grupo fundamental étale

Concepto topológico en geometría algebraica.

El étale o grupo fundamental algebraico es un análogo en geometría algebraica , para esquemas , del grupo fundamental habitual de espacios topológicos .

Analógico topológico/discusión informal

En topología algebraica , el grupo fundamental de un espacio topológico puntiagudo se define como el grupo de clases de homotopía de bucles basados ​​en . Esta definición funciona bien para espacios como variedades reales y complejas , pero da resultados indeseables para una variedad algebraica con la topología de Zariski . ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle (X,x)}$ ${\displaystyle x}$

En la clasificación de espacios de cobertura se demuestra que el grupo fundamental es exactamente el grupo de transformaciones de cubierta del espacio de cobertura universal . Esto es más prometedor: los morfismos étale finitos de variedades algebraicas son el análogo apropiado de cubrir espacios de espacios topológicos. Desafortunadamente, una variedad algebraica a menudo no tiene una "cobertura universal" que sea finita , por lo que se debe considerar toda la categoría de coberturas finitas de étale . Entonces se puede definir el grupo fundamental étale como un límite inverso de grupos de automorfismos finitos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Definicion formal

Sea un esquema conectado y localmente noetheriano , sea un punto geométrico y sea la categoría de pares tal que sea un morfismo étale finito de un esquema Los morfismos en esta categoría son morfismos como esquemas sobre Esta categoría tiene un funtor natural para la categoría de conjuntos, es decir, el funtor: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (Y,f)}$ ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle (Y,f)\to (Y',f')}$ ${\displaystyle Y\to Y'}$ ${\displaystyle X.}$

${\displaystyle F(Y)=\operatorname {Hom} _{X}(x,Y);}$

geométricamente esta es la fibra de over y de manera abstracta es el funtor de Yoneda representado por en la categoría de esquemas over . El funtor normalmente no se puede representar en ; sin embargo, es pro-representable en , en realidad por portadas de Galois . Esto significa que tenemos un sistema proyectivo en , indexado por un conjunto dirigido donde hay cubiertas de Galois de , es decir, esquemas de étale finitos sobre tales que . ^[1] También significa que hemos dado un isomorfismo de funtores: ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X_{j}\to X_{i}\mid i<j\in I\}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \#\operatorname {Aut} _{X}(X_{i})=\operatorname {deg} (X_{i}/X)}$

${\displaystyle F(Y)=\varinjlim _{i\in I}\operatorname {Hom} _{C}(X_{i},Y)}$.

En particular, tenemos un punto marcado del sistema proyectivo. ${\displaystyle P\in \varprojlim _{i\in I}F(X_{i})}$

Para dos de ellos, el mapa induce un homomorfismo de grupo que produce un sistema proyectivo de grupos de automorfismo a partir del sistema proyectivo . Luego hacemos la siguiente definición: el grupo fundamental étale de at es el límite inverso: ${\displaystyle X_{i},X_{j}}$ ${\displaystyle X_{j}\to X_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} _{X}(X_{j})\to \operatorname {Aut} _{X}(X_{i})}$ ${\displaystyle \{X_{i}\}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \pi _{1}(X,x)=\varprojlim _{i\in I}{\operatorname {Aut} }_{X}(X_{i}),}$

con la topología de límite inverso.

El functor ahora es un functor de la categoría de conjuntos finitos y continuos y establece una equivalencia de categorías entre la categoría de conjuntos finitos y continuos. ^[2] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$

Ejemplos y teoremas

El ejemplo más básico es el grupo fundamental étale de un campo . Esencialmente por definición, se puede demostrar que el grupo fundamental de es isomorfo al grupo absoluto de Galois . Más precisamente, la elección de un punto geométrico de equivale a dar un campo de extensión separablemente cerrado , y el grupo fundamental étale con respecto a ese punto base se identifica con el grupo de Galois . Esta interpretación del grupo de Galois se conoce como teoría de Galois de Grothendieck . ${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Spec} k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (k^{sep}/k)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)}$

De manera más general, para cualquier variedad geométricamente conexa sobre un campo (es decir, es tal que está conexa) existe una secuencia exacta de grupos profinitos : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{sep}:=X\times _{k}k^{sep}}$

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(X^{sep},{\overline {x}})\to \pi _{1}(X,{\overline {x}})\to \operatorname {Gal} (k^{sep}/k)\to 1.}$

Esquemas sobre un campo de característica cero.

