ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle C(F):\bullet \to A[W^{-1}]}$

donde el objeto de destino es único hasta equivalencia débil en . Los derivadores pueden codificar este tipo de información y proporcionar un cálculo de diagramas para usar en categorías derivadas y teoría de homotopía. ${\displaystyle {\mathcal {C}}[W^{-1}]}$

Definición

Prederivadores

Formalmente, un prederivador es un 2-funtor ${\displaystyle \mathbb {D} }$

${\displaystyle \mathbb {D} :{\text{Ind}}^{op}\to {\text{CAT}}}$

de una categoría de índices adecuada a la categoría de categorías. Por lo general, estos 2-funtores provienen de considerar las categorías donde se denomina categoría de coeficientes . Por ejemplo, podría ser la categoría de categorías pequeñas que se filtran, cuyos objetos pueden considerarse como los conjuntos de indexación para un colimite filtrado . Luego, dado un morfismo de diagramas ${\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}(I^{op},A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}}$

${\displaystyle f:I\to J}$

denotar por ${\displaystyle f^{*}}$

${\displaystyle f^{*}:\mathbb {D} (J)\to \mathbb {D} (I)}$

Esto se llama funtor de imagen inversa . En el ejemplo motivador, esto es solo una precomposición, por lo que dado un funtor hay un funtor asociado . Tenga en cuenta que estos 2-funtores podrían considerarse ${\displaystyle F_{I}\in {\underline {\text{Hom}}}(I^{op},A)}$ ${\displaystyle F_{J}=F_{I}\circ f}$

${\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}(-,A[W^{-1}])}$

donde es una clase adecuada de equivalencias débiles en una categoría . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$

Categorías de indexación

Hay varios ejemplos de categorías de indexación que se pueden utilizar en esta construcción.

• La categoría 2 de categorías finitas, por lo que los objetos son categorías cuya colección de objetos son conjuntos finitos. ${\displaystyle {\text{FinCat}}}$
• La categoría ordinal se puede categorizar en dos categorías, donde los objetos son categorías con un objeto y los funtores provienen de las flechas en la categoría ordinal. ${\displaystyle \Delta }$
• Otra opción es simplemente utilizar la categoría de categorías pequeñas.
• Además, a cualquier espacio topológico se asocia una categoría que podría utilizarse como categoría de indexación. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Open}}(X)}$
• Además, los sitios subyacentes a los topos de Zariksi , Etale , etc., para algún esquema o espacio algebraico junto con sus morfismos se pueden utilizar para la categoría de indexación. ${\displaystyle (X)_{\tau }}$ ${\displaystyle X}$
• Esto se puede generalizar a cualquier topos , por lo que la categoría de indexación es el sitio subyacente. ${\displaystyle T}$

Derivadores

Los derivadores son entonces la axiomatización de los prederivadores que vienen equipados con funtores adjuntos.

${\displaystyle f^{?}\dashv f_{!}\dashv f^{*}\dashv f_{*}\dashv f^{!}}$

donde es adjunto izquierdo a y así sucesivamente. Heurísticamente, debería corresponder a límites inversos, a colímites. ${\displaystyle f_{!}}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{!}}$

Referencias

1. Grothendieck. "Los derivadores". Archivado desde el original el 20 de noviembre de 2014.
2. Grothendieck. "Persiguiendo pilas". thescrivener.github.io . Archivado (PDF) del original el 30 de julio de 2020. Consultado el 17 de septiembre de 2020 .
3. Herrero 1988.

Bibliografía

• Grothendieck, Alejandro (1991). Maltsiniotis, Georges; Malgoire, Jean; Künzer, Matthias (eds.). "Les Dérivateurs: Texto de Alexandre Grothendieck".
• Heller, Alex (1988). "Teorías de homotopía". Memorias de la American Mathematical Society . 71 (383). Providence, RI: Amer. Math. Soc. doi : 10.1090/memo/0383 . ISBN 978-0-8218-2446-7.
• Groth, Moritz (2013). "Derivadores, derivadores puntuales y derivadores estables". Algebr. Geom. Topol . 13 : 313–374. arXiv : 1112.3840 . doi :10.2140/agt.2013.13.313. S2CID  62898638.

Enlaces externos

• Derivador en nLab
• Subtopos, subtopos abiertos y subtopos cerrados
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2018/03/stabilization_of_derivators.html