La topología algebraica es una rama de las matemáticas que utiliza herramientas del álgebra abstracta para estudiar espacios topológicos . El objetivo básico es encontrar invariantes algebraicos que clasifiquen espacios topológicos hasta el homeomorfismo , aunque normalmente la mayoría clasifica hasta la equivalencia de homotopía .
Aunque la topología algebraica utiliza principalmente el álgebra para estudiar problemas topológicos, a veces también es posible utilizar la topología para resolver problemas algebraicos. La topología algebraica, por ejemplo, permite demostrar cómodamente que cualquier subgrupo de un grupo libre es nuevamente un grupo libre.
A continuación se presentan algunas de las principales áreas estudiadas en topología algebraica:
En matemáticas, los grupos de homotopía se utilizan en topología algebraica para clasificar espacios topológicos . El primer y más simple grupo de homotopía es el grupo fundamental , que registra información sobre bucles en un espacio. Intuitivamente, los grupos de homotopía registran información sobre la forma básica, o los agujeros, de un espacio topológico.
En topología algebraica y álgebra abstracta , la homología (en parte del griego ὁμός homos "idéntico") es un cierto procedimiento general para asociar una secuencia de grupos o módulos abelianos con un objeto matemático determinado como un espacio topológico o un grupo . [1]
En teoría de la homología y topología algebraica, la cohomología es un término general para una secuencia de grupos abelianos definidos a partir de un complejo de cocadenas . Es decir, la cohomología se define como el estudio abstracto de cocadenas , cociclos y colímites . La cohomología puede verse como un método para asignar invariantes algebraicos a un espacio topológico que tiene una estructura algebraica más refinada que la homología . La cohomología surge de la dualización algebraica de la construcción de homología. En un lenguaje menos abstracto, las cocadenas en el sentido fundamental deberían asignar "cantidades" a las cadenas de la teoría de la homología.
Una variedad es un espacio topológico que cerca de cada punto se asemeja al espacio euclidiano . Los ejemplos incluyen el plano , la esfera y el toroide , que se pueden realizar en tres dimensiones, pero también la botella de Klein y el plano proyectivo real que no se pueden incrustar en tres dimensiones, pero sí en cuatro dimensiones. Normalmente, los resultados en topología algebraica se centran en aspectos globales no diferenciables de variedades; por ejemplo la dualidad de Poincaré .
La teoría de nudos es el estudio de los nudos matemáticos . Si bien se inspira en los nudos que aparecen en la vida cotidiana en los cordones de los zapatos y las cuerdas, el nudo de un matemático se diferencia en que los extremos están unidos de modo que no se pueden deshacer. En lenguaje matemático preciso, un nudo es la incrustación de un círculo en un espacio euclidiano tridimensional . Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una deformación sobre sí mismo (conocida como isotopía ambiental ); estas transformaciones corresponden a manipulaciones de una cuerda anudada que no implican cortar la cuerda ni pasar la cuerda a través de sí misma.
Un complejo simplicial es un espacio topológico de cierto tipo, construido "pegando" puntos , segmentos de línea , triángulos y sus contrapartes de n dimensiones (ver ilustración). Los complejos simpliciales no deben confundirse con la noción más abstracta de conjunto simplicial que aparece en la teoría moderna de la homotopía simplicial. La contraparte puramente combinatoria de un complejo simplicial es un complejo simplicial abstracto .
Un complejo CW es un tipo de espacio topológico introducido por JHC Whitehead para satisfacer las necesidades de la teoría de la homotopía . Esta clase de espacios es más amplia y tiene algunas propiedades categóricas mejores que los complejos simpliciales , pero aún conserva una naturaleza combinatoria que permite el cálculo (a menudo con un complejo mucho más pequeño).
Un nombre más antiguo para el tema era topología combinatoria , lo que implicaba un énfasis en cómo se construía un espacio X a partir de espacios más simples [2] (la herramienta estándar moderna para tal construcción es el complejo CW ). En las décadas de 1920 y 1930, hubo un énfasis creciente en la investigación de espacios topológicos encontrando correspondencias de ellos con grupos algebraicos , lo que llevó al cambio de nombre a topología algebraica. [3] El nombre de topología combinatoria todavía se utiliza a veces para enfatizar un enfoque algorítmico basado en la descomposición de espacios. [4]
En el enfoque algebraico, se encuentra una correspondencia entre espacios y grupos que respeta la relación de homeomorfismo (u homotopía más general ) de los espacios. Esto permite reformular afirmaciones sobre espacios topológicos en afirmaciones sobre grupos, que tienen una gran estructura manejable, lo que a menudo hace que estas afirmaciones sean más fáciles de probar. Dos formas principales de hacer esto son a través de grupos fundamentales , o más generalmente teoría de la homotopía , y a través de grupos de homología y cohomología . Los grupos fundamentales nos brindan información básica sobre la estructura de un espacio topológico, pero a menudo son no abelianos y puede resultar difícil trabajar con ellos. El grupo fundamental de un complejo simplicial (finito) tiene una presentación finita .
Los grupos de homología y cohomología, por otro lado, son abelianos y en muchos casos importantes están generados de forma finita. Los grupos abelianos generados finitamente están completamente clasificados y es particularmente fácil trabajar con ellos.
En general, todas las construcciones de topología algebraica son funtoriales ; las nociones de categoría , funtor y transformación natural se originaron aquí. Los grupos fundamentales y los grupos de homología y cohomología no sólo son invariantes del espacio topológico subyacente, en el sentido de que dos espacios topológicos que son homeomórficos tienen los mismos grupos asociados, sino que sus morfismos asociados también corresponden: un mapeo continuo de espacios induce un homomorfismo de grupo en los grupos asociados, y estos homomorfismos pueden usarse para mostrar la inexistencia (o, mucho más profundamente, la existencia) de mapeos.
Uno de los primeros matemáticos en trabajar con diferentes tipos de cohomología fue Georges de Rham . Se puede utilizar la estructura diferencial de variedades suaves mediante la cohomología de Rham , o la cohomología de Čech o gavilla para investigar la solubilidad de ecuaciones diferenciales definidas en la variedad en cuestión. De Rham demostró que todos estos enfoques estaban interrelacionados y que, para una variedad cerrada y orientada, los números de Betti derivados mediante homología simplicial eran los mismos números de Betti que los derivados mediante cohomología de De Rham. Esto se amplió en la década de 1950, cuando Samuel Eilenberg y Norman Steenrod generalizaron este enfoque. Definieron la homología y la cohomología como functores equipados con transformaciones naturales sujetas a ciertos axiomas (por ejemplo, una equivalencia débil de espacios pasa a un isomorfismo de grupos de homología), verificaron que todas las teorías de (co)homología existentes satisfacían estos axiomas y luego demostraron que tales una axiomatización caracterizó de manera única la teoría.
Las aplicaciones clásicas de la topología algebraica incluyen:
