Racional diádico

Fracción con denominador potencia de dos

Racionales diádicos en el intervalo de 0 a 1

En matemáticas, un racional diádico o racional binario es un número que se puede expresar como una fracción cuyo denominador es una potencia de dos . Por ejemplo, 1/2, 3/2 y 3/8 son racionales diádicos, pero 1/3 no lo es. Estos números son importantes en informática porque son los únicos con representaciones binarias finitas . Los racionales diádicos también tienen aplicaciones en pesos y medidas, firmas de tiempo musicales y educación matemática temprana. Pueden aproximarse con precisión a cualquier número real .

La suma, diferencia o producto de dos números racionales diádicos cualesquiera es otro número racional diádico, dado por una fórmula simple. Sin embargo, la división de un número racional diádico por otro no siempre produce un resultado racional diádico. Matemáticamente, esto significa que los números racionales diádicos forman un anillo , que se encuentra entre el anillo de los números enteros y el campo de los números racionales . Este anillo puede denotarse como . ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]}$

En matemáticas avanzadas, los números racionales diádicos son fundamentales para la construcción del solenoide diádico , la función de signo de interrogación de Minkowski , las wavelets de Daubechies , el grupo de Thompson , el grupo de 2 de Prüfer , los números surrealistas y los números fusibles . Estos números son isomorfos en orden a los números racionales; forman un subsistema de los números 2-ádicos así como de los reales, y pueden representar las partes fraccionarias de los números 2-ádicos. Las funciones de los números naturales a los racionales diádicos se han utilizado para formalizar el análisis matemático en matemáticas inversas .

Aplicaciones

En medición

Muchos sistemas tradicionales de pesos y medidas se basan en la idea de dividir por la mitad repetidamente, lo que produce racionales diádicos al medir cantidades fraccionarias de unidades. La pulgada se suele subdividir en racionales diádicos en lugar de utilizar una subdivisión decimal. ^[1] Las divisiones habituales del galón en medios galones, cuartos de galón , pintas y tazas también son diádicas. ^[2] Los antiguos egipcios utilizaban racionales diádicos en la medición, con denominadores de hasta 64. ^[3] De manera similar, los sistemas de pesas de la civilización del valle del Indo se basan en su mayor parte en la división por la mitad repetida; la antropóloga Heather M.-L. Miller escribe que "dividir por la mitad es una operación relativamente sencilla con balanzas de viga, lo que probablemente explica por qué tantos sistemas de pesas de este período de tiempo utilizaban sistemas binarios". ^[4]

En informática

Los racionales diádicos son fundamentales para la informática como un tipo de número fraccionario que muchas computadoras pueden manipular directamente. ^[5] En particular, como un tipo de datos utilizado por las computadoras, los números de punto flotante a menudo se definen como números enteros multiplicados por potencias positivas o negativas de dos. Los números que se pueden representar con precisión en un formato de punto flotante, como los tipos de datos de punto flotante IEEE , se denominan números representables. Para la mayoría de las representaciones de punto flotante, los números representables son un subconjunto de los racionales diádicos. ^[6] Lo mismo es cierto para los tipos de datos de punto fijo , que también utilizan potencias de dos implícitamente en la mayoría de los casos. ^[7] Debido a la simplicidad de la computación con racionales diádicos, también se utilizan para la computación real exacta utilizando aritmética de intervalos , ^[8] y son fundamentales para algunos modelos teóricos de números computables . ^{[9] [10] [11]}

La generación de una variable aleatoria a partir de bits aleatorios, en un tiempo fijo, sólo es posible cuando la variable tiene un número finito de resultados cuyas probabilidades son todos números racionales diádicos. Para las variables aleatorias cuyas probabilidades no son diádicas, es necesario aproximar sus probabilidades mediante números racionales diádicos o utilizar un proceso de generación aleatoria cuyo tiempo sea en sí mismo aleatorio e ilimitado. ^[12]

