Generalizaciones de matrices de Pauli

En matemáticas y física , en particular en información cuántica , el término matrices de Pauli generalizadas se refiere a familias de matrices que generalizan las propiedades (algebraicas lineales) de las matrices de Pauli . Aquí se resumen algunas clases de tales matrices.

Matrices de Pauli multiqubit (hermitianas)

Este método de generalizar las matrices de Pauli se refiere a una generalización de un único sistema de 2 niveles ( qubit ) a múltiples sistemas de este tipo. En particular, las matrices de Pauli generalizadas para un grupo de qubits son solo el conjunto de matrices generadas por todos los productos posibles de matrices de Pauli en cualquiera de los qubits. ^[1] ${\displaystyle N}$

El espacio vectorial de un solo qubit es y el espacio vectorial de qubits es . Usamos la notación del producto tensorial. ${\displaystyle V_{1}=\mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V_{N}=\left(\mathbb {C} ^{2}\right)^{\otimes N}\cong \mathbb {C} ^{2^{N}}}$

${\displaystyle \sigma _{a}^{(n)}=I^{(1)}\otimes \dotsm \otimes I^{(n-1)}\otimes \sigma _{a}\otimes I^{(n+1)}\otimes \dotsm \otimes I^{(N)},\qquad a=1,2,3}$

para referirse al operador que actúa como matriz de Pauli en el décimo qubit y la identidad en todos los demás qubits. También podemos usarlo para la identidad, es decir, para cualquiera que usemos . Entonces las matrices de Pauli multiqubit son todas matrices de la forma ${\displaystyle V_{N}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sigma _{0}^{(n)}=\bigotimes _{m=1}^{N}I^{(m)}}$

${\displaystyle \sigma _{\,{\vec {a}}}:=\prod _{n=1}^{N}\sigma _{a_{n}}^{(n)}=\sigma _{a_{1}}\otimes \dotsm \otimes \sigma _{a_{N}},\qquad {\vec {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{N})\in \{0,1,2,3\}^{\times N}}$,

es decir, para un vector de números enteros entre 0 y 4. Por tanto, existen matrices de Pauli generalizadas si incluimos la identidad y si no la incluimos. ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle 4^{N}}$ ${\textstyle I=\bigotimes _{m=1}^{N}I^{(m)}}$ ${\displaystyle 4^{N}-1}$

Notaciones

En computación cuántica, es convencional denotar las matrices de Pauli con letras mayúsculas individuales.

${\displaystyle I\equiv \sigma _{0},\qquad X\equiv \sigma _{1},\qquad Y\equiv \sigma _{2},\qquad Z\equiv \sigma _{3}.}$

Esto permite que los subíndices de las matrices de Pauli indiquen el índice del qubit. Por ejemplo, en un sistema con 3 qubits,

${\displaystyle X_{1}\equiv X\otimes I\otimes I,\qquad Z_{2}\equiv I\otimes Z\otimes I.}$

Las matrices de Pauli de múltiples qubits se pueden escribir como productos de Paulis de un solo qubit en qubits disjuntos. Alternativamente, cuando queda claro por el contexto, se puede omitir el símbolo del producto tensorial, es decir, las matrices de Pauli sin índice escritas consecutivamente representan el producto tensorial en lugar del producto matricial. Por ejemplo: ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle XZI\equiv X_{1}Z_{2}=X\otimes Z\otimes I.}$

Matrices de espín superior (hermitiano)

Las matrices de Pauli tradicionales son la representación matricial de los generadores de álgebra de Lie , y en la representación irreducible bidimensional de SU(2) , correspondiente a una partícula de espín 1/2. Estos generan el grupo de Lie SU(2) . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle J_{z}}$

Para una partícula general de espín , se utiliza la representación irreducible -dimensional. ${\displaystyle s=0,1/2,1,3/2,2,\ldots }$ ${\displaystyle 2s+1}$

Matrices generalizadas de Gell-Mann (hermitianas)

Este método de generalización de las matrices de Pauli se refiere a una generalización desde sistemas de 2 niveles (matrices de Pauli que actúan sobre qubits ) a sistemas de 3 niveles ( matrices de Gell-Mann que actúan sobre qutrits ) y sistemas de niveles genéricos (matrices de Gell-Mann generalizadas que actúan sobre quditas ). ${\displaystyle d}$