Para un esquema que es de tipo finito sobre , los números complejos, existe una estrecha relación entre el grupo fundamental étale de y el grupo fundamental habitual, topológico de , el espacio analítico complejo adjunto a . El grupo fundamental algebraico, como se suele llamar en este caso, es la terminación finita de . Esto es una consecuencia del teorema de existencia de Riemann , que dice que todas las cubiertas finitas de étale provienen de unas de . En particular, como se comprende bien el grupo fundamental de curvas suaves (es decir, superficies de Riemann abiertas); esto determina el grupo fundamental algebraico. De manera más general, se conoce el grupo fundamental de un esquema propio sobre cualquier campo algebraicamente cerrado de característica cero, porque una extensión de campos algebraicamente cerrados induce grupos fundamentales isomórficos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Esquemas sobre un campo de características positivas y el grupo fundamental manso.

Para un campo algebraicamente cerrado de característica positiva, los resultados son diferentes, ya que en esta situación existen coberturas de Artin-Schreier. Por ejemplo, el grupo fundamental de la línea afín no se genera topológicamente de forma finita . El grupo fundamental domesticado de algún esquema U es un cociente del grupo fundamental habitual del cual sólo se tienen en cuenta las coberturas que están ligeramente ramificadas a lo largo de , donde hay cierta compactación y es el complemento de in . ^{[3] [4]} Por ejemplo, el grupo fundamental manso de la línea afín es cero. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{k}^{1}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Esquemas afines sobre un campo de característica p

Resulta que todo esquema afín es un espacio, en el sentido de que el tipo de homotopía etale está enteramente determinado por su grupo de homotopía etale. ^[5] Observe dónde hay un punto geométrico. ${\displaystyle X\subset \mathbf {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle K(\pi ,1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi =\pi _{1}^{et}(X,{\overline {x}})}$ ${\displaystyle {\overline {x}}}$

Otros temas

Desde un punto de vista teórico de categorías , el grupo fundamental es un functor:

{ Variedades algebraicas puntiagudas } → { Grupos profinitos }.

El problema inverso de Galois pregunta qué grupos pueden surgir como grupos fundamentales (o grupos de Galois de extensiones de campo). La geometría anabeliana , por ejemplo la conjetura de la sección de Grothendieck , busca identificar clases de variedades que están determinadas por sus grupos fundamentales. ^[6]

Friedlander (1982) estudia grupos de homotopía étale superior mediante el tipo de esquema de homotopía étale.

El grupo fundamental pro-étale

Bhatt y Scholze (2015, §7) han introducido una variante del grupo fundamental étale llamado grupo fundamental pro-étale . Se construye considerando, en lugar de coberturas de étale finitas, mapas que son a la vez étale y satisfacen el criterio valorativo de propiedad . Para esquemas geométricamente unibranquios (por ejemplo, esquemas normales), los dos enfoques concuerdan, pero en general el grupo fundamental pro-étale es un invariante más fino: su terminación profinita es el grupo fundamental étale.

Ver también

• morfismo étale
• grupo fundamental
• Esquema de grupo fundamental

Notas

1. JS Milne, Conferencias sobre cohomología de Étale , versión 2.21: 26-27
2. Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, pp. xviii+327, see Exp. V, IX, X, arXiv:math.AG/0206203, ISBN 978-2-85629-141-2
3. Grothendieck, Alexander; Murre, Jacob P. (1971), The tame fundamental group of a formal neighbourhood of a divisor with normal crossings on a scheme, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 208, Berlin, New York: Springer-Verlag
4. Schmidt, Alexander (2002), "Tame coverings of arithmetic schemes", Mathematische Annalen, 322 (1): 1–18, arXiv:math/0005310, doi:10.1007/s002080100262, S2CID 29899627
5. Achinger, Piotr (November 2017). "Wild ramification and K(pi, 1) spaces". Inventiones Mathematicae. 210 (2): 453–499. arXiv:1701.03197. doi:10.1007/s00222-017-0733-5. ISSN 0020-9910. S2CID 119146164.
6. (Tamagawa 1997)

References

• Bhatt, Bhargav; Scholze, Peter (2015), "The pro-étale topology for schemes", Astérisque: 99–201, arXiv:1309.1198, Bibcode:2013arXiv1309.1198B, MR 3379634
• Friedlander, Eric M. (1982), Étale homotopy of simplicial schemes, Annals of Mathematics Studies, vol. 104, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08288-2
• Murre, J. P. (1967), Lectures on an introduction to Grothendieck's theory of the fundamental group, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0302650
• Tamagawa, Akio (1997), "The Grothendieck conjecture for affine curves", Compositio Mathematica, 109 (2): 135–194, doi:10.1023/A:1000114400142, MR 1478817
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