En la música

Cinco compases de La consagración de la primavera de Igor Stravinski que muestran firmas de tiempo
³
₁₆,²
₁₆,³
₁₆, y²
₈

Los compases en la notación musical occidental se escriben tradicionalmente en una forma similar a las fracciones (por ejemplo:²
₂,⁴
₄, o⁶
₈), ^[13] aunque la línea horizontal del pentagrama musical que separa el número superior del inferior suele omitirse cuando se escribe la firma por separado de su pentagrama. Como fracciones son generalmente diádicas, ^[14] aunque también se han utilizado firmas de tiempo no diádicas . ^[15] El valor numérico de la firma, interpretado como fracción, describe la longitud de un compás como una fracción de una nota entera . Su numerador describe el número de pulsos por compás, y el denominador describe la longitud de cada pulso. ^{[13] [14]}

En la educación matemática

En las teorías sobre el desarrollo infantil del concepto de fracción basadas en el trabajo de Jean Piaget , los números fraccionarios que surgen de la división por la mitad y de la división por la mitad repetida se encuentran entre las primeras formas de fracciones que se desarrollan. ^[16] Esta etapa del desarrollo del concepto de fracciones se ha denominado "división por la mitad algorítmica". ^[17] La ​​suma y la resta de estos números se pueden realizar en pasos que solo implican duplicar, dividir por la mitad, sumar y restar números enteros. Por el contrario, la suma y la resta de fracciones más generales implica la multiplicación y factorización de números enteros para llegar a un denominador común. Por lo tanto, las fracciones diádicas pueden ser más fáciles de calcular para los estudiantes que las fracciones más generales. ^[18]

Definiciones y aritmética

Los números diádicos son los números racionales que resultan de dividir un número entero por una potencia de dos . ^[9] Un número racional en términos más simples es un racional diádico cuando es una potencia de dos. ^[19] Otra forma equivalente de definir los racionales diádicos es que son los números reales que tienen una representación binaria terminal . ^[9] ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle q}$

La suma , resta y multiplicación de dos racionales diádicos cualesquiera produce otro racional diádico, de acuerdo con las siguientes fórmulas: ^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a+2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a-2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}\cdot {\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {ac}{2^{b+d}}}\end{aligned}}}$

Sin embargo, el resultado de dividir un racional diádico por otro no es necesariamente un racional diádico. ^[21] Por ejemplo, 1 y 3 son ambos números racionales diádicos, pero 1/3 no lo es.

Propiedades adicionales

Aproximaciones racionales diádicas a la raíz cuadrada de 2 ( ), que se encuentran redondeando al múltiplo entero más pequeño más cercano de para La altura de la región rosa sobre cada aproximación es su error. ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.4142}$ ${\displaystyle 1/2^{i}}$ ${\displaystyle i=0,1,2,\dots }$

Números reales sin aproximaciones racionales diádicas inusualmente precisas. Los círculos rojos rodean los números que se aproximan dentro de un margen de error de . Para los números del conjunto fractal de Cantor que se encuentran fuera de los círculos, todas las aproximaciones racionales diádicas tienen errores mayores. ${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}/2^{i}}$ ${\displaystyle n/2^{i}}$

Todo entero, y todo semientero , es un racional diádico. ^[22] Ambos cumplen la definición de ser un entero dividido por una potencia de dos: todo entero es un entero dividido por uno (la potencia cero de dos), y todo semientero es un entero dividido por dos.

