Grupo localmente cíclico

En matemáticas, un grupo localmente cíclico es un grupo ( G , *) en el que cada subgrupo generado finitamente es cíclico .

Algunos hechos

• Todo grupo cíclico es localmente cíclico y todo grupo localmente cíclico es abeliano . ^[1]
• Todo grupo cíclico localmente generado finitamente es cíclico.
• Cada subgrupo y grupo cociente de un grupo localmente cíclico es localmente cíclico.
• Toda imagen homomórfica de un grupo localmente cíclico es localmente cíclica.
• Un grupo es localmente cíclico si y sólo si cada par de elementos del grupo genera un grupo cíclico.
• Un grupo es localmente cíclico si y sólo si su red de subgrupos es distributiva (Ore 1938).
• El rango libre de torsión de un grupo localmente cíclico es 0 o 1.
• El anillo de endomorfismo de un grupo localmente cíclico es conmutativo . ^{[ cita necesaria ]}

Ejemplos de grupos localmente cíclicos que no son cíclicos

• El grupo aditivo de números racionales ( Q , +) es localmente cíclico: cualquier par de números racionales a / b y c / d está contenido en el subgrupo cíclico generado por 1/( bd ). ^[2]
• El grupo aditivo de los números racionales diádicos , los números racionales de la forma a /2 ^b , también es localmente cíclico: cualquier par de números racionales diádicos a /2 ^b y c /2 ^d está contenido en el subgrupo cíclico generado por 1/ 2 ^{máx( b , d )} .
• Sea p cualquier primo, y sea μ _{p ^∞} el conjunto de todas las raíces unitarias p de ésima potencia en C , es decir

  ${\displaystyle \mu _{p^{\infty }}=\left\{\exp \left({\frac {2\pi im}{p^{k}}}\right):m,k\in \mathbb {Z} \right\}}$

  Entonces μ _{p ^∞} es localmente cíclico pero no cíclico. Este es el grupo p de Prüfer . El grupo 2 de Prüfer está estrechamente relacionado con los racionales diádicos (puede verse como los racionales diádicos módulo 1).

Ejemplos de grupos abelianos que no son localmente cíclicos

• El grupo aditivo de números reales ( R , +); el subgrupo generado por 1 y π (que comprende todos los números de la forma a  +  b π ) es isomorfo a la suma directa Z + Z , que no es cíclico.

Referencias

1. Rosa (2012), pág. 54.
2. Rosa (2012), pág. 52.

• Hall, Marshall Jr. (1999), "19.2 Grupos localmente cíclicos y celosías distributivas", Teoría de grupos , Sociedad Matemática Estadounidense, págs. 340–341, ISBN 978-0-8218-1967-8.

• Ore, Øystein (1938), "Estructuras y teoría de grupos. II" (PDF) , Duke Mathematical Journal , 4 (2): 247–269, doi :10.1215/S0012-7094-38-00419-3, MR  1546048.

• Rose, John S. (2012) [reedición íntegra y sin modificaciones de un trabajo publicado por primera vez por Cambridge University Press, Cambridge, Inglaterra, en 1978]. Un curso de teoría de grupos . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-68194-8.