Equivalencia matricial

En álgebra lineal , dos matrices rectangulares m por n A y B se denominan equivalentes si

${\displaystyle B=Q^{-1}AP}$

para alguna matriz invertible n por n P y alguna matriz invertible m por m Q. Las matrices equivalentes representan la misma transformación lineal V  →  W bajo dos elecciones diferentes de un par de bases de V y W , donde P y Q son las matrices de cambio de base en V y W respectivamente.

La noción de equivalencia no debe confundirse con la de semejanza , que sólo se define para matrices cuadradas, y es mucho más restrictiva (las matrices similares son ciertamente equivalentes, pero las matrices cuadradas equivalentes no necesitan ser similares). Esa noción corresponde a matrices que representan el mismo endomorfismo V  →  V bajo dos elecciones diferentes de una única base de V , usada tanto para vectores iniciales como para sus imágenes.

Propiedades

La equivalencia matricial es una relación de equivalencia en el espacio de matrices rectangulares.

Para dos matrices rectangulares del mismo tamaño, su equivalencia también se puede caracterizar por las siguientes condiciones

• Las matrices se pueden transformar entre sí mediante una combinación de operaciones elementales de fila y columna .
• Dos matrices son equivalentes si y sólo si tienen el mismo rango .

Si las matrices son equivalentes en filas, entonces también son equivalentes en matrices. Sin embargo, no se cumple la regla inversa: las matrices que son equivalentes en matrices no necesariamente son equivalentes en filas. Esto hace que la equivalencia matricial sea una generalización de la equivalencia en filas. ^[1]

Forma canónica

La propiedad de rango produce una forma canónica intuitiva para matrices de la clase de equivalencia de rango como ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&&\cdots &&0\\0&1&0&&\cdots &&0\\0&0&\ddots &&&&0\\\vdots &&&1&&&\vdots \\&&&&0&&\\&&&&&\ddots &\\0&&&\cdots &&&0\end{pmatrix}}}$,

donde el número de s en la diagonal es igual a . Este es un caso especial de la forma normal de Smith , que generaliza este concepto sobre espacios vectoriales a módulos libres sobre dominios ideales principales . Por lo tanto: ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k}$

Teorema : Cualquier matriz m x n de rango k es equivalente matricialmente a la matriz m x n que es toda ceros excepto que las primeras k entradas diagonales son unos. ^[1] Corolario : Las clases de matrices equivalentes se caracterizan por el rango: dos matrices del mismo lado son equivalentes matriciales si y solo si tienen el mismo rango. ^[1]

Matrices 2x2

Las matrices 2x2 solo tienen tres rangos posibles: cero, uno o dos. Esto significa que todas las matrices 2x2 encajan en una de las tres clases de matrices equivalentes: ^[1]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}}$ , , ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$

Esto significa que todas las matrices 2x2 son equivalentes a una de estas matrices. Solo hay una matriz de rango cero, pero las otras dos clases tienen una cantidad infinita de miembros. Las matrices representativas anteriores son las matrices más simples para cada clase.

Similitud de matrices

La similitud de matrices es un caso especial de equivalencia de matrices. Si dos matrices son similares, entonces también son equivalentes. Sin embargo, lo inverso no es cierto. ^[2] Por ejemplo, estas dos matrices son equivalentes pero no similares:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$ , ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\0&3\\\end{pmatrix}}}$

Véase también

• Equivalencia de filas
• Congruencia matricial

Referencias

1. Hefferon, Jim. Álgebra lineal (4.ª ed.). págs. 270–272. Este artículo incorpora texto de esta fuente, que está disponible bajo la licencia CC BY-SA 3.0.
2. Hefferon, Jim. Álgebra lineal (4ª ed.). pág. 405. Este artículo incorpora texto de esta fuente, que está disponible bajo la licencia CC BY-SA 3.0.