grupo profinito

Grupo topológico que en cierto sentido está ensamblado a partir de un sistema de grupos finitos.

En matemáticas , un grupo profinito es un grupo topológico que en cierto sentido está ensamblado a partir de un sistema de grupos finitos .

La idea de utilizar un grupo finito es proporcionar una visión "uniforme" o "sinóptica" de un sistema completo de grupos finitos. Las propiedades del grupo profinito son en general propiedades uniformes del sistema. Por ejemplo, el grupo profinito se genera finitamente (como un grupo topológico) si y sólo si existe tal que cada grupo en el sistema pueda ser generado por elementos. ^[1] Muchos teoremas sobre grupos finitos pueden generalizarse fácilmente a grupos finitos; ejemplos son el teorema de Lagrange y los teoremas de Sylow . ^[2] ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle d}$

Para construir un grupo profinito se necesita un sistema de grupos finitos y homomorfismos de grupo entre ellos. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que estos homomorfismos son sobreyectivos , en cuyo caso los grupos finitos aparecerán como grupos cocientes del grupo profinito resultante; en cierto sentido, estos cocientes se aproximan al grupo profinito.

Ejemplos importantes de grupos profinitos son los grupos aditivos de enteros -ádicos y los grupos de Galois de extensiones de campo de grados infinitos . ${\displaystyle p}$

Todo grupo lucrativo es compacto y totalmente desconectado . Una generalización no compacta del concepto es la de grupos localmente lucrativos . Aún más generales son los grupos totalmente desconectados .

Definición

Los grupos profinitos se pueden definir de dos formas equivalentes.

Primera definición (constructiva)

Un grupo profinito es un grupo topológico que es isomorfo al límite inverso de un sistema inverso de grupos finitos discretos . ^[3] En este contexto, un sistema inverso consta de un conjunto dirigido, una familia indexada de grupos finitos , cada uno de los cuales tiene la topología discreta , y una familia de homomorfismos tales que es el mapa de identidad y la colección satisface la propiedad de composición siempre que el límite inverso es el conjunto: ${\displaystyle (I,\leq ),}$ ${\displaystyle \{G_{i}:i\in I\},}$ ${\displaystyle \{f_{i}^{j}:G_{j}\to G_{i}\mid i,j\in I,i\leq j\}}$ ${\displaystyle f_{i}^{i}}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}^{j}\circ f_{j}^{k}=f_{i}^{k}}$ ${\displaystyle i\leq j\leq k.}$

$${\displaystyle \varprojlim G_{i}=\left\{(g_{i})_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}G_{i}:f_{i}^{j}(g_{j})=g_{i}{\text{ for all }}i\leq j\right\}}$$

topología de producto relativa

También se puede definir el límite inverso en términos de una propiedad universal . En términos categóricos , este es un caso especial de construcción de límite cofiltrado .

Segunda definición (axiomática)

Un grupo profinito es un grupo topológico compacto y totalmente desconectado : ^[4] es decir, un grupo topológico que también es un espacio de Piedra .

Finalización lucrativa

Dado un grupo arbitrario existe un grupo relacionado con fines de lucro, el ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle {\widehat {G}},}$compleción finita de^[4]Se define como el límite inverso de los grupospor dondeatraviesa lossubgrupos normaleseníndicefinito(estos subgrupos normales estánparcialmente ordenadospor inclusión, lo que se traduce en un sistema inverso de homomorfismos naturales entre los cocientes). ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G/N,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Hay un homomorfismo natural y la imagen de bajo este homomorfismo es densa en El homomorfismo es inyectivo si y sólo si el grupo es residualmente finito (es decir, donde la intersección pasa por todos los subgrupos normales de índice finito). ${\displaystyle \eta :G\to {\widehat {G}},}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}.}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cap N=1,}$

El homomorfismo se caracteriza por la siguiente propiedad universal : dado cualquier grupo profinito y cualquier homomorfismo de grupo continuo donde se da la topología más pequeña compatible con operaciones de grupo en las que sus subgrupos normales de índice finito son abiertos, existe un homomorfismo de grupo continuo único con ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g:{\widehat {G}}\rightarrow H}$ ${\displaystyle f=g\eta .}$

Equivalencia

Cualquier grupo construido según la primera definición satisface los axiomas de la segunda definición.