Cada número real puede ser arbitrariamente aproximado mediante racionales diádicos. En particular, para un número real , considere los racionales diádicos de la forma , donde puede ser cualquier entero y denota la función base que redondea su argumento hacia abajo a un entero. Estos números se aproximan desde abajo a dentro de un error de , que puede hacerse arbitrariamente pequeño eligiendo que sea arbitrariamente grande. Para un subconjunto fractal de los números reales, este límite de error está dentro de un factor constante de óptimo: para estos números, no hay aproximación con error menor que una constante por . ^{[23] [24]} La existencia de aproximaciones diádicas precisas puede expresarse diciendo que el conjunto de todos los racionales diádicos es denso en la línea real . ^[22] Más fuertemente, este conjunto es uniformemente denso, en el sentido de que los racionales diádicos con denominador están espaciados uniformemente en la línea real. ^[9] ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \lfloor 2^{i}x\rfloor /2^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \lfloor \dots \rfloor }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/2^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n/2^{i}}$ ${\displaystyle 1/2^{i}}$ ${\displaystyle 2^{i}}$

Los racionales diádicos son precisamente aquellos números que poseen expansiones binarias finitas . ^[9] Sus expansiones binarias no son únicas; hay una representación finita y una infinita de cada racional diádico distinta de 0 (ignorando los 0 terminales). Por ejemplo, 0,11 ₂ = 0,10111... ₂ , lo que da dos representaciones diferentes para 3/4. ^{[9] [25]} Los racionales diádicos son los únicos números cuyas expansiones binarias no son únicas. ^[9]

En matemáticas avanzadas

Estructura algebraica

Debido a que están cerrados bajo la suma, resta y multiplicación, pero no bajo la división, los racionales diádicos son un anillo pero no un cuerpo . ^[26] El anillo de racionales diádicos puede denotarse , lo que significa que puede generarse evaluando polinomios con coeficientes enteros, en el argumento 1/2. ^[27] Como anillo, los racionales diádicos son un subanillo de los números racionales y un anular de los enteros. ^[28] Algebraicamente, este anillo es la localización de los enteros con respecto al conjunto de potencias de dos . ^[29] ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]}$

Además de formar un subanillo de los números reales , los números racionales diádicos forman un subanillo de los números 2-ádicos , un sistema de números que se puede definir a partir de representaciones binarias que son finitas a la derecha del punto binario pero que pueden extenderse infinitamente hacia la izquierda. Los números 2-ádicos incluyen todos los números racionales, no solo los racionales diádicos. Incorporar los racionales diádicos en los números 2-ádicos no cambia la aritmética de los racionales diádicos, pero les da una estructura topológica diferente de la que tienen como subanillo de los números reales. Como lo hacen en los reales, los racionales diádicos forman un subconjunto denso de los números 2-ádicos, ^[30] y son el conjunto de números 2-ádicos con expansiones binarias finitas. Cada número 2-ádico se puede descomponer en la suma de un entero 2-ádico y un racional diádico; En este sentido, los racionales diádicos pueden representar las partes fraccionarias de números 2-ádicos, pero esta descomposición no es única. ^[31]

La suma de racionales diádicos módulo 1 (el grupo cociente de los racionales diádicos por los enteros) forma el grupo 2 de Prüfer . ^[32] ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]/\mathbb {Z} }$

Solenoide diádico

Considerando únicamente las operaciones de suma y resta de los racionales diádicos se obtiene la estructura de un grupo abeliano aditivo . La dualidad de Pontryagin es un método para entender los grupos abelianos mediante la construcción de grupos duales, cuyos elementos son caracteres del grupo original, homomorfismos de grupo al grupo multiplicativo de los números complejos , con la multiplicación puntual como operación de grupo dual. El grupo dual de los racionales diádicos aditivos, construido de esta manera, también puede verse como un grupo topológico . Se denomina solenoide diádico y es isomorfo al producto topológico de los números reales y los números 2-ádicos, cociente por la incrustación diagonal de los racionales diádicos en este producto. ^[30] Es un ejemplo de un protoro , un solenoide y un continuo indescomponible . ^[33]

Funciones con racionales diádicos como puntos distinguidos

Como son un subconjunto denso de los números reales, los racionales diádicos, con su ordenamiento numérico, forman un orden denso . Como sucede con dos órdenes lineales densos contables no acotados, según el teorema de isomorfismo de Cantor , ^[34] los racionales diádicos son isomorfos en orden a los números racionales. En este caso, la función de signo de interrogación de Minkowski proporciona una biyección que preserva el orden entre el conjunto de todos los números racionales y el conjunto de racionales diádicos. ^[35]

