límite directo

Caso especial de colimit en la teoría de categorías.

En matemáticas , un límite directo es una forma de construir un objeto (normalmente grande) a partir de muchos objetos (normalmente más pequeños) que se juntan de una manera específica. Estos objetos pueden ser grupos , anillos , espacios vectoriales o en general objetos de cualquier categoría . La forma en que se juntan está especificada por un sistema de homomorfismos ( homomorfismo de grupo , homomorfismo de anillo o, en general, morfismos en la categoría) entre esos objetos más pequeños. El límite directo de los objetos , cuando abarca algún conjunto dirigido , se denota por . Esta notación suprime el sistema de homomorfismos; sin embargo, el límite depende del sistema de homomorfismos. ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$

Los límites directos son un caso especial del concepto de colimit en la teoría de categorías . Los límites directos son límites duales a inversos , que son un caso especial de límites en la teoría de categorías.

Definicion formal

Primero daremos la definición de estructuras algebraicas como grupos y módulos , y luego la definición general, que se puede utilizar en cualquier categoría .

Límites directos de objetos algebraicos.

En esta sección se entiende que los objetos constan de conjuntos subyacentes equipados con una estructura algebraica determinada , como grupos , anillos , módulos (sobre un anillo fijo), álgebras (sobre un campo fijo ), etc. Teniendo esto en cuenta, se entienden los homomorfismos. en el entorno correspondiente ( homomorfismos de grupo , etc.).

Sea un conjunto dirigido . Sea una familia de objetos indexados por y un homomorfismo para todos con las siguientes propiedades: ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle I\,}$ ${\displaystyle f_{ij}\colon A_{i}\rightarrow A_{j}}$ ${\displaystyle i\leq j}$

1. ${\displaystyle f_{ii}\,}$es la identidad en , y ${\displaystyle A_{i}\,}$
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$para todos . ${\displaystyle i\leq j\leq k}$

Entonces el par se llama sistema directo sobre . ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle I}$

El límite directo del sistema directo se denota por y se define de la siguiente manera. Su conjunto subyacente es la unión disjunta del módulo de una determinada relación de equivalencia : ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \sim \,}$

${\displaystyle \varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .}$

Aquí, si y , entonces si y sólo si hay alguno con y tal que . Intuitivamente, dos elementos en la unión disjunta son equivalentes si y sólo si "eventualmente se vuelven iguales" en el sistema directo. Una formulación equivalente que resalta la dualidad hasta el límite inverso es que un elemento es equivalente a todas sus imágenes bajo los mapas del sistema directo, es decir siempre que . ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}\in A_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}\sim \,x_{j}}$ ${\displaystyle k\in I}$ ${\displaystyle i\leq k}$ ${\displaystyle j\leq k}$ ${\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\,}$ ${\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ij}(x_{i})}$ ${\displaystyle i\leq j}$

De esta definición se obtienen funciones canónicas que envían cada elemento a su clase de equivalencia. Las operaciones algebraicas se definen de manera que estos mapas se conviertan en homomorfismos. Formalmente, el límite directo del sistema directo consta del objeto junto con los homomorfismos canónicos . ${\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$ ${\displaystyle \varinjlim A_{i}\,}$ ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$ ${\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$

Límites directos en una categoría arbitraria.

El límite directo puede definirse en una categoría arbitraria mediante una propiedad universal . Sea un sistema directo de objetos y morfismos en (como se definió anteriormente). Un objetivo es un par donde hay un objeto y hay morfismos para cada uno de modo que cuando sea . Un límite directo del sistema directo es un objetivo universalmente repelente en el sentido de que es un objetivo y para cada objetivo existe un morfismo único tal que para cada i . El siguiente diagrama ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \phi _{i}\colon X_{i}\rightarrow X}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle Y,\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle u\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle u\circ \phi _{i}=\psi _{i}}$

luego conmutará para todos i , j .

El límite directo a menudo se denota

${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$

entendiéndose el sistema directo y los morfismos canónicos . ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \phi _{i}}$

A diferencia de los objetos algebraicos, no todo sistema directo en una categoría arbitraria tiene un límite directo. Sin embargo, si es así, el límite directo es único en un sentido fuerte: dado otro límite directo X ′ existe un isomorfismo único X ′ → X que conmuta con los morfismos canónicos.