Construcción

Sea la matriz con 1 en la entrada jk -ésima y 0 en el resto. Considere el espacio de matrices complejas, , para un fijo . ${\displaystyle E_{jk}}$ ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d\times d}}$ ${\displaystyle d}$

Defina las siguientes matrices,

${\displaystyle f_{k,j}^{\,\,\,\,\,d}={\begin{cases}E_{kj}+E_{jk}&{\text{for }}k<j,\\-i(E_{jk}-E_{kj})&{\text{for }}k>j.\end{cases}}}$

y

${\displaystyle h_{k}^{\,\,\,d}={\begin{cases}I_{d}&{\text{for }}k=1,\\h_{k}^{\,\,\,d-1}\oplus 0&{\text{for }}1<k<d,\\{\sqrt {\tfrac {2}{d(d-1)}}}\left(h_{1}^{d-1}\oplus (1-d)\right)={\sqrt {\tfrac {2}{d(d-1)}}}\left(I_{d-1}\oplus (1-d)\right)&{\text{for }}k=d\end{cases}}}$

La colección de matrices definidas anteriormente sin la matriz identidad se denominan matrices de Gell-Mann generalizadas , en dimensión . ^{[2] [3]} El símbolo ⊕ (utilizado en la subálgebra de Cartan anterior) significa suma directa matricial . ${\displaystyle d}$

Las matrices generalizadas de Gell-Mann son hermitianas y no tienen rastros por construcción, al igual que las matrices de Pauli. También se puede comprobar que son ortogonales en el producto interno de Hilbert-Schmidt en . Por recuento de dimensiones, se ve que abarcan el espacio vectorial de matrices complejas . Luego proporcionan una base generadora de álgebra de Lie que actúa sobre la representación fundamental de . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d\times d}}$ ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(d)}$

En dimensiones = 2 y 3, la construcción anterior recupera las matrices de Pauli y Gell-Mann , respectivamente. ${\displaystyle d}$

Matrices de Pauli generalizadas de Sylvester (no hermitianas)

James Joseph Sylvester construyó una generalización particularmente notable de las matrices de Pauli en 1882. ^[4] Se conocen como "matrices de Weyl-Heisenberg", así como "matrices de Pauli generalizadas". ^{[5] [6]}

Enmarcado

Las matrices de Pauli y satisfacen lo siguiente: ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{3}^{2}=I,\quad \sigma _{1}\sigma _{3}=-\sigma _{3}\sigma _{1}=e^{\pi i}\sigma _{3}\sigma _{1}.}$

La llamada matriz de conjugación de Walsh-Hadamard es

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

Al igual que las matrices de Pauli, es a la vez hermitiana y unitaria . y satisfacer la relación ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\;\sigma _{3}}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \;\sigma _{1}=W\sigma _{3}W^{*}.}$

El objetivo ahora es extender lo anterior a dimensiones superiores . ${\displaystyle d}$

Construcción: las matrices de reloj y turno.

Fije la dimensión como antes. Vamos , una raíz de unidad. Desde y , la suma de todas las raíces anula: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \omega =\exp(2\pi i/d)}$ ${\displaystyle \omega ^{d}=1}$ ${\displaystyle \omega \neq 1}$

${\displaystyle 1+\omega +\cdots +\omega ^{d-1}=0.}$

Los índices enteros pueden entonces identificarse cíclicamente mod d .

Ahora define, con Sylvester, la matriz de desplazamiento.

${\displaystyle \Sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&1\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\\end{bmatrix}}}$

y la matriz del reloj ,

${\displaystyle \Sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\omega &0&\cdots &0\\0&0&\omega ^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}.}$

Estas matrices generalizan y , respectivamente. ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$

Tenga en cuenta que se conserva la unitaridad y la ausencia de rastros de las dos matrices de Pauli, pero no la hermiticidad en dimensiones superiores a dos. Dado que las matrices de Pauli describen cuaterniones , Sylvester denominó a los análogos de dimensiones superiores "noniones", "sedeniones", etc.