Los racionales diádicos juegan un papel clave en el análisis de wavelets de Daubechies , como el conjunto de puntos donde la función de escala de estos wavelets no es suave. ^[26] De manera similar, los racionales diádicos parametrizan las discontinuidades en el límite entre puntos estables e inestables en el espacio de parámetros del mapa de Hénon . ^[36]

El conjunto de homeomorfismos lineales por partes desde el intervalo unitario hasta sí mismo que tienen pendientes de potencia de 2 y puntos de corte racionales diádicos forman un grupo bajo la operación de composición de funciones . Este es el grupo de Thompson , el primer ejemplo conocido de un grupo simple infinito pero finitamente presentado . ^[37] El mismo grupo también puede representarse mediante una acción sobre árboles binarios enraizados, ^[38] o mediante una acción sobre los racionales diádicos dentro del intervalo unitario. ^[32]

Otras construcciones relacionadas

En las matemáticas inversas , una forma de construir los números reales es representarlos como funciones que van desde números unarios hasta racionales diádicos, donde el valor de una de estas funciones para el argumento es un racional diádico con denominador que se aproxima al número real dado. Definir los números reales de esta manera permite demostrar muchos de los resultados básicos del análisis matemático dentro de una teoría restringida de la aritmética de segundo orden llamada "análisis factible" (BTFA). ^[39] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 2^{i}}$

Los números surrealistas se generan mediante un principio de construcción iterado que comienza generando todos los racionales diádicos finitos, y luego continúa creando nuevos y extraños tipos de números infinitos, infinitesimales y otros. ^[40] Este sistema numérico es fundamental para la teoría de juegos combinatorios , y los racionales diádicos surgen naturalmente en esta teoría como el conjunto de valores de ciertos juegos combinatorios. ^{[41] [42] [19]}

Los números fusibles son un subconjunto de los racionales diádicos, la clausura del conjunto bajo la operación , restringida a pares con . Están bien ordenados , con tipo de orden igual al número épsilon . Para cada entero el número fusible más pequeño que es mayor que tiene la forma . La existencia de para cada no puede probarse en la aritmética de Peano , ^[43] y crece tan rápidamente como una función de que para es (en la notación de flecha hacia arriba de Knuth para números grandes) ya mayor que . ^[44] ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle x,y\mapsto (x+y+1)/2}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle |x-y|<1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1/2^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle 2\uparrow ^{9}16}$

La prueba habitual del lema de Urysohn utiliza las fracciones diádicas para construir la función separadora del lema.