Por el contrario, cualquier grupo que satisfaga los axiomas de la segunda definición se puede construir como un límite inverso de acuerdo con la primera definición utilizando el límite inverso donde abarca los subgrupos normales abiertos de inclusión ordenada por inclusión (inversa). Si se genera topológicamente de forma finita, entonces es además igual a su propia terminación finita. ^[5] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varprojlim G/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Sistemas sobreyectivos

En la práctica, el sistema inverso de grupos finitos casi siempre essobreyectivo , lo que significa que todos sus mapas son sobreyectivos. Sin pérdida de generalidad, basta con considerar sólo sistemas sobreyectivos, ya que dado cualquier sistema inverso, es posible construir primero su grupo finitoy luegoreconstruirlocomo su propia compleción finita. ${\displaystyle G,}$

Ejemplos

• Los grupos finitos son profinitos, si se les da la topología discreta .
• El grupo de enteros -ádicos bajo suma es profinito (de hecho, procíclico). Es el límite inverso de los grupos finitos donde se extiende sobre todos los números naturales y los mapas naturales para La topología de este grupo finito es la misma que la topología que surge de la valoración -ádica de ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n\geq m.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$
• El grupo de enteros finitos es la terminación profinita de En detalle, es el límite inverso de los grupos finitos donde con los mapas de módulo para Este grupo es el producto de todos los grupos y es el grupo de Galois absoluto de cualquier campo finito . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m\,|\,n.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$
• La teoría de Galois de extensiones de campo de grado infinito da lugar naturalmente a grupos de Galois que son lucrativos. Específicamente, si es una extensión de Galois , considere el grupo que consta de todos los automorfismos de campo de que mantienen todos los elementos fijos. Este grupo es el límite inverso de los grupos finitos donde abarca todos los campos intermedios, de modo que es una extensión finita de Galois. Para el proceso límite se utilizan los homomorfismos de restricción, donde la topología obtenida se conoce como topología de Krull en honor a Wolfgang Krull . Waterhouse (1974) demostró que todo grupo profinito es isomorfo a uno que surge de la teoría de Galois de algún campo , pero no se puede (todavía) controlar qué campo será en este caso. De hecho, para muchos campos uno no sabe en general con precisión qué grupos finitos ocurren como grupos de Galois. Este es el problema de Galois inverso para un campo  (para algunos campos se resuelve el problema de Galois inverso, como el campo de funciones racionales en un campo). variable sobre los números complejos.) No todos los grupos profinitos ocurren como un grupo de Galois absoluto de un campo. ^[6] ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K),}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F/K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{1}/K)\to \operatorname {Gal} (F_{2}/K)}$ ${\displaystyle F_{2}\subseteq F_{1}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K}$
• Los grupos fundamentales étale considerados en geometría algebraica también son grupos profinitos, en términos generales porque el álgebra sólo puede "ver" coberturas finitas de una variedad algebraica . Los grupos fundamentales de la topología algebraica , sin embargo, en general no son finitos: para cualquier grupo prescrito, existe un complejo CW bidimensional cuyo grupo fundamental es igual.
• El grupo de automorfismos de un árbol con raíces localmente finitas es profinito.

Propiedades y hechos

• Todo producto de (arbitrariamente muchos) grupos lucrativos es lucrativo; la topología que surge de la rentabilidad concuerda con la topología del producto . El límite inverso de un sistema inverso de grupos profinitos con mapas de transición continuos es profinito y el functor límite inverso es exacto en la categoría de grupos profinitos. Además, ser lucrativo es una propiedad de extensión.
• Todo subgrupo cerrado de un grupo lucrativo es en sí mismo lucrativo; la topología que surge de la rentabilidad concuerda con la topología subespacial . Si es un subgrupo normal cerrado de un grupo profinito entonces el grupo de factores es profinito; la topología que surge de la rentabilidad concuerda con la topología del cociente . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G/N}$
• Dado que todo grupo profinito es compacto de Hausdorff, existe una medida de Haar que nos permite medir el "tamaño" de subconjuntos de calcular ciertas probabilidades e integrar funciones en ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G.}$
• Un subgrupo de un grupo profinito es abierto si y sólo si es cerrado y tiene un índice finito .
• Según un teorema de Nikolay Nikolov y Dan Segal , en cualquier grupo profinito topológicamente generado finitamente (es decir, un grupo profinito que tiene un subgrupo denso finitamente generado ) los subgrupos de índice finito están abiertos. Esto generaliza un resultado análogo anterior de Jean-Pierre Serre para progrupos topológicamente generados de forma finita ${\displaystyle p}$ . La prueba utiliza la clasificación de grupos finitos simples .
• Como corolario fácil del resultado de Nikolov-Segal anterior, cualquier homomorfismo de grupo discreto sobreyectivo entre grupos profinitos y es continuo siempre que se genere topológicamente de forma finita. De hecho, cualquier subgrupo abierto de es de índice finito, por lo que su preimagen en también es de índice finito y, por tanto, debe ser abierto. ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$
• Supongamos que y son grupos profinitos topológicamente generados de forma finita que son isomorfos como grupos discretos por un isomorfismo. Entonces es biyectivo y continuo por el resultado anterior. Además, también es continuo, al igual que un homeomorfismo. Por lo tanto, la topología de un grupo profinito generado topológicamente de forma finita está determinada únicamente por su estructura algebraica . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \iota .}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle \iota ^{-1}}$ ${\displaystyle \iota }$

Grupos infinitos

Existe una noción de grupo infinito , que es el dual conceptual de los grupos finitos; es decir, un grupo es infinito si es el límite directo de un sistema inductivo de grupos finitos. (En particular, es un grupo ind.) La terminología habitual es diferente: un grupo se llama localmente finito si cada subgrupo generado finitamente es finito. De hecho, esto equivale a ser "infinito". ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Al aplicar la dualidad de Pontryagin , se puede ver que los grupos abelianos profinitos están en dualidad con grupos abelianos discretos localmente finitos. Estos últimos son sólo los grupos de torsión abelianos .

