Álgebra cuasi libre

Álgebra asociativa con propiedad de elevación

En álgebra abstracta, un álgebra cuasi-libre es un álgebra asociativa que satisface la propiedad de elevación similar a la de un álgebra formalmente suave en álgebra conmutativa . La noción fue introducida por Cuntz y Quillen para las aplicaciones a la homología cíclica . ^[1] Un álgebra cuasi-libre generaliza un álgebra libre , así como el anillo de coordenadas de una curva compleja afín suave . Debido a la última generalización, se puede pensar que un álgebra cuasi-libre significa suavidad en un espacio no conmutativo . ^[2]

Definición

Sea A un álgebra asociativa sobre los números complejos. Entonces se dice que A es cuasi-libre si se cumplen las siguientes condiciones equivalentes: ^{[3] [4] [5]}

• Dada una extensión cuadrado-cero , cada homomorfismo se eleva a . ${\displaystyle R\to R/I}$ ${\displaystyle A\to R/I}$ ${\displaystyle A\to R}$
• La dimensión cohomológica de A con respecto a la cohomología de Hochschild es como máximo uno.

Sea A la envolvente diferencial de A ; es decir, el álgebra diferencial graduada universal generada por A . ^{[6] [7]} Entonces A es cuasi-libre si y sólo si es proyectivo como un bimódulo sobre A . ^[3] ${\displaystyle (\Omega A,d)}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}A}$

También existe una caracterización en términos de una conexión. Dado un A -bimódulo E , una conexión derecha en E es una función lineal

${\displaystyle \nabla _{r}:E\to E\otimes _{A}\Omega ^{1}A}$

que satisface y . ^[8] Una conexión izquierda se define de manera similar. Entonces A es cuasi-libre si y solo si admite una conexión derecha. ^[9] ${\displaystyle \nabla _{r}(as)=a\nabla _{r}(s)}$ ${\displaystyle \nabla _{r}(sa)=\nabla _{r}(s)a+s\otimes da}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}A}$

Propiedades y ejemplos

Una de las propiedades básicas de un álgebra cuasi-libre es que el álgebra es hereditaria izquierda y derecha (es decir, un submódulo de un módulo proyectivo izquierdo o derecho es proyectivo o, equivalentemente, la dimensión global izquierda o derecha es como máximo uno). ^{[10] Esto impone una fuerte restricción para que las álgebras sean cuasi-libres. Por ejemplo, un} dominio integral hereditario (conmutativo) es precisamente un dominio de Dedekind . En particular, un anillo polinomial sobre un cuerpo es cuasi-libre si y solo si el número de variables es como máximo uno.

Un análogo del teorema del vecindario tubular , llamado teorema del vecindario tubular formal , se aplica a las álgebras cuasi-libres. ^[11]

Referencias

1. Cuntz y Quillen 1995
2. Cuntz 2013, Introducción
3. Cuntz y Quillen 1995, Proposición 3.3.
4. Vale 2009, Propuesta 7.7.
5. Kontsevich y Rosenberg 2000, 1.1.
6. Cuntz y Quillen 1995, Proposición 1.1.
7. Kontsevich y Rosenberg 2000, 1.1.2.
8. Vale 2009, Definición 8.4.
9. Vale 2009, Observación 7.12.
10. Cuntz y Quillen 1995, Proposición 5.1.
11. Cuntz y Quillen 1995, § 6.

Bibliografía

• Cuntz, Joachim (junio de 2013). "El trabajo de Quillen sobre los fundamentos de la cohomología cíclica". Journal of K-Theory . 11 (3): 559–574. arXiv : 1202.5958 . doi :10.1017/is012011006jkt201. ISSN  1865-2433.
• Cuntz, Joachim; Quillen, Daniel (1995). "Extensiones de álgebra y no singularidad". Revista de la Sociedad Americana de Matemáticas . 8 (2): 251–289. doi : 10.2307/2152819 . ISSN  0894-0347.
• Kontsevich, Maxim; Rosenberg, Alexander L. (2000). "Espacios suaves no conmutativos". Seminarios matemáticos de Gelfand, 1996-1999 . Birkhäuser: 85-108. arXiv : math/9812158 . doi :10.1007/978-1-4612-1340-6_5.
• Maxim Kontsevich, Alexander Rosenberg, Espacios no conmutativos, preimpresión MPI-2004-35
• Vale, R. (2009). "Notas sobre álgebras cuasi-libres" (PDF) .

Lectura adicional

• https://ncatlab.org/nlab/show/quasi-free+algebra