Referencias

1. Rudman, Peter S. (2009), Cómo surgieron las matemáticas: los primeros 50.000 años, Prometheus Books, pág. 148, ISBN 978-1-61592-176-8
2. Barnes, John (2016), Buenos números, Springer International Publishing, doi :10.1007/978-3-319-46831-0, ISBN 978-3-319-46830-3Nótese que las medidas binarias (2, 4, 8, 16) son muy comunes, especialmente en el caso de los volúmenes.
3. Curtis, Lorenzo J. (1978), "Concepto de la ley exponencial antes de 1900", American Journal of Physics , 46 (9): 896–906, Bibcode :1978AmJPh..46..896C, doi :10.1119/1.11512
4. Miller, Heather M.-L. (2013), "Asuntos de peso: evidencia de unidad y diversidad regional a partir de los pesos de la civilización del Indo", en Abraham, Shinu Anna; Gullapalli, Praveena; Raczek, Teresa P.; Rizvi, Uzma Z. (eds.), Conexiones y complejidad: nuevos enfoques para la arqueología del sur de Asia , Left Coast Press, págs. 161–177, doi :10.4324/9781315431857, ISBN 978-1-59874-686-0; véase en particular la pág. 166
5. Resnikoff, Howard L. ; Wells, Raymond O. Jr. (1998), "2.2.1: Computadoras digitales y medición", Análisis Wavelet: La estructura escalable de la información , Nueva York: Springer-Verlag, págs. 17-18, doi :10.1007/978-1-4612-0593-7, ISBN 0-387-98383-X, Sr.  1712468
6. Kirk, David B. ; Hwu, Wen-mei W. (2013), "7.2 Números representables", Programación de procesadores masivamente paralelos: un enfoque práctico (2.ª ed.), Morgan Kaufmann, págs. 155-159, ISBN 978-0-12-391418-7
7. Kneusel, Ronald T. (2017), "Capítulo 6: Números de punto fijo", Números y computadoras (2.ª ed.), Springer International Publishing, págs. 183-214, doi :10.1007/978-3-319-50508-4_6
8. van der Hoeven, Joris (2006), "Cálculos con números reales efectivos", Theoretical Computer Science , 351 (1): 52–60, doi : 10.1016/j.tcs.2005.09.060 , MR  2201092
9. Ko, Ker-I (1991), Teoría de la complejidad de funciones reales, Progreso en la ciencia informática teórica, Boston, Massachusetts: Birkhäuser Boston, Inc., págs. 41-43, doi :10.1007/978-1-4684-6802-1, ISBN 0-8176-3586-6, MR  1137517, S2CID  11758381
10. Zheng, Xizhong; Rettinger, Robert (2004), "Computabilidad débil y representación de números reales", Mathematical Logic Quarterly , 50 (4–5): 431–442, doi :10.1002/malq.200310110, MR  2090389, S2CID  15815720
11. Ambos-Spies, Klaus; Zheng, Xizhong (2019), "Sobre las diferencias y sumas de números reales fuertemente computablemente enumerables", en Manea, Florin; Martin, Barnaby; Paulusma, Daniël; Primiero, Giuseppe (eds.), Computing with Foresight and Industry: 15th Conference on Computability in Europe, CiE 2019, Durham, Reino Unido, 15-19 de julio de 2019, Actas , Lecture Notes in Computer Science, vol. 11558, Cham: Springer, págs. 310-322, doi :10.1007/978-3-030-22996-2_27, MR  3981892, S2CID  195795492
12. Jerrum, Mark R. ; Valiant, Leslie G. ; Vazirani, Vijay V. (1986), "Generación aleatoria de estructuras combinatorias a partir de una distribución uniforme", Theoretical Computer Science , 43 (2–3): 169–188, doi : 10.1016/0304-3975(86)90174-X , MR  0855970
13. Jones, Shelly M.; Pearson, Dunn (mayo de 2013), "Música: los estudiantes altamente comprometidos conectan la música con las matemáticas", General Music Today , 27 (1): 18-23, doi : 10.1177/1048371313486478, S2CID  220604326
14. Libbey, Theodore (2006), "Compás", The NPR Listener's Encyclopedia of Classical Music , Workman Publishing, pág. 873, ISBN 978-0-7611-2072-8
15. Yanakiev, Ivan K. (2020), "Dispositivos matemáticos en ayuda de la teoría, composición e interpretación musical", en Bozhikova, Milena (ed.), Music between Ontology and Ideology , Cambridge Scholars Publishing, págs. 35–62, ISBN 978-1-5275-4758-2; véase en particular la pág. 37.