Grupos proyectivos de beneficio

Un grupo lucrativo esproyectivo si tiene lapropiedad de elevaciónpara cada extensión. Esto equivale a decir quees proyectivo si por cada morfismo sobreyectivo de un profinitoexiste unasección^[7][8] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\to G}$ ${\displaystyle G\to H.}$

La proyectividad para un grupo finito es equivalente a cualquiera de las dos propiedades: ^[7] ${\displaystyle G}$

• la dimensión cohomológica ${\displaystyle \operatorname {cd} (G)\leq 1;}$
• para cada primo, los subgrupos de Sylow son progrupos libres . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$

Cada grupo proyectivo profinito puede realizarse como un grupo absoluto de Galois de un campo pseudoalgebraicamente cerrado . Este resultado se debe a Alexander Lubotzky y Lou van den Dries . ^[9]

Grupo procíclico

Un grupo lucrativo es ${\displaystyle G}$procíclico si es generado topológicamente por un solo elemento, es decir, siel cierre del subgrupo^[10] ${\displaystyle \sigma ;}$ ${\displaystyle G={\overline {\langle \sigma \rangle }},}$ ${\displaystyle \langle \sigma \rangle =\left\{\sigma ^{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}.}$

Un grupo topológico es procíclico si y sólo si donde abarca algún conjunto de números primos y es isomorfo a o ^[11] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\cong {\textstyle \prod \limits _{p\in S}}G_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .}$

Ver también

• finalización de Hausdorff
• Grupo localmente cíclico
• Grupo prop- p  – tipo de grupo lucrativoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Entero finito
• Propiedad residual (matemáticas)  : concepto en la teoría de gruposPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Grupo residualmente finito  - tipo de grupo matemáticoPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

1. Segal, Dan (29 de marzo de 2007). "Algunos aspectos de la teoría de grupos lucrativos". arXiv : matemáticas/0703885 .
2. Wilson, John Estuardo (1998). Grupos profinitos . Oxford: Prensa de Clarendon. ISBN 9780198500827. OCLC  40658188.
3. Lenstra, Hendrik. "Grupos profinitos" (PDF) . Universidad de Leiden .
4. Osserman, Brian. «Límites inversos y grupos lucrativos» (PDF) . Universidad de California, Davis . Archivado desde el original (PDF) el 26 de diciembre de 2018.
5. Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2007). "Sobre grupos finitos generados finitamente. I: Fuerte completitud y límites uniformes. II: Productos en grupos cuasisimples". Ana. Matemáticas. (2) . 165 (1): 171–238, 239–273. arXiv : matemáticas/0604399 . doi : 10.4007/annals.2007.165.171. S2CID  15670650. Zbl  1126.20018.
6. Fried y Jardín (2008) pág. 497
7. Serre (1997) pág. 58
8. Fried y Jardín (2008) pág. 207
9. Fried y Jarden (2008) págs.208.545
10. Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 322. Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. doi :10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-642-08473-7.
11. "MO. descomposición de grupos procíclicos". Desbordamiento matemático .

• Frito, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campo . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. vol. 11 (3ª edición revisada). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001.
• Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2007), "Sobre grupos profinitos generados de forma finita, I: integridad fuerte y límites uniformes", Annals of Mathematics , segunda serie, 165 (1): 171–238, arXiv : math.GR/0604399 , doi : 10.4007 /anales.2007.165.171.
• Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2007), "Sobre grupos profinitos generados finitamente, II: productos en grupos cuasisimples", Annals of Mathematics , segunda serie, 165 (1): 239–273, arXiv : math.GR/0604400 , doi : 10.4007/ anales.2007.165.239.
• Lenstra, Hendrik (2003), Profinite Groups (PDF) , charla pronunciada en Oberwolfach.
• Lubotzky, Alexander (2001), "Reseña del libro", Boletín de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 38 (4): 475–479, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00914-4. Reseña de varios libros sobre grupos lucrativos.
• Serre, Jean-Pierre (1994), Cohomologie galoisienne , Lecture Notes in Mathematics (en francés), vol. 5 (5 ed.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58002-7, SEÑOR  1324577, Zbl  0812.12002. Serre, Jean-Pierre (1997), cohomología de Galois , traducido por Patrick Ion, Springer-Verlag , ISBN 3-540-61990-9, Zbl  0902.12004
• Waterhouse, William C. (1974), "Los grupos profinitos son grupos de Galois", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 42 (2), Sociedad Matemática Estadounidense: 639–640, doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0325587-3 , JSTOR  2039560, Zbl  0281.20031.