Categoría filtrada

En teoría de categorías , las categorías filtradas generalizan la noción de conjunto dirigido entendido como categoría (de ahí que se llame categoría dirigida; mientras que algunos utilizan categoría dirigida como sinónimo de categoría filtrada). Existe una noción dual de categoría cofiltrada , que recordaremos más adelante.

Categorías filtradas

Una categoría se filtra cuando ${\displaystyle J}$

• no está vacío,
• por cada dos objetos y en existe un objeto y dos flechas y en , ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j'}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:j\to k}$ ${\displaystyle f':j'\to k}$ ${\displaystyle J}$
• por cada dos flechas paralelas en , existe un objeto y una flecha tal que . ${\displaystyle u,v:i\to j}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w:j\to k}$ ${\displaystyle wu=wv}$

Un colimit filtrado es un colimit de un functor donde hay una categoría filtrada. ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle J}$

Categorías cofiltradas

Una categoría se cofiltra si se filtra la categoría opuesta . En detalle, una categoría se cofiltra cuando ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J^{\mathrm {op} }}$

• no está vacío,
• por cada dos objetos y en existe un objeto y dos flechas y en , ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j'}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:k\to j}$ ${\displaystyle f':k\to j'}$ ${\displaystyle J}$
• por cada dos flechas paralelas en , existe un objeto y una flecha tal que . ${\displaystyle u,v:j\to i}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w:k\to j}$ ${\displaystyle uw=vw}$

Un límite cofiltrado es un límite de un functor donde hay una categoría cofiltrada. ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle J}$

Objetos ind y proobjetos

Dada una categoría pequeña , un prehaz de conjuntos que es un pequeño colimit filtrado de presheaves representables se denomina objeto ind de la categoría . Los objetos Ind de una categoría forman una subcategoría completa en la categoría de functores (presheaves) . La categoría de proobjetos en es lo opuesto a la categoría de objetos ind en la categoría opuesta . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{op}\to Set}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Ind(C)}$ ${\displaystyle C^{op}\to Set}$ ${\displaystyle Pro(C)=Ind(C^{op})^{op}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{op}}$

categorías filtradas κ

Existe una variante de "categoría filtrada" conocida como "categoría filtrada κ", definida de la siguiente manera. Esto comienza con la siguiente observación: las tres condiciones en la definición de categoría filtrada anterior dicen respectivamente que existe un cocono sobre cualquier diagrama de la forma , o . La existencia de coconos para estas tres formas de diagramas resulta implicar que existen coconos para cualquier diagrama finito; en otras palabras, una categoría se filtra (según la definición anterior) si y sólo si hay un cocono sobre cualquier diagrama finito . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \{\ \ \}\rightarrow J}$ ${\displaystyle \{j\ \ \ j'\}\rightarrow J}$ ${\displaystyle \{i\rightrightarrows j\}\rightarrow J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle d:D\to J}$

Ampliando esto, dado un cardinal regular κ, se define una categoría para ser filtrada con κ si hay un cocono sobre cada diagrama de cardinalidad menor que κ. (Un diagrama pequeño es de cardinalidad κ si el conjunto de morfismos de su dominio es de cardinalidad κ.) ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle J}$

Un colimit filtrado por κ es un colimit de un functor donde hay una categoría filtrada por κ. ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle J}$

Referencias

• Artin, M. , Grothendieck, A. y Verdier, J.-L. Séminario de Geometría Algébrique du Bois Marie ( SGA 4 ). Apuntes de conferencias de matemáticas 269, Springer Verlag, 1972. Exposé I, 2.7.
• Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático trabajador (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98403-2, apartado IX.1.