Ejemplos

• Una colección de subconjuntos de un conjunto se puede ordenar parcialmente mediante inclusión. Si la colección es dirigida, su límite directo es la unión . Lo mismo ocurre con una colección dirigida de subgrupos de un grupo determinado, o una colección dirigida de subanillos de un anillo determinado, etc. ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \bigcup M_{i}}$
• La topología débil de un complejo CW se define como límite directo.
• Sea cualquier conjunto dirigido con un elemento mayor . El límite directo de cualquier sistema directo correspondiente es isomorfo y el morfismo canónico es un isomorfismo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle X_{m}}$ ${\displaystyle \phi _{m}:X_{m}\rightarrow X}$
• Sea K un campo. Para un entero positivo n , considere el grupo lineal general GL( n;K ) que consta de matrices n x n invertibles con entradas de K . Tenemos un homomorfismo de grupo GL( n;K ) → GL( n +1; K ) que amplía las matrices poniendo un 1 en la esquina inferior derecha y ceros en otras partes de la última fila y columna. El límite directo de este sistema es el grupo lineal general de K , escrito como GL( K ). Un elemento de GL( K ) puede considerarse como una matriz infinita invertible que difiere de la matriz identidad infinita sólo en un número finito de entradas. El grupo GL( K ) es de vital importancia en la teoría K algebraica .
• Sea p un número primo . Considere el sistema directo compuesto por los grupos de factores y los homomorfismos inducidos por la multiplicación por . El límite directo de este sistema está formado por todas las raíces de la unidad de orden alguna potencia y se denomina grupo de Prüfer . ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$
• Existe un homomorfismo de anillo inyectivo (no obvio) desde el anillo de polinomios simétricos en variables hasta el anillo de polinomios simétricos en variables. Al formar el límite directo de este sistema directo se obtiene el anillo de funciones simétricas . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$
• Sea F una gavilla con valor C en un espacio topológico X. Fijar un punto x en X . Las vecindades abiertas de x forman un conjunto dirigido ordenado por inclusión ( U ≤ V si y sólo si U contiene V ). El sistema directo correspondiente es ( F ( U ), r _{U , V} ) donde r es el mapa de restricción. El límite directo de este sistema se llama tallo de F en x , denotado F _x . Para cada vecindad U de x , el morfismo canónico F ( U ) → F _x asocia a una sección s de F sobre U un elemento s _x del tallo F _x llamado germen de s en x .
• Los límites directos en la categoría de espacios topológicos se dan colocando la topología final en el límite directo subyacente de la teoría de conjuntos.
• Un esquema ind es un límite inductivo de esquemas.

Propiedades

Los límites directos están vinculados a los límites inversos mediante

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).}$

Una propiedad importante es que tomar límites directos en la categoría de módulos es un funtor exacto . Esto significa que si se comienza con un sistema dirigido de sucesiones exactas cortas y se forman límites directos, se obtiene una secuencia exacta corta . ${\displaystyle 0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0}$ ${\displaystyle 0\to \varinjlim A_{i}\to \varinjlim B_{i}\to \varinjlim C_{i}\to 0}$

Construcciones y generalizaciones relacionadas.

Observamos que un sistema directo en una categoría admite una descripción alternativa en términos de functores . Cualquier conjunto dirigido puede considerarse como una pequeña categoría cuyos objetos son los elementos y existe un morfismo si y sólo si . Un sistema directo over es entonces lo mismo que un functor covariante . El colímite de este functor es el mismo que el límite directo del sistema directo original. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\rightarrow j}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$

Una noción muy relacionada con los límites directos son los colimits filtrados . Aquí comenzamos con un funtor covariante de una categoría filtrada a alguna categoría y formamos el colimit de este funtor. Se puede demostrar que una categoría tiene todos los límites dirigidos si y sólo si tiene todos los colimits filtrados, y un funtor definido en dicha categoría conmuta con todos los límites directos si y sólo si conmuta con todos los colimits filtrados. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Dada una categoría arbitraria , puede haber sistemas directos que no tengan un límite directo (considere, por ejemplo, la categoría de conjuntos finitos o la categoría de grupos abelianos generados finitamente ). En este caso, siempre podemos incluirnos en una categoría en la que existen todos los límites directos; los objetos de se llaman objetos ind de . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

El dual categórico del límite directo se llama límite inverso . Como se indicó anteriormente, los límites inversos pueden verse como límites de ciertos functores y están estrechamente relacionados con los límites de categorías cofiltradas.

Terminología

En la literatura se encuentran los términos "límite dirigido", "límite inductivo directo", "colimit dirigido", "colimit directo" y "límite inductivo" para el concepto de límite directo definido anteriormente. Sin embargo, el término "límite inductivo" es ambiguo, ya que algunos autores lo utilizan para el concepto general de colímite.

Ver también

• Límites directos de grupos.

Notas

1. Adamek, J.; Rosicky, J. (1994). Categorías localmente presentables y accesibles. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 15.ISBN​ 9780521422611.

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1968), Elementos de las matemáticas. Teoría de conjuntos , Traducido del francés, París: Hermann, MR  0237342
• Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático que trabaja , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 5 (2ª ed.), Springer-Verlag