16. Hiebert, James; Tonnessen, Lowell H. (noviembre de 1978), "Desarrollo del concepto de fracción en dos contextos físicos: una investigación exploratoria", Journal for Research in Mathematics Education , 9 (5): 374–378, doi :10.2307/748774, JSTOR  748774
17. Pothier, Yvonne ; Sawada, Daiyo (noviembre de 1983), "Particiones: el surgimiento de ideas sobre números racionales en niños pequeños", Journal for Research in Mathematics Education , 14 (5): 307–317, doi :10.2307/748675, JSTOR  748675
18. Wells, David Graham (2015), Motivar las matemáticas: involucrar a los docentes y a los estudiantes, World Scientific, págs. 32-33, ISBN 978-1-78326-755-2
19. Uiterwijk, Jos WHM; Barton, Michael (2015), "Nuevos resultados para Domineering a partir de bases de datos de finales de la teoría de juegos combinatoria", Theoretical Computer Science , 592 : 72–86, arXiv : 1506.03949 , doi :10.1016/j.tcs.2015.05.017, MR  3367582, S2CID  5899577
20. Krebbers , Robbert y Spitters, Bas (2013), "Clases de tipos para aritmética real exacta y eficiente en Coq", Logical Methods in Computer Science , 9 (1): 1:01, 27, arXiv : 1106.3448 , doi : 10.2168/LMCS-9(1:1)2013, MR  3029087, S2CID  218627153 , proporcionan fórmulas equivalentes a estas, escritas en el lenguaje del demostrador de teoremas interactivo de Coq.
21. O'Connor, Russell (2007), "Una implementación monádica y funcional de números reales", Estructuras matemáticas en informática , 17 (1): 129–159, arXiv : cs/0605058 , doi :10.1017/S0960129506005871, MR  2311089, S2CID  221168970
22. Sabin, Malcolm (2010), Análisis y diseño de esquemas de subdivisión univariados, Geometría y computación, vol. 6, Springer, pág. 51, ISBN 9783642136481
23. Más precisamente, para valores positivos pequeños de , el conjunto de números reales que no tienen aproximación con error menor que una constante multiplicada por , forma un conjunto de Cantor cuya dimensión de Hausdorff , en función de , tiende a uno cuando tiende a cero. La ilustración muestra este conjunto para . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle n/2^{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon /2^{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{6}}}$
24. Nilsson, Johan (2009), "Sobre números que no se pueden aproximar bien mediante racionales diádicos", Israel Journal of Mathematics , 171 : 93–110, doi : 10.1007/s11856-009-0042-9 , MR  2520103
25. Kac, Mark (1959), Independencia estadística en probabilidad, análisis y teoría de números , Carus Mathematical Monographs , vol. 12, Nueva York: John Wiley & Sons para la Asociación Matemática de Estados Unidos, págs. 2-3, MR  0110114
26. Pollen, David (1992), "Función de escala de Daubechies en [0,3]", Wavelets , Análisis de wavelets y sus aplicaciones, vol. 2, Boston, Massachusetts: Academic Press, págs. 3-13, MR  1161245
27. Bajnok, Béla (2013), Una invitación a las matemáticas abstractas , Undergraduate Texts in Mathematics, Nueva York: Springer, pág. 186, doi :10.1007/978-1-4614-6636-9, ISBN 978-1-4614-6635-2
28. En la notación de Estes y Ohm para anillos que son a la vez subanillos y anillas superiores de , los racionales diádicos son el anillo . Véase la sección 7 de Estes, Dennis; Ohm, Jack (1967), "Rango estable en anillos conmutativos" (PDF) , Journal of Algebra , 7 (3): 343–362, doi : 10.1016/0021-8693(67)90075-0 , MR  0217052 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\{2\}}}$
29. Lucyshyn-Wright, Rory BB (2018), "Espacios convexos, espacios afines y conmutadores para teorías algebraicas", Applied Categorical Structures , 26 (2): 369–400, arXiv : 1603.03351 , doi :10.1007/s10485-017-9496-9, MR  3770912, S2CID  3743682