Estas dos matrices son también la piedra angular de la dinámica de la mecánica cuántica en espacios vectoriales de dimensión finita ^{[7] [8] [9]} formulada por Hermann Weyl , y encuentran aplicaciones de rutina en numerosas áreas de la física matemática. ^[10] La matriz de reloj equivale al exponencial de la posición en un "reloj" de horas, y la matriz de desplazamiento es solo el operador de traducción en ese espacio vectorial cíclico, por lo que es el exponencial del impulso. Son representaciones (de dimensión finita) de los elementos correspondientes del grupo de Weyl-Heisenberg en un espacio de Hilbert de dimensión finita. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

Las siguientes relaciones hacen eco y generalizan las de las matrices de Pauli:

${\displaystyle \Sigma _{1}^{d}=\Sigma _{3}^{d}=I}$

y la relación de trenzado,

${\displaystyle \Sigma _{3}\Sigma _{1}=\omega \Sigma _{1}\Sigma _{3}=e^{2\pi i/d}\Sigma _{1}\Sigma _{3},}$

la formulación de Weyl del CCR , y puede reescribirse como

${\displaystyle \Sigma _{3}\Sigma _{1}\Sigma _{3}^{d-1}\Sigma _{1}^{d-1}=\omega ~.}$

Por otro lado, para generalizar la matriz de Walsh-Hadamard , tenga en cuenta ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&\omega ^{2-1}\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}.}$

Defina, nuevamente con Sylvester, la siguiente matriz analógica, ^[11] todavía denotada por en un ligero abuso de notación, ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {d}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega ^{d-1}&\omega ^{2(d-1)}&\cdots &\omega ^{(d-1)^{2}}\\1&\omega ^{d-2}&\omega ^{2(d-2)}&\cdots &\omega ^{(d-1)(d-2)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}~.}$

Es evidente que ya no es hermitiano, sino que sigue siendo unitario. Rendimientos del cálculo directo ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \Sigma _{1}=W\Sigma _{3}W^{*}~,}$

que es el resultado analógico deseado. Por lo tanto , una matriz de Vandermonde ordena los vectores propios de , que tiene los mismos valores propios que . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{3}}$

Cuando , es precisamente la matriz de transformada discreta de Fourier , convirtiendo coordenadas de posición en coordenadas de momento y viceversa. ${\displaystyle d=2^{k}}$ ${\displaystyle W^{*}}$

Definición

La familia completa de matrices independientes unitarias (pero no hermitianas) se define de la siguiente manera: ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle \{\sigma _{k,j}\}_{k,j=1}^{d}}$

${\displaystyle \sigma _{k,j}:=\left(\Sigma _{1}\right)^{k}\left(\Sigma _{3}\right)^{j}=\sum _{m=0}^{d-1}|m+k\rangle \omega ^{jm}\langle m|.}$

Esto proporciona la conocida base traza-ortogonal de Sylvester , conocida como "nonions" , "sedenions" , etc... ^{[12] [13]} ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(4,\mathbb {C} )}$

Esta base puede conectarse sistemáticamente con la base hermitiana antes mencionada. ^[14] (Por ejemplo, las potencias de , la subálgebra de Cartan , se asignan a combinaciones lineales de las matrices). Además, se puede utilizar para identificar , como , con el álgebra de corchetes de Poisson . ${\displaystyle \Sigma _{3}}$ ${\displaystyle h_{k}^{\,\,\,d}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle d\to \infty }$

Propiedades

Con respecto al producto interno de Hilbert-Schmidt sobre operadores, los operadores de Pauli generalizados de Sylvester son ortogonales y normalizados a : ${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{HS}}=\operatorname {Tr} (A^{*}B)}$ ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$

${\displaystyle \langle \sigma _{k,j},\sigma _{k',j'}\rangle _{\text{HS}}=\delta _{kk'}\delta _{jj'}\|\sigma _{k,j}\|_{\text{HS}}^{2}=d\delta _{kk'}\delta _{jj'}}$.

