Anillo hereditario

Anillo cuyos ideales son proyectivos

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un anillo R se denomina hereditario si todos los submódulos de los módulos proyectivos sobre R son a su vez proyectivos. Si esto se requiere solo para submódulos finitamente generados , se denomina semihereditario .

Para un anillo no conmutativo R , los términos hereditario izquierdo y semihereditario izquierdo y sus versiones de la mano derecha se utilizan para distinguir la propiedad en un solo lado del anillo. Para ser (semi)hereditario izquierdo, todos los submódulos (finitamente generados) de los módulos R proyectivos izquierdos deben ser proyectivos, y de manera similar, para ser (semi)hereditario derecho, todos los submódulos (finitamente generados) de los módulos R proyectivos derechos deben ser proyectivos. Es posible que un anillo sea (semi)hereditario izquierdo pero no (semi)hereditario derecho y viceversa.

Definiciones equivalentes

• El anillo R es (semi)hereditario izquierdo si y sólo si todos los ideales izquierdos ( finitamente generados ) de R son módulos proyectivos. ^{[1] [2]}
• El anillo R es hereditario por la izquierda si y solo si todos los módulos izquierdos tienen resoluciones proyectivas de longitud como máximo 1. Esto es equivalente a decir que la dimensión global izquierda es como máximo 1. Por lo tanto, los funtores derivados habituales como y son triviales para . ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}}$ ${\displaystyle i>1}$

Ejemplos

• Los anillos semisimples son hereditarios izquierdos y derechos a través de definiciones equivalentes: todos los ideales izquierdos y derechos son sumandos de R y, por lo tanto, son proyectivos. De manera similar, en un anillo regular de von Neumann, cada ideal izquierdo y derecho finitamente generado es un sumando directo de R y, por lo tanto, los anillos regulares de von Neumann son semihereditarios izquierdos y derechos.
• Para cualquier elemento x distinto de cero en un dominio R , mediante la función . Por lo tanto, en cualquier dominio, un ideal recto principal es libre , por lo tanto, proyectivo. Esto refleja el hecho de que los dominios son anillos rectos de Rickart . De ello se deduce que si R es un dominio recto de Bézout , de modo que los ideales rectos finitamente generados son principales, entonces R tiene todos los ideales rectos finitamente generados proyectivos y, por lo tanto, R es semihereditario recto. Finalmente, si se supone que R es un dominio de ideal recto principal , entonces todos los ideales rectos son proyectivos y R es hereditario recto. ${\displaystyle R\cong xR}$ ${\displaystyle r\mapsto xr}$
• Un dominio integral hereditario conmutativo se denomina dominio de Dedekind . Un dominio integral semihereditario conmutativo se denomina dominio de Prüfer .
• Un ejemplo importante de un anillo hereditario (izquierdo) es el álgebra de trayectorias de un quiver . Esto es una consecuencia de la existencia de la resolución estándar (que es de longitud 1) para módulos sobre un álgebra de trayectorias.
• El anillo de matriz triangular es hereditario derecho y semihereditario izquierdo, pero no hereditario izquierdo. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}}$
• Si S es un anillo regular de von Neumann con un ideal I que no es un sumando directo, entonces el anillo de matriz triangular es semihereditario izquierdo pero no semihereditario derecho. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}S/I&S/I\\0&S\end{bmatrix}}}$

Propiedades

• Para un anillo hereditario izquierdo R , cada submódulo de un módulo R izquierdo libre es isomorfo a una suma directa de ideales izquierdos de R y, por lo tanto, es proyectivo. ^[2]

Referencias

1. Lam 1999, pág. 42
2. Reiner 2003, págs. 27-29

• Crawley-Boevey, William , Notas sobre la representación de la aljaba (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 2 de mayo de 2003
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.º 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, MR  1653294, Zbl  0911.16001
• Osborne, M. Scott (2000), Álgebra homológica básica , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 196, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98934-X, Zbl0948.18001 ​
• Reiner, I. (2003), Maximal Orders , Monografías de la London Mathematical Society. Nueva serie, vol. 28, Oxford University Press , ISBN 0-19-852673-3, Zbl1024.16008 ​
• Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 38, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-43500-5, Zbl  0797.18001