30. Manners, Freddie (2015), "Una solución al problema del pijama", Inventiones Mathematicae , 202 (1): 239–270, arXiv : 1305.1514 , Bibcode :2015InMat.202..239M, doi :10.1007/s00222-014-0571-7, MR  3402799, S2CID  119148680; véase la sección 6.2.1, "Un caso modelo ", págs. 255-257. ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} [1/2]}}}$
31. Robert, Alain M. (2000), "5.4 Partes fraccionarias e integrales de números -ádicos", Un curso de análisis -ádico , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 198, Nueva York: Springer-Verlag, págs. 40-43, doi :10.1007/978-1-4757-3254-2, ISBN ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ 0-387-98669-3, Sr.  1760253
32. de Cornulier, Yves; Guyot, Luc; Pitsch, Wolfgang (2007), "Sobre los puntos aislados en el espacio de grupos" (PDF) , Journal of Algebra , 307 (1): 254–277, arXiv : math/0511714 , doi :10.1016/j.jalgebra.2006.02.012, MR  2278053, S2CID  11566447
33. Nadler, SB Jr. (1973), "La indescomponibilidad del solenoide diádico", The American Mathematical Monthly , 80 (6): 677–679, doi :10.2307/2319174, JSTOR  2319174
34. Bhattacharjee, Meenaxi; Macpherson, Dugald; Möller, Rögnvaldur G.; Neumann, Peter M. (1997), "Números racionales", Notas sobre grupos de permutaciones infinitas , Textos y lecturas en matemáticas, vol. 12, Berlín: Springer-Verlag, págs. 77–86, doi :10.1007/978-93-80250-91-5_9, ISBN 81-85931-13-5, Sr.  1632579
35. Girgensohn, Roland (1996), "Construcción de funciones singulares mediante fracciones de Farey", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 203 (1): 127–141, doi : 10.1006/jmaa.1996.0370 , MR  1412484
36. Cvitanović, Predrag; Gunaratne, Gemunu H.; Procaccia, Itamar (1988), "Propiedades topológicas y métricas de los atractores extraños de tipo Hénon", Physical Review A , Tercera serie, 38 (3): 1503–1520, Bibcode :1988PhRvA..38.1503C, doi :10.1103/PhysRevA.38.1503, MR  0970237, PMID  9900529
37. F de Thompson en grupos de homeomorfismos lineales por partes del intervalo unitario", Journal of the London Mathematical Society , Segunda serie, 60 (2): 449–460, arXiv : math/9705205 , doi :10.1112/S0024610799007905, MR  1724861, S2CID  14490692
38. Cannon, JW ; Floyd, WJ (2011), "¿Qué es... el grupo de Thompson?" (PDF) , Avisos de la American Mathematical Society , 58 (8): 1112–1113, MR  2856142
39. Fernandes, António M.; Ferreira, Fernando (2005), "Aplicaciones básicas del lema de König débil en el análisis factible" (PDF) , Reverse Mathematics 2001 , Lecture Notes in Logic, vol. 21, La Jolla, California: Association for Symbolic Logic, págs. 175–188, MR  2185433
40. Conway, JH (2001), Sobre números y juegos (segunda edición), Natick, Massachusetts: AK Peters, ISBN 1-56881-127-6, Sr.  1803095; para los racionales diádicos, véase "Los números , , , , y así sucesivamente", págs. 10-12 ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle 1\,{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 3}$
41. Mauldon, JG (1978), "Num, una variante de Nim sin victoria para el primer jugador", The American Mathematical Monthly , 85 (7): 575–578, doi :10.2307/2320870, JSTOR  2320870, MR  0503877
42. Flanigan, JA (1982), "Un análisis completo de Hackendot en blanco y negro", International Journal of Game Theory , 11 (1): 21–25, doi :10.1007/BF01771244, MR  0665515, S2CID  119964871
43. Erickson, Jeff; Nivasch, Gabriel; Xu, Junyan (junio de 2021), "Números fusibles y aritmética de Peano", Actas del 36.º Simposio anual ACM/IEEE sobre lógica en informática (LICS 2021) , IEEE, págs. 1–13, arXiv : 2003.14342 , doi : 10.1109/lics52264.2021.9470703, S2CID  214727767
44. Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A188545", La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros , OEIS Foundation