Esto se puede comprobar directamente a partir de la definición anterior de . ${\displaystyle \sigma _{k,j}}$

Ver también

• Portal de física

• Grupo de Heisenberg § Grupo de Heisenberg módulo un primo impar p
• matriz hermitiana
• Esfera de Bloch
• Transformada discreta de Fourier
• Álgebra de Clifford generalizada
• Matrices de Weyl-Brauer
• matriz circulante
• operador de turno
• Transformada cuántica de Fourier
• Grupo de rotación 3D § Una nota sobre las álgebras de Lie

Notas

1. Marrón, Adam R.; Susskind, Leonard (25 de abril de 2018). "Segunda ley de la complejidad cuántica". Revisión física D. 97 (8): 086015. arXiv : 1701.01107 . Código Bib : 2018PhRvD..97h6015B. doi : 10.1103/PhysRevD.97.086015. S2CID  119199949.
2. Kimura, G. (2003). "El vector de Bloch para sistemas de nivel N". Letras de Física A. 314 (5–6): 339–349. arXiv : quant-ph/0301152 . Código bibliográfico : 2003PhLA..314..339K. doi :10.1016/S0375-9601(03)00941-1. S2CID  119063531.
3. Bertlmann, Reinhold A.; Philipp Krammer (13 de junio de 2008). "Vectores de Bloch para qudits". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 41 (23): 235303. arXiv : 0806.1174 . Código Bib : 2008JPhA...41w5303B. doi :10.1088/1751-8113/41/23/235303. ISSN  1751-8121. S2CID  118603188.
4. Sylvester, JJ, (1882), Circulares I de la Universidad Johns Hopkins : 241-242; ibídem II (1883) 46; ibídem III (1884) 7–9. Resumido en The Collected Mathematics Papers of James Joseph Sylvester (Cambridge University Press, 1909) v III . en línea y más.
5. Appleby, DM (mayo de 2005). "Medidas simétricas valoradas por el operador, informativamente completas y positivas, y el grupo Clifford extendido". Revista de Física Matemática . 46 (5): 052107. arXiv : quant-ph/0412001 . Código bibliográfico : 2005JMP....46e2107A. doi : 10.1063/1.1896384. ISSN  0022-2488.
6. Howard, Marcos; Vala, Jiri (15 de agosto de 2012). "Versiones Qudit de la puerta qubit π / 8". Revisión física A. 86 (2): 022316. arXiv : 1206.1598 . Código Bib : 2012PhRvA..86b2316H. doi : 10.1103/PhysRevA.86.022316. ISSN  1050-2947. S2CID  56324846.
7. Weyl, H. , "Quantenmechanik und Gruppentheorie", Zeitschrift für Physik , 46 (1927) págs. 1–46, doi :10.1007/BF02055756.
8. Weyl, H., La teoría de grupos y la mecánica cuántica (Dover, Nueva York, 1931)
9. Santhanam, TS; Tekumalla, AR (1976). "Mecánica cuántica en dimensiones finitas". Fundamentos de la Física . 6 (5): 583. Código bibliográfico : 1976FoPh....6..583S. doi :10.1007/BF00715110. S2CID  119936801.
10. Para obtener una revisión útil, consulte Vourdas A. (2004), "Sistemas cuánticos con espacio finito de Hilbert", Rep. Prog. Física. 67 267. doi :10.1088/0034-4885/67/3/R03.
11. Sylvester, JJ (1867). "Reflexiones sobre matrices ortogonales inversas, sucesiones de signos simultáneas y pavimentos teselado en dos o más colores, con aplicaciones a la regla de Newton, azulejos ornamentales y la teoría de números". Revista filosófica y revista científica de Londres, Edimburgo y Dublín . 34 (232): 461–475. doi :10.1080/14786446708639914.
12. Pátera, J.; Zassenhaus, H. (1988). "Las matrices de Pauli en n dimensiones y las gradaciones más finas de álgebras de Lie simples de tipo An−1". Revista de Física Matemática . 29 (3): 665. Código bibliográfico : 1988JMP....29..665P. doi : 10.1063/1.528006.
13. Dado que todos los índices se definen cíclicamente mod d ,. ${\displaystyle \mathrm {tr} \Sigma _{1}^{j}\Sigma _{3}^{k}\Sigma _{1}^{m}\Sigma _{3}^{n}=\omega ^{km}d~\delta _{j+m,0}\delta _{k+n,0}}$
14. Fairlie, DB; Fletcher, P.; Zachos, CK (1990). "Álgebras de dimensión infinita y una base trigonométrica para las álgebras de Lie clásicas". Revista de Física Matemática . 31 (5): 1088. Código bibliográfico : 1990JMP....31.1088F. doi : 10.1063